数学文·广西桂林十八中2017届高三上学期第一次月考数学文试卷 Word版含解析

数学文·广西桂林十八中2017届高三上学期第一次月考数学文试卷 Word版含解析

‎2016-2017学年广西桂林十八中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则（∁UA）∩B等于（　　）‎ A．{x|x＞2或x＜0} B．{x|1＜x＜2} C．{x|1≤x≤2} D．{x|1＜x≤2}‎ ‎2．已知复数z满足（z+3i）（2﹣i3）=10i5，则复数z在复平面上对应的点在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．已知函数f（x）=．若f（a）+f（1）=0，则实数a的值等于（　　）‎ A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3‎ ‎4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则“a2＞0且a1＞0”是“数列{Sn}单调递增”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（　　）‎ A．4cm3 B．6cm3 C． D．‎ ‎6．设点F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，点F到渐近线的距离与双曲线的两焦点间的距离的比值为1：6，则双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．2x±y=0 B．x±2y=0 C．x±3y=0 D．3x±y=0‎ ‎7．图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是（　　）‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ ‎8．平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（　　）‎ A． B． C．4 D．12‎ ‎9．将函数y=sin（x+）cos（x+）的图象沿x轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值不可能是（　　）‎ A． B．﹣ C． D．‎ ‎10．已知数列{an}满足a1=1，an+an+1=（）n（n∈{N*），设Sn=a1+4a2+42a3+…+4n﹣1an，则5S6﹣46a6=（　　）‎ A．5 B．6 C．10 D．12‎ ‎11．已知点M，N是抛物线y=4x2上不同的两点，F为抛物线的焦点，且满足∠MFN=135°，弦MN的中点P到直线l：y=﹣的距离为d，若|MN|2=λ•d2，则λ的最小值为（　　）‎ A． B．1﹣ C．1+ D．2+‎ ‎12．已知函数f（x）=，若函数F（x）=f（x）﹣kx有且只有两个零点，则k的取值范围为（　　）‎ A．（0，1） B．（0，） C．（，1） D．（1，+∞）‎ ‎　‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．已知x、y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为　　．‎ ‎14．对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（xi，yi）（i=1，2，…，8），其回归直线方程是=x+，且x1+x2+x3+…+x8=2（y1+y2+y3+…+y8）=8，请估算x=3时，y=　　．‎ ‎15．函数f（x）=ex+x﹣1在点（1，f（1））处的切线方程为　　．‎ ‎16．已知实数a，b分别满足a3﹣3a2+5a=1，b3﹣3b2+5b=5，则a+b的值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosB=2a﹣b．‎ ‎（Ⅰ）求C；‎ ‎（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为，求c．‎ ‎18．（12分）体育课上，李老师对初三 （1）班50名学生进行跳绳测试，现测得他们的成绩（单位：个）全部介于20与70之间，将这些成绩数据进行分组（第一组：（20，30]，第二组：（30，40]，…，第五组：（60，70]），并绘制成如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）求成绩在第四组的人数和这50名同学跳绳成绩的中位数；‎ ‎（2）从成绩在第一组和第五组的同学中随机取出 2名同学进行搭档，求至少有一名同学在第一组的概率．‎ ‎19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，M，N分别为BC和PB的中点．．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PMA；‎ ‎（Ⅱ）求四面体M﹣AND的体积．‎ ‎20．（12分）已知两点F1（﹣，0）和F2（，0），动点P满足|+|+|+|=4．‎ ‎（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设曲线C上的两点M，N在x轴上方，且F1M∥F2N，若以MN为直径的圆恒过点（0，2），求F1M的方程．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣x2（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）对于（0，1）内的任意两个相异实数p、q，恒有＞1，求a的取值范围．