2020届重庆市巴蜀中学高考适应性月考卷（五） 数学（理）试题（解析版）

2020届重庆市巴蜀中学高考适应性月考卷（五） 数学（理）试题（解析版）

‎2020届重庆市巴蜀中学高考适应性月考卷（五） 数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知集合,集合,则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】化简集合和,根据交集定义,即可求得.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎ 化简可得 根据指数函数是减函数 ‎ ,即,故 ‎ ‎ ‎ 故 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的交集,在集合运算比较复杂时,可以使用数轴来辅助分析问题,属于基础题.‎ ‎2．已知复数(为虚数单位),则对应的点在( )‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】化简,可得,即可求得对应的点.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎ 对应的点为,故在第四象限 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数的四则运算,以及复数的基本概念的应用,其中解答中熟练应用复数的运算法则化简是解答的关键,属于基础题.‎ ‎3．已知实数,满足则的最小值是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合即可求得的最小值.‎ ‎【详解】‎ 作出可行域,由,得,‎ ‎ 当与边界直线重合时,取得最小值.‎ ‎ 可取公共点,可知 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性规划的相关内容,解题关键是根据约束条件画出不等式组表示的平面区域,数形结合解决问题,属于中档题.‎ ‎4．命题:,命题:直线与直线垂直,则是成立的( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ ‎ 由直线与直线垂直 ‎ 可得,即,解得或.‎ 故:由直线与直线垂直不能推出:‎ 命题是命题不必要条件 ‎ 由时直线分别是: ,,此时两条直线垂直.‎ 故命题能推出命题 ‎ 命题是命题充分条件 综上所述,是充分不必要条件.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了理解能力与运算能力,属于基础题.‎ ‎5．已知,则的值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由,可得,根据诱导公式化简,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本考查了由诱导公式求三角函数值,能熟练使用诱导公式是解本题关键,考察了计算能力,属于基础题.‎ ‎6．“辛卜生公式”给出了求几何体体积的一种计算方法:夹在两个平行平面之间的几何体,如果被平行于这两个平面的任何平面所截,截得的截面面积是截面高（不超过三次）的多项式函数,那么这个几何体的体积,就等于其上底面积、下底面积与四倍中截面面积的和乘以高的六分之一.即:,式中,,,依次为几何体的高,下底面积,上底面积,中截面面积.如图,现将曲线与直线及轴围成的封闭图形绕轴旋转一周得到一个几何体.利用辛卜生公式可求得该几何体的体积( )‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据“辛卜生公式”:,根据旋转体特点,结合已知,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎ 根据辛卜生公式:‎ ‎ 根据题意可知该几何体是由,曲线与直线及轴围成的封闭图形绕轴旋转一周得到.‎ ‎ ,,,‎ ‎ 根据辛卜生公式 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求旋转体体积,解题的关键是能够理解辛卜生公式,考查了理解能力和计算能力,属于基础题.‎ ‎7．已知是上的偶函数,当时,有,当时,,则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用偶函数满足求出函数的周期,然后化简,通过周期性和偶函数性质,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎ 当时,,‎ ‎ ,故最小正周期:.‎ ‎ ,‎ 又为偶函数 故 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的周期性,需要掌握的周期为,当所求的变量不在所给的函数定义域内,利用函数的周期和奇偶性化简到定义域内,这是解此类型题的关键.‎ ‎8．如图是一程序框图,则输出的值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由程序框图可得,根据数列的裂项求和,即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 由程序框图可知:‎ ‎ ‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的裂项求和,解题关键是能够理解程序框图,考查了分析能力,属于基础题.‎ ‎9．