陕西省西安中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

陕西省西安中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

西安中学高2020届高三期中考试 数学（理科）试题 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则(　　) ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．命题“对任意都有”的否定是(　　) ‎ A．对任意，都有 B．不存在，使得 C．存在，使得 D．存在，使得 ‎3．在等差数列中，a2＝4，a3＝6，则a10＝(　　)‎ A．20 B．22 C．18 D．16‎ ‎4．下列函数中，既是偶函数又有零点的是(　　) ‎ A． B． C． D． ‎ ‎5．若，则(　　) ‎ A． B． C． D．2‎ ‎6．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知函数，则＝(　　) ‎ A． B．2 C． D．4‎ ‎8．若实数满足约束条件，则的最小值是(　　) ‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎9．已知，则实数a的取值范围是(　　) ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．在直角中，，，，点是外接圆上任意一点，则的最大值为(　　) ‎ A．6 B．8 C．10 D． 12‎ ‎11．已知定义在上的函数在上有和两个零点，且函数与函数 都是偶函数，则在上的零点至少有(　　) 个 A．404 B．406 C．808 D．812‎ ‎12．定义在R上的函数的导函数为，若对任意实数，都有，且为奇函数，则不等式的解集为(　　)‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．已知，，若与平行，则 ．‎ ‎14．若不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．‎ ‎15．函数的递减区间为 ．‎ ‎16．已知，函数在区间上的最大值是5，则实数a的取值范围是 ．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知向量，，函数的最大值为6．‎ ‎（Ⅰ）求A；‎ ‎（Ⅱ）将函数y＝f(x)的图像向左平移 个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图像，求g(x)在上的值域．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 在角中，角A，B，C的对边分别是，若．‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小； ‎ ‎（Ⅱ）若的面积为，，求的周长．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 设函数，其中．‎ ‎（Ⅰ）当时，求的极值点；‎ ‎（Ⅱ）若在上为单调函数，求的取值范围．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 以椭圆的中心为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”． 已知椭圆的离心率为，且过点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆及其“伴随”的方程; ‎ ‎（Ⅱ）过点作“伴随”的切线交椭圆于，两点，记为坐标原点)的面积为，求的最大值．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数，曲线在点处的切线方程为．‎ ‎（Ⅰ）求的解析式；‎ ‎（Ⅱ）判断方程在内的解的个数，并加以证明．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．‎ ‎22．（本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]‎ 在直角坐标系中，曲线，为参数，，其中 ‎，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：，曲线：．‎ ‎（Ⅰ）求与交点的直角坐标；‎ ‎（Ⅱ）若与相交于点，与相交于点，求的最大值．‎ ‎23．（本小题满分10分）[选修4—5：不等式选讲]‎ 已知，，．求证： ‎ ‎（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）． ‎ 西安中学高2020届高三期中考试 数 学（理科）参考答案 一、选择题:‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A D A D A B C B A D C B 二、填空题：‎ ‎13． 14． 15． 16．‎ 三、解答题:‎ ‎17．解：（Ⅰ）＝Asin xcos x＋cos 2x ‎＝A ‎＝Asin．··········································（4分）‎ 因为A>0，由题意知A＝6．················································（5分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）f(x)＝6sin．‎ 将函数y＝f(x)的图像向左平移个单位后得到y＝6sin＝6sin的图像；··········································································（7分）‎ 再将得到图像上各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y＝6sin的图像．‎ 因此g(x)＝6sin．······························································（9分）‎ 因为x∈，所以4x＋∈，‎ 故g(x)在上的值域为[－3，6] ．·········································（12分）‎ ‎18．解：（Ⅰ）由正弦定理得：，························（2分）‎ ‎，‎ ‎，··········································································（4分）‎ 是的内角，‎ ‎ ．··············································································（6分）（Ⅱ）的面积为,‎ ‎，‎ 由（Ⅰ）知，‎ ‎，··············································································（8分）由余弦定理得：，·····（10分）‎ ‎，‎ 得：，‎ 的周长为．·······························································（12分）‎ ‎19．解：对求导得 ·····························（1分）‎ ‎ （Ⅰ）若，由 ‎ 令，因为，则， ·······（2‎ 分）‎ 所以随x变化而变化的情况为：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以，是极大值点，是极小值点．····························（5分）‎ ‎（注：未注明极大、极小值扣1分）‎ ‎ （Ⅱ）若为上的单调函数，又，所以当时，即在上恒成立． ···················（6分）‎ ‎ （1）当时，，符合题意；···················（8分）‎ ‎ （2）当时，抛物线开口向上，‎ ‎ 则的充要条件是，‎ ‎ 即，所以． ‎ ‎ 综合（1）（2）知的取值范围是．···································（12分）‎ ‎20．解：（Ⅰ）椭圆的离心率为， 则， ‎ ‎ 设椭圆的方程为 ‎ ‎ ∵椭圆过点，∴，‎ ‎ ∴， ‎ ‎ ∴椭圆的标准方程为，················································（ 3‎ 分）‎ ‎ 椭圆的“伴随”方程为．···············································（4分）‎ ‎（Ⅱ）由题意知，． ······················································（5分）‎ 易知切线的斜率存在，设切线的方程为 由得 ‎ 设， 两点的坐标分别为， ， 则 ‎， ．··················································（7分）‎ ‎ 又由与圆相切， 所以，．·············（8分）‎ ‎ 所以 ‎ ‎ ‎······························································（10分）‎ ‎ ．‎ ‎ 令，则，代入上式得：‎ ‎ （当且仅当，即时等号成立）‎ 所以的最大值为1．···············································（12分）‎ ‎21．解：（Ⅰ）直线的斜率为，过点，‎ ‎ ，则，即，‎ ‎ ，所以．··············································（4分）‎ ‎ （Ⅱ）方程在上有3个解．‎ ‎ 证明：令，则，‎ ‎ 又，，‎ ‎ 所以在上至少有一个零点，‎ ‎ 又在上单调递减，故在上只有一个零点．····················（6分）‎ ‎ 当时，，故，‎ ‎ 所以函数在上无零点．················································（8分）‎ ‎ 当时，令，，‎ ‎ 所以在上单调递增，，，‎ ‎ 所以，使得在上单调递增，在上单调递减．‎ ‎ 又，，所以函数在上有2个零点．‎ ‎ 综上，方程在上有3个解．··································（12分）‎ ‎22．解：（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，························（1分）‎ 曲线的直角坐标方程为．·································（2分）‎ 联立，解得，或．‎ 所以与的交点的直角坐标为和．···························（4分）‎ ‎（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中．····（5分）‎ ‎ 因此的极坐标为，的极坐标为，·············（7分）‎ 所以==，·································（9分）‎ 当时，取得最大值，最大值为4． ·······························（10分）‎ ‎23．证明：（Ⅰ）‎ ‎（当且仅当时等号成立）····（5分）‎ 也可以用柯西不等式直接证明． ‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎······················································（7分）‎ ‎···················································································（9分）‎ ‎（当且仅当时等号成立）‎ 从而．···························································（10分）‎ 也可以用分析法证明．‎