‎ ‎　‎ 请考生在22、23、24题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）‎ ‎22．（10分）如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点．‎ ‎（Ⅰ）若AB=6，PA=4，OP=3，求⊙O的半径；‎ ‎（Ⅱ）若C是圆O上一点，且CA=CB，线段CE交AB于D．求证：△CAD～△CEA．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以原点O为起点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知点P的极坐标为（2，﹣），直线l的极坐 标方程为ρcos（+θ）=6．‎ ‎（Ⅰ）求点P到直线l的距离；‎ ‎（Ⅱ）设点Q在曲线C上，求点Q到直线l的距离的最大值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．设函数f（x）=|x+a|﹣|x+1|．‎ ‎（Ⅰ）当a=﹣时，解不等式：f（x）≤2a；‎ ‎（Ⅱ）若对任意实数x，f（x）≤2a都成立，求实数a的最小值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广西桂林十八中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（2014•濮阳县校级一模）已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则（∁UA）∩B等于（　　）‎ A．{x|x＞2或x＜0} B．{x|1＜x＜2} C．{x|1≤x≤2} D．{x|1＜x≤2}‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】求出集合A中的一元二次不等式的解集，确定出集合A，由全集R，求出集合A的补集，然后求出集合B中对数函数的定义域确定出集合B，求出集合A补集与集合B的交集即可．‎ ‎【解答】解：由集合A中的不等式x2﹣2x＞0，‎ 因式分解得：x（x﹣2）＞0，‎ 解得：x＞2或x＜0，所以集合A={x|x＞2或x＜0}，又全集U=R，‎ ‎∴CuA={x|0≤x≤2}，‎ 又根据集合B中的对数函数可得：x﹣1＞0，解得x＞1，‎ 所以集合B={x|x＞1}，‎ 则（CuA）∩B={x|1＜x≤2}．‎ 故选D ‎【点评】此题属于以一元二次不等式的解法及对函数的定义域为平台，考查了补集及交集的运算，是一道基础题．也是高考中常考的题型．‎ ‎　‎ ‎2．（2016•郴州四模）已知复数z满足（z+3i）（2﹣i3）=10i5，则复数z在复平面上对应的点在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【考点】复数代数形式的混合运算．‎ ‎【专题】方程思想；转化思想；数系的扩充和复数．‎ ‎【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．‎ ‎【解答】解：（z+3i）（2﹣i3）=10i5，‎ ‎∴（z+3i）（2+i）=10i，‎ ‎∴（z+3i）（2+i）（2﹣i）=10i（2﹣i），‎ ‎∴5（z+3i）=10（2i+1），‎ ‎∴z=4i+2﹣3i=2+i．‎ 则复数z在复平面上对应的点（2，1）在第一象限．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（2011•福建）已知函数f（x）=．若f（a）+f（1）=0，则实数a的值等于（　　）‎ A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3‎ ‎【考点】分段函数的应用．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】由分段函数f（x）=，我们易求出f（1）的值，进而将式子f（a）+f（1）=0转化为一个关于a的方程，结合指数的函数的值域，及分段函数的解析式，解方程即可得到实数a的值．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=‎ ‎∴f（1）=2‎ 若f（a）+f（1）=0‎ ‎∴f（a）=﹣2‎ ‎∵2x＞0‎ ‎∴x+1=﹣2‎ 解得x=﹣3‎ 故选A ‎【点评】本题考查的知识点是分段函数的函数值，及指数函数的综合应用，其中根据分段函数及指数函数的性质，构造关于a的方程是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（2016•杭州二模）设等差数列{an}的前n项和为Sn，则“a2＞0且a1＞0”是“数列{Sn}单调递增”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【专题】转化思想；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用；简易逻辑．‎ ‎【分析】设等差数列{an}的公差为d，d≠0．可得：Sn=na1+d=﹣，数列{Sn}单调递增，可得d＞0，≤1，因此d+2a1≥0．由a2＞0且a1＞0，可得a2=a1+d＞0．即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，d≠0．‎ Sn=na1+d ‎=n2+‎ ‎=﹣，‎ ‎∵数列{Sn}单调递增，‎ ‎∴d＞0，≤1，‎ 可得d+2a1≥0．‎ 由a2＞0且a1＞0，可得a2=a1+d＞0．‎ ‎∴“a2＞0且a1＞0”是“数列{Sn}单调递增”的既不充分又不必要条件．