已知向量,向量,向量满足,则的最大值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设,,,则,即可求得,将的起点放到坐标原点,则终点在以为圆心,半径的圆上,即可求得的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎ 设,,‎ ‎ ‎ 故,‎ 即 将的起点放到坐标原点,则终点在以为圆心,半径的圆上.‎ 的最大值即:圆心到原点的距离+半径,即,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量的模的最值问题,根据向量模的几何意义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题型.‎ ‎10．巴蜀中学作为一所中华名校,不仅是培养学生的摇篮,也是培养教师的摇篮,每一年都有许多实习老师到巴蜀中学实习.现有甲乙等位实习老师被分到高二年级的（1）,（2）,（3）三个班级实习.要求每个班级至少有一名实习老师,每个实习老师只能到一个班级实习,则甲不去高二（1）班,乙必须去高二（3）班实习的概率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意,基本事件数,甲去（3）班,有种,甲去（2）班,有种,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 根据题意基本事件数 ‎ ①甲去（3）班,有种,‎ ‎②甲去（2）班,有种,‎ ‎ 甲不去高二（1）班,乙必须去高二（3）班实习的概率为:,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查排列组合的简单应用.在排列组合的过程中,一般我们要注意:特殊元素优先排,相邻元素捆绑排这样一个原则.‎ ‎11．已知抛物线的焦点为,过直线上任一点引抛物线的两条切线,切点为,,则点到直线的距离( )‎ A．无最小值 B．无最大值 C．有最小值,最小值为1 D．有最大值,最大值为 ‎【答案】D ‎【解析】设,,可得,,即可求得为切点的切线方程和以为切点的切线方程,设过直线上任一点为,将代入和,即可求得直线的方程,进而求得点到直线的距离.‎ ‎【详解】‎ 设,,‎ 可得,‎ ‎ 以为切点的切线方程为:,即——①‎ 同理可得,以为切点的切线方程为: ——②‎ 设过直线上任一点为 ‎ 代入①②得 ‎ 所以直线的方程为,即,‎ 又 ,即 ‎ 过定点,‎ ‎ 当时,到的距离的最大值为:.‎ 当过点时,距离的最小值为 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,综合性强,本题涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.‎ ‎12．已知函数有4个不同的零点，则实数的取值范围为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为,故,化简为:,即,,构造函数,求其最值即可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎ 由,‎ ‎ 得,‎ 可得:,,‎ 设,则,‎ ‎ 当时,‎ 当时,‎ ‎ 在上单调递增,在上单调递减,‎ 故,,‎ 当,.‎ ‎ ,,,.要使方程有4个不同的零点,‎ 则,可得,,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数零点问题,要将函数的求零点问题转化为求方程根的问题,就自变量取不同范围进行讨论求解这是解题关键.‎ 二、填空题 ‎13．二项式展开式中的常数项为______.‎ ‎【答案】－32‎ ‎【解析】写出二项式展开通项公式:,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 二项式展开通项公式:‎ ‎ 当时,‎ 二项式展开式中的常数项为:.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求二项式展开式中常数项,解题关键是掌握二项展开式的通项公式,考查分析能力和计算能力,属基础题.‎ ‎14．已知函数,将的图像向右平移个单位后得到的函数图像关于轴对称,则的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将化简可得:, 将的图像向右平移个单位后得:,根据图像关于轴对称,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎ 由辅助角公式可得:‎ 将的图像向右平移个单位后得:‎ ‎ 图像关于轴对称 ‎,,又,‎ ‎,.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角恒等变换、及三角函数的图像变换和三角函数的性质的应用,其中根据三角恒等变换的公式,化简得到函数的解析式,掌握三角函数的图像变换和三角函数的性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎15．已知双曲线:(,)的左,右焦点为,,以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限交于点,线段与双曲线的交点为的中点,则双曲线的离心率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限交于点,故解得,求得,由中点坐标公式解得,将其代入,即可求得双曲线的离心率.