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了函数的性质、不等式的性质、等差数列的通项公式及其前n项和公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎5．（2016•太原三模）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（　　）‎ A．4cm3 B．6cm3 C． D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【专题】计算题；数形结合；转化法；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是三棱锥与三棱柱的组合体，由此求出它的体积即可 ‎【解答】解：根据几何体的三视图，得该几何体是上部为三棱锥，下部为三棱柱的组合体，‎ 三棱柱的每条棱长为2cm，三棱锥的高为2cm，‎ ‎∴该组合体的体积为V=×2×2×2+××2×2×2=cm2，‎ 选：C．‎ ‎【点评】本题考查了应用空间几何体的三视图求体积的问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎6．（2016•安徽二模）设点F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，点F到渐近线的距离与双曲线的两焦点间的距离的比值为1：6，则双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．2x±y=0 B．x±2y=0 C．x±3y=0 D．3x±y=0‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】求出点F到渐近线的距离，根据条件建立比例关系，求出a，b的关系即可得到结论．‎ ‎【解答】解：双曲线的右焦点F（c，0），到渐近线y=x，即bx﹣ay=0的距离d=，‎ ‎∵点F到渐近线的距离与双曲线的两焦点间的距离的比值为1：6，‎ ‎∴，即c=3b，‎ 则c2=a2+b2=9b2，‎ 即a2=8b2，‎ 则a=2b，‎ 则双曲线的渐近线方程为y=±x=±x=±x，‎ 即x±2y=0，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查双曲线的性质，根据距离关系求出a，b的关系是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（2016•荆州模拟）图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是（　　）‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ ‎【考点】茎叶图；循环结构．‎ ‎【专题】阅读型．‎ ‎【分析】根据流程图可知该算法表示统计14次考试成绩中大于等于90的人数，结合茎叶图可得答案．‎ ‎【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，‎ 再根据流程图所示的顺序，可知：‎ 该程序的作用是累加14次考试成绩超过90分的人数；‎ 根据茎叶图的含义可得超过90分的人数为10个 故选D ‎【点评】本题主要考查了循环结构，以及茎叶图的认识，解题的关键是弄清算法流程图的含义，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（2009•辽宁）平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（　　）‎ A． B． C．4 D．12‎ ‎【考点】向量加减混合运算及其几何意义．‎ ‎【分析】根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最后不要忘记开方．‎ ‎【解答】解：由已知|a|=2，‎ ‎|a+2b|2=a2+4a•b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12，‎ ‎∴|a+2b|=．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，根据和的模两边平方，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可．两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．‎ ‎　‎ ‎9．（2015•漳州模拟）将函数y=sin（x+）cos（x+）的图象沿x轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值不可能是（　　）‎ A． B．﹣ C． D．‎ ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【专题】三角函数的图像与性质．‎ ‎【分析】化简函数解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，结合题意，可求得φ的值．‎ ‎【解答】解：∵y=sin（x+）cos（x+）=sin（2x+φ），‎ 将函数y的图象向右平移个单位后得到f（x﹣）=sin（2x﹣+φ），‎ ‎∵f（x﹣）为偶函数，‎ ‎∴﹣+φ=kπ+，k∈Z，‎ ‎∴φ=kπ+，k∈Z，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查正弦函数的对称性，突出考查正弦函数与余弦函数的转化，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（2016秋•桂林校级月考）已知数列{an}满足a1=1，an+an+1=（）n（n∈{N*），设Sn=a1+4a2+42a3+…+4n﹣1an，则5S6﹣46a6=（　　）‎ A．5 B．6 C．10 D．12‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】由Sn=a1+4a2+42a3+…+4n﹣1an，两边同乘以4可得：4Sn=4a1+42a2+43a3+…+4nan，相加可得：5Sn﹣4nan，即可得出．‎ ‎【解答】解：由Sn=a1+4a2+42a3+…+4n﹣1an，两边同乘以4可得：4Sn=4a1+42a2+43a3+…+4nan，‎ 相加可得：5Sn=a1+4（a1+a2）+42（a2+a3）+…+4n﹣1（an﹣1+an）+4nan ‎=++…++4nan ‎=n+4nan，‎ ‎∴5Sn﹣4nan=n，‎ ‎∴5S6﹣46a6=6．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了数列的递推关系、分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．（2016•安徽二模）已知点M，N是抛物线y=4x2上不同的两点，F为抛物线的焦点，且满足∠MFN=135°，弦MN的中点P到直线l：y=﹣的距离为d，若|MN|2=λ•d2，则λ的最小值为（　　）‎ A． B．1﹣ C．1+ D．2+‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【专题】方程思想；分析法；解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设|MF|=a，|NF|=b，由∠MFN=135°，运用余弦定理可得|MN|，运用抛物线的定义和中位线定理可得d=（|MF|+|NF|）=（a+b），运用基本不等式计算即可得到所求最小值．‎ ‎【解答】解：抛物线y=4x2的焦点F（0，），准线为y=﹣，‎ 设|MF|=a，|NF|=b，由∠MFN=135°，‎ 可得|MN|2=|MF|2+|NF|2﹣2|MF|•|NF|•cos∠MFN=a2+b2+ab，‎ 由抛物线的定义可得M到准线的距离为|MF|，N到准线的距离为|NF|，‎ 由梯形的中位线定理可得d=（|MF|+|NF|）=（a+b），‎ 由|MN|2=λ•d2，可得λ==1﹣‎ ‎≥1﹣=1﹣=，‎ 可得λ≥2+，当且仅当a=b时，取得最小值2+．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查余弦定理和基本不等式的运用：求最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（2015•南昌校级二模）已知函数f（x）=，若函数F（x）=f（x）﹣kx有且只有两个零点，则k的取值范围为（　　）‎ A．（0，1） B．（0，） C．（，1） D．（1，+∞）‎ ‎【考点】函数的零点与方程根的关系．‎ ‎【专题】计算题；导数的概念及应用．‎ ‎【分析】求出双曲线的渐近线方程，y=﹣ln（1﹣x）在x=0处的切线方程，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，x≥0，f（x）=为双曲线4y2﹣x2=1在第一象限的部分，渐近线方程为y=±x；‎ 当k=1时，由y=﹣ln（1﹣x），可得y′==1可得x=0，即y=﹣ln（1﹣x）在x=0处的切线方程为y=x，‎ 此时函数F（x）=f（x）﹣kx有且只有1个零点，‎ ‎∴若函数F（x）=f（x）﹣kx有且只有两个零点，则k的取值范围为（，1），‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查函数的零点，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．‎ ‎　‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．（2016•重庆模拟）已知x、y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为　7　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【专题】数形结合；综合法；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】画出满足条件的平面区域，求出A点的坐标，将z=2x+y变形为y=﹣2x+z，从而求出z的最小值即可．‎ ‎【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：‎ ‎，‎ 由，解得A（3，1），‎ 由z=2x+y得：y=﹣2x+z，‎ 显然直线过A（3，1）时z最小，‎ z的最小值是：7，‎ 故答案为：7．‎ ‎【点评】本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎14．（2016秋•桂林校级月考）对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（xi，yi）（i=1，2，…，8），其回归直线方程是=x+，且x1+x2+x3+…+x8=2（y1+y2+y3+…+y8）=8，请估算x=3时，y=　　．‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．‎ ‎【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．