‎ ‎【详解】‎ ‎ 以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限交于点,‎ ‎ 解得: 故,‎ 又 ,‎ ‎,代入双曲线方程 可得:,化简可得 ‎ ,又,‎ ‎.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求双曲线离心率的问题,解题关键双曲线的几何性质及离心率的求法,数形结合是本题的关键,查分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎16．已知数列,满足,的前项和为,对任意的,当时,都有,则的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由,当,得.由 可得,即可求得为等差数列,结合当时,都有,即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎ 由,‎ ‎ 当,得.‎ ‎ ——①‎ 可得——②‎ ‎ 由①②得:,故为等差数列.‎ 又,最大,则,,,‎ 即,‎ 又,可得 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题解题关键是根据已知条件判断出数量是等差数列,掌握数列单调性是解本题的关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.‎ 三、解答题 ‎17．已知数列,是一个等差数列,且,,数列是各项均为正数的等比数列,且满足:,.‎ ‎（1）求数列与的通项公式;‎ ‎（2）求证:.‎ ‎【答案】（1），（2）证明见解析 ‎【解析】（1）因为为等差数列,设公差为,则即可求得首项和公差,即可求得.因为为等比数列,,,即可求得公比,进而求得.‎ ‎（2）因为,,所以,根据数列求和错位相减法,即可求得,进而求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） 为等差数列,设公差为,‎ ‎.‎ 为等比数列,,设公比为,则,‎ ‎,,‎ ‎,.‎ ‎（2）令,‎ ‎ ——①‎ 可得: ——②‎ 由①-②得:,‎ ‎.‎ 故.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求等差数列通项公式和数列求和.错位相减法求数列和,适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式,考查了学生的计算能力,属于基础题型.‎ ‎18．2019年双十一落下帷幕,天猫交易额定格在268(单位:十亿元)人民币(下同),再创新高,比去年218(十亿元)多了50(十亿元),这些数字的背后,除了是消费者买买买的表现,更是购物车里中国新消费的奇迹,为了研究历年销售额的变化趋势,一机构统计了2010年到2019年天猫双十一的销售额数据(单位:十亿元).绘制如下表1:‎ 表1‎ 年份 ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ ‎2019‎ 编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 销售额 ‎0.9‎ ‎8.7‎ ‎22.4‎ ‎41‎ ‎65‎ ‎94‎ ‎132.5‎ ‎172.5‎ ‎218‎ ‎268‎ 根据以上数据绘制散点图,如图所示.‎ ‎(1)根据散点图判断,与哪一个适宜作为销售额关于的回归方程类型？(给出判断即可,不必说明理由)‎ ‎(2)根据(1)的判断结果及下表中的数据,建立关于的回归方程,并预测2020年天猫双十一销售额;(注:数据保留小数点后一位)‎ ‎(3)把销售额超过10(十亿元)的年份叫“畅销年”,把销售额超过100(十亿元)的年份叫“狂欢年”,从2010年到2019年这十年的“畅销年”中任取3个,求取到的“狂欢年”个数的分布列与期望.‎ 参考数据:.‎ 参考公式:对于一组数据,,…,,其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,.‎ ‎【答案】（1）更适宜（2），预测2020年双十一的销售额为324.7十亿元（3）答案见解析 ‎【解析】（1）根据其图像的形状,即可得出答案.‎ ‎（2）根据,,即可求得关于的回归方程,即可预测2020年天猫双十一销售额;‎ ‎（3）因为畅销年个数为,狂欢年个数为,的可能取值为,分别求出,,,,即可求得随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据其图像的形状可知,更适宜.‎ ‎（2）,‎ ‎,‎ ‎ ,当时,（十亿元）,‎ 预测2020年双十一的销售额为十亿元.‎ ‎（3）畅销年个数为,狂欢年个数为,的可能取值为 ‎,,‎ ‎,,‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了概率的求法和离散型随机变量分布列及其数学期望,在列分布列时,要弄清随机变量所满足的分布列类型,结合相应公式求出事件的概率,进而得出概率分布列以及数学期望,考查计算能力.‎ ‎19．已知,在中,内角,,的对边分别为,,,,,若.‎ ‎（1）求角;‎ ‎（2）若,求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）因为,,可得:‎ ‎,根据正弦定理可得,即可求得答案.‎ ‎（2）由余弦定理:,,则,根据三角形面积公式即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） ,,‎ ‎ ,‎ 可得:,‎ ‎ .