‎ ‎【解答】解：∵x1+x2+x3+…+x8=2（y1+y2+y3+…+y8）=8，‎ ‎∴=1，=，‎ ‎∴样本中心点的坐标为（1，），‎ 代入回归直线方程得，=+a，‎ ‎∴a=．‎ x=3时，y=1+=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一．‎ ‎　‎ ‎15．（2016秋•桂林校级月考）函数f（x）=ex+x﹣1在点（1，f（1））处的切线方程为　y=（e+1）x﹣1　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【专题】综合题；函数思想；综合法；导数的概念及应用．‎ ‎【分析】欲求在点（1，f（1））处的切线的方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=ex+x﹣1，‎ ‎∴f′（x）=ex+1，‎ ‎∴函数f（x）=ex+x﹣1在点（1，f（1））处的斜率为：k=e+1，‎ ‎∵f（1）=e，‎ ‎∴函数f（x）=ex+x﹣1在点（1，f（1））处的切线的方程为：y=（e+1）x﹣1．‎ 故答案为：y=（e+1）x﹣1．‎ ‎【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．（2014•吴中区校级模拟）已知实数a，b分别满足a3﹣3a2+5a=1，b3﹣3b2+5b=5，则a+b的值为　2　．‎ ‎【考点】函数与方程的综合运用．‎ ‎【专题】计算题；压轴题；转化思想．‎ ‎【分析】由于已知的两个等式结构相似，因此可考虑构造函数．将已知等式变形为（a﹣1）3+2（a﹣1）=﹣2，（b﹣1）3+2（b﹣1）=2，构造函数f（x）=x3+2x，f（x）是一个单调递增的奇函数，从而可求a+b的值 ‎【解答】解：由于已知的两个等式结构相似，因此可考虑构造函数．‎ 将已知等式变形为（a﹣1）3+2（a﹣1）=﹣2，（b﹣1）3+2（b﹣1）=2，‎ 构造函数f（x）=x3+2x，‎ ‎∵f（﹣x）=﹣f（x），‎ ‎∴f（x）是奇函数 ‎∵f′（x）=3x2+2＞0‎ ‎∴f（x）单调递增 ‎∴f（x）是一个单调递增的奇函数，‎ 因为f（a﹣1）=﹣2，f（b﹣1）=2‎ 所以f（a﹣1）=﹣f（b﹣1）=f（1﹣b），‎ 从而有a﹣1=1﹣b，a+b=2‎ 故答案为2‎ ‎【点评】本题以等式为载体，考查构造法的运用，考查函数的性质，解题的关键是根据已知的两个等式结构相似，构造函数 ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）（2016秋•桂林校级月考）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosB=2a﹣b．‎ ‎（Ⅰ）求C；‎ ‎（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为，求c．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；转化法；解三角形．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理得：2sinCcosB=2sinA﹣sinB，利用两角和的正弦函数公式整理可得cosC=，‎ 结合C的范围即可得解．‎ ‎（Ⅱ）由△ABC的面积为，得absinC=，可解得b，由余弦定理即可解得c的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得：2sinCcosB=2sinA﹣sinB，…（2分）‎ 即：2sinCcosB=2sin（B+C）﹣sinB，…（3分）‎ 所以：2sinCcosB=2sinCcosB+2cosCsinB﹣sinB，可得：cosC=，‎ 所以：C=…（6分）‎ ‎（Ⅱ）由△ABC的面积为，得absinC=，‎ 可得：=，‎ 可得：b=2，…（9分）‎ 由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=（2）2+22﹣2×，‎ 解得：c=2．…（12分）‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016•绵阳模拟）体育课上，李老师对初三 （1）班50名学生进行跳绳测试，现测得他们的成绩（单位：个）全部介于20与70之间，将这些成绩数据进行分组（第一组：（20，30]，第二组：（30，40]，…，第五组：（60，70]），并绘制成如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）求成绩在第四组的人数和这50名同学跳绳成绩的中位数；‎ ‎（2）从成绩在第一组和第五组的同学中随机取出 2名同学进行搭档，求至少有一名同学在第一组的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．‎ ‎【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．‎ ‎【分析】（1）根据频率分步直方图即可求出成绩在第四组的人数，估计中位数即可．‎ ‎（2）根据频率分步直方图做出要用的各段的人数，设出各段上的元素，用列举法写出所有的事件和满足条件的事件，根据概率公式做出概率．‎ ‎【解答】解：（1）第四组的人数为[1﹣（0.004+0.008+0.016+0.04）×10]×50=16，‎ 中位数为40+[0.5﹣（0.004+0.016）×10]÷0.04=47.5．‎ ‎（2）据题意，第一组有0.004×10×50=2人，第五组有0.008×10×50=4人，‎ 记第一组成绩为A，B，第五组成绩为a，b，c，d，‎ 则可能构成的基本事件有（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），（A，B），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）共15种，‎ 其中至少有一名是第一组的有（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），（A，B），共9种，‎ ‎∴概率．‎ ‎【点评】本题是一个典型的古典概型问题，本题可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的精髓．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016秋•桂林校级月考）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，M，N分别为BC和PB的中点．．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PMA；‎ ‎（Ⅱ）求四面体M﹣AND的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【专题】综合题；转化思想；数形结合法；立体几何．‎ ‎【分析】（Ⅰ）连结AC，由四边形ABCD是菱形，且∠ABC=60°，得△ABC是等边三角形，再由M是BC中点，得AM⊥BC，由已知PA⊥平面ABCD，可得PA⊥BC，在线面垂直的判定得BC⊥平面PMA，从而得到平面PBC⊥平面PMA；‎ ‎（Ⅱ）由已知直接利用等积法求得四面体M﹣AND的体积．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：连结AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，‎ 又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，‎ ‎∵M是BC中点，∴AM⊥BC，‎ ‎∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，‎ ‎∴PA⊥BC，在平面PMA中AM∩PA=A，‎ ‎∴BC⊥平面PMA．‎ ‎∴平面PBC⊥平面PMA；‎ ‎（Ⅱ）解：∵四边形ABCD是菱形，且AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=，‎ ‎∴‎ ‎==．‎ ‎【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016秋•桂林校级月考）已知两点F1（﹣，0）和F2（，0），动点P满足|+|+|+|=4．‎ ‎（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设曲线C上的两点M，N在x轴上方，且F1M∥F2N，若以MN为直径的圆恒过点（0，2），求F1M的方程．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由向量的坐标表示，分别表示出+和+，根据模长公式，代入即可求得动点P的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设出直线方程，根据椭圆的对称性求得N点坐标，代入椭圆方程，由韦达定理求得y1+y2和y1y2，分别表示出和，由以MN为直径的圆恒过点（0，2），可知•=0，即可求得m的值，求得F1M的方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），则，‎ ‎，‎ 由椭圆的定义知：动点P的轨迹C的方程为．（4分）‎ ‎（Ⅱ）设直线F1M：x=my﹣，且与曲线C的另一个交点为N'，‎ 设M（x1，y1），N'（x2，y2），由F1M∥F2N及椭圆的对称性知：N（﹣x2，﹣y2）…（6分）‎ 联立，整理得：（m2+4）y2﹣2my﹣1=0，‎ ‎△=16（m2+1）＞0，则y1+y2=，y1y2=﹣，y1﹣y2=|y1﹣y2|=，‎ ‎∵=（x1，y1﹣2）=（my1﹣，y1﹣2），=（﹣x2，﹣y2﹣2）=（﹣my2+，﹣y2﹣2），‎ ‎∴•=（my1﹣）•（﹣my2+）+（y1﹣2）（﹣y2﹣2）=0，‎ 即﹣（m2+1）y1y2+m（y1+y2）﹣2（y1﹣y2）+1=0，‎ 于是m2+1+6m2﹣8+m2+4=0，‎ 解得m=±，‎ 所以直线F1M的方程是x=±y﹣．‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程的求解及直线与椭圆的位置关系，考查向量的坐标运算，韦达定理，考查考生的运算求解能力及分析问题、解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016秋•桂林校级月考）已知函数f（x）=alnx﹣x2（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）对于（0，1）内的任意两个相异实数p、q，恒有＞1，求a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用．‎ ‎【分析】（I）对a进行讨论，判断f′（x）的符号，得出f（x）的单调性；‎ ‎（II）设p＞q，则条件等价于g（x）=f（x+1）﹣x在（0，1）上为增函数，即g′（x）≥0在（0，1）上恒成立，分离参数求出a的范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）． ，‎ 当a≤0时，f'（x）≤0，则f（x）在（0，+∞）单调递减；‎ 当a＞0时，令f′（x）=0解得x=或x=﹣（舍），‎ ‎∴当0＜x＜时，f′（x）＞0，当x＞时，f′（x）＜0．