‎ 由正弦定理:‎ 故:‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎.‎ ‎（2）由余弦定理:,‎ ‎,‎ ‎,当且仅当时,,‎ ‎.‎ 面积的最大值为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理,余弦定理解三角形和三角形面积公式,解题关键是利用正弦定理边化角,再利用和角的正弦公式化简所给式子,属于基础题.‎ ‎20．已知椭圆：的两个焦点为,,焦距为,直线:与椭圆相交于,两点,为弦的中点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程;‎ ‎（2）若直线:与椭圆相交于不同的两点,,,若（为坐标原点）,求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】（1）因为为弦的中点,设,,将其代入利用点差法,即可求得答案.‎ ‎（2）因为,,三点共线,, 根据三点共线性质可得:,则,将直线和椭圆联立方程消掉,结合已知,利用韦达定理即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） 焦距为,则,‎ 设,,‎ ‎ 为弦的中点,根据中点坐标公式可得:,,‎ 又 将其,代入椭圆:‎ ‎ ‎ ‎ 将两式作差可得:,‎ ‎,‎ ‎——①.‎ ‎ ——②‎ 由①②得: ‎ 椭圆的标准方程为.‎ ‎（2） ,,三点共线,‎ ‎ 根据三点共线性质可得: ,则 设,,则,‎ ‎.‎ 将直线和椭圆联立方程消掉.‎ 可得:.‎ ‎——①, ‎ 根据韦达定理:,,‎ 代入,可得:,,‎ ‎ ,即.‎ ‎ ,,‎ ‎——②,‎ 代入①式得,即,‎ ‎,‎ 满足②式,‎ 或.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理解决.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）求的单调区间与极值；‎ ‎（2）若不等式对任意恒成立，求正实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）单减区间为,的单增区间为,,无极大值.（2）‎ ‎【解析】（1）因为,定义域为,则,即可求得的单调区间与极值;‎ ‎（2）,故,将其化简可得,,由（1）知在上单增,,,即可求得正实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） ‎ ‎ ,定义域为,‎ 又,,,.‎ 的单减区间为,的单增区间为 ‎,无极大值.‎ ‎（2） ,故 将化简可得: ,‎ ‎.‎ ‎,,‎ 由（1）知在上单增,‎ ‎,‎ ‎,即.‎ 令,‎ 令,‎ 则,‎ ‎ 在上单减,,,‎ ‎,且在上,,,单增,‎ 在上,,,单减. ‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的综合应用和不等式恒成立问题.对于恒成立问题,通常利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的不等关系式.着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.‎ ‎22．在直角坐标系中,曲线:(为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线:,曲线与曲线相交于,两点.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程与直线的一般方;‎ ‎（2）点,求.‎ ‎【答案】（1）：，直线：（2）‎ ‎【解析】（1）将曲线:化简为:,根据消参,即可得到的直角坐标方程,将和直角坐标方程作差,即可求得直线的一般方程.‎ ‎（2）将:方程,改写成直线参数方程: （为参数）,将其代入,即可求得.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）:即. ——① ‎ ‎:——②‎ 将①-②得: :,‎ ‎ 曲线的直角坐标方程: ,直线的一般方程为:.‎ ‎（2）:,‎ ‎ 在上,‎ 直线的参数方程为:（为参数）,‎ 代入:,整理得,‎ 根据韦达定理: ,,‎ ‎,.‎ 故:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了极坐标和直角坐标方程.解题关键是掌握直线的标准参数方程,结合韦达定理来求线段和,意在考查学生的转化能力和计算求解能力,属于基础题.‎ ‎23．已知函数.‎ ‎（1）若,求不等式的解集;‎ ‎（2）证明:对任意,.‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析 ‎【解析】（1）当时,,分别讨论,和时求解,即可求得答案;‎ ‎（2）因为,根据即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时,‎ ‎①当时,,得；‎ ‎②当时,,得,‎ ‎∴‎ ‎③当时,,得,‎ ‎∴.‎ ‎（2） ‎ ‎.‎ ‎ 对任意,.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了含绝对值不等式的求解,其中解答中合理分类讨论去掉绝对值,转化为等价不等式求解是解答的关键,着重考查了分类讨论思想,以及推理与运算能力,属于中档试题.‎