‎ ‎∴f（x）在上单调递增，在单调递减．‎ ‎（2）不妨设p＞q，则＞1⇔f（p+1）﹣p＞f（q+1）﹣q，‎ 令g（x）=f（x+1）﹣x=aln（x+1）﹣（x+1）2﹣x=aln（x+1）﹣x2﹣3x﹣1，‎ 则g（x）在（0，1）上为增函数，‎ 则g′（x）=﹣2x﹣3≥0在（0，1）上恒成立．‎ ‎∴a≥2x2+5x+3在（0，1）上恒成立．‎ 设h（x）=2x2+5x+3，则h（x）在（0，1）上增函数，‎ ‎∴h（x）＜h（1）=10，‎ ‎∴a≥10．‎ ‎【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数最值与函数恒成立问题，属于中档题．‎ ‎　‎ 请考生在22、23、24题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）‎ ‎22．（10分）（2016•河南二模）如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点．‎ ‎（Ⅰ）若AB=6，PA=4，OP=3，求⊙O的半径；‎ ‎（Ⅱ）若C是圆O上一点，且CA=CB，线段CE交AB于D．求证：△CAD～△CEA．‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段．‎ ‎【专题】选作题；转化思想；综合法；推理和证明．‎ ‎【分析】（Ⅰ）连接OA，设OA=r，取AB中点F，连接OF，则OF⊥AB，利用勾股定理求出⊙O的半径；‎ ‎（Ⅱ）利用CA=CB，得出∠CAD=∠B，利用三角形相似的判定定理证明：△CAD～△CEA．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）连接OA，设OA=r 取AB中点F，连接OF，则OF⊥AB，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴．…（2分）‎ 又OP=3，Rt△OFP中，OF2=OP2﹣FP2=9﹣2=7，…（4分）‎ Rt△OAF中，，…（6分）‎ ‎∴r=5‎ 证明：（Ⅱ）∵CA=CB，‎ ‎∴∠CAD=∠B 又∵∠B=∠E，‎ ‎∴∠CAD=∠E…（8分）‎ ‎∵∠ACE为公共角，‎ ‎∴△CAD∽△CEA…（10分）‎ ‎【点评】本题考查三角形相似的判定与性质，考查勾股定理的运用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．（2016•河南二模）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以原点O为起点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知点P的极坐标为（2，﹣），直线l的极坐 标方程为ρcos（+θ）=6．‎ ‎（Ⅰ）求点P到直线l的距离；‎ ‎（Ⅱ）设点Q在曲线C上，求点Q到直线l的距离的最大值．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【专题】方程思想；转化思想；坐标系和参数方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）把点P与直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式即可得出．‎ ‎（Ⅱ）可以判断，直线l与曲线C无公共点，设，利用点到直线的距离公式及其三角函数的和差公式及其单调性即可得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）点的直角坐标为，即．‎ 由直线l ，得．‎ 则l的直角坐标方程为：，‎ 点P到l的距离．‎ ‎（Ⅱ）可以判断，直线l与曲线C无公共点，‎ 设，‎ 则点Q到直线的距离为，‎ ‎∴当时，dmax=9．‎ ‎【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、点到直线的距离公式、三角函数的和差公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．（2016•河南二模）设函数f（x）=|x+a|﹣|x+1|．‎ ‎（Ⅰ）当a=﹣时，解不等式：f（x）≤2a；‎ ‎（Ⅱ）若对任意实数x，f（x）≤2a都成立，求实数a的最小值．‎ ‎【考点】带绝对值的函数．‎ ‎【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）对x讨论，分x≤﹣1，当时，当时去掉绝对值，解不等式，求并集即可得到所求解集；‎ ‎（Ⅱ）运用绝对值表达式的性质，可得f（x）的最大值，即有|a﹣1|≤2a，解出a的范围，可得a的最小值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当a=时，不等式化为：，‎ 当x≤﹣1时，，得，‎ 所以x∈Φ．…（2分）‎ 当时，，得，‎ 所以成立．…（4分）‎ 当时，，得≤0，所以成立．‎ 综上，原不等式的解集为…（6分）‎ ‎（Ⅱ）∵|x+a|﹣|x+1|≤|（x+a）﹣（x+1）|=|a﹣1|，‎ ‎∴f（x）=|x+a|﹣|x+1|的最大值为|a﹣1|…（8分）‎ 由题意知：|a﹣1|≤2a，即﹣2a≤a﹣1≤2a，‎ ‎ 解得：a≥，‎ 所以实数a的最小值为…（10分）‎ ‎【点评】本题考查绝对值表达式的解法和性质，考查分类讨论的思想方法和恒成立问题的解法，注意运用转化思想，考查运算能力，属于中档题．‎