专题5-3 专题突破 高考中的概率与统计问题-2017年全国高考数学考前复习大串讲

专题5-3 专题突破 高考中的概率与统计问题-2017年全国高考数学考前复习大串讲

题型一　古典概型与几何概型 例1　(1)(2015·陕西变式)设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为________．‎ ‎【答案】　－ ‎【解析】　由|z|≤1可得(x－1)2＋y2≤1，表示以(1,0)为圆心，半径为1的圆及其内部，满足y≥x的部分为如图阴影所示，由几何概型概率公式可得所求概率为：‎ P＝＝＝－.‎ ‎(2)有9张卡片分别写着数字1,2,3,4,5,6,7,8,9，甲、乙二人依次从中抽取一张卡片(不放回)，试求：‎ ‎①甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的概率；‎ ‎②甲、乙二人至少抽到一张写有奇数数字卡片的概率．‎ ‎【解析】‎ ‎【思维升华】几何概型与古典概型的本质区别在于试验结果的无限性，几何概型经常涉及的几何度量有长度、面积、体积等，解决几何概型的关键是找准几何测度；古典概型是命题的重点，对于较复杂的基本事件空间，列举时要按照一定的规律进行，做到不重不漏．‎ ‎【跟踪训练1】　(1)为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，我校高二年级通过预赛选出了6个班(含甲、乙)进行经典美文诵读比赛决赛．决赛通过随机抽签方式决定出场顺序．求：‎ ‎①甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；‎ ‎②决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X，求X的概率分布和均值．‎ ‎【解析】‎ 随机变量X的概率分布为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 因此，E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.‎ ‎(2)已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.设点(a，b)是区域内的一点，求函数y＝f(x)在区间1，＋∞)上是增函数的概率．‎ 解　∵函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为直线x＝，‎ 要使f(x)＝ax2－4bx＋1在区间1，＋∞)上为增函数，‎ 当且仅当a>0且≤1，即2b≤a.‎ 依条件可知事件的全部结果所构成的区域为 ，构成所求事件的区域为三角形部分(图略)．‎ 所求概率区间应满足2b≤a.‎ 由得交点坐标为(，)，‎ 故所求事件的概率为P＝＝.‎ 题型二　求离散型随机变量的均值与方差 例2　(2015·四川)某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．‎ ‎(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；‎ ‎(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的概率分布和均值．‎ ‎【解析】‎ ‎ (2)根据题意，X的可能取值为1,2,3，‎ P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝3)＝＝，‎ 所以X的概率分布为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 因此，X的均值为 E(X)＝1×＋2×＋3×＝2.‎ ‎【思维升华】离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其概率分布然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率间的对应．‎ ‎【跟踪训练2】　受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：‎ 品牌 甲 乙 首次出现故障时间x (年)‎ ‎02‎ ‎02‎ 轿车数量(辆)‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎45‎ ‎5‎ ‎45‎ 每辆利润(万元)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1.8‎ ‎2.9‎ 将频率视为概率，解答下列问题：‎ ‎(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；‎ ‎(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的概率分布；‎ ‎(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．‎ ‎【解析】　(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝＝.‎ ‎(2)依题意得，X1的概率分布为 X1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P X2的概率分布为 X2‎ ‎1.8‎ ‎2.9‎ P ‎(3)由(2)得E(X1)＝1×＋2×＋3× ‎＝＝2.86(万元)，‎ E(X2)＝1.8×＋2.9×＝2.79(万元)．‎ 因为E(X1)>E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．‎ 题型三　概率与统计的综合应用 例3　经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位： t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．‎ ‎(1)将T表示为X的函数；‎ ‎(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；‎ ‎(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入100,110)的频率)，求T的均值．‎ ‎ ‎ ‎(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.‎ 由直方图知需求量X∈120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.‎ ‎(3)依题意可得T的概率分布为 T ‎45 000‎ ‎53 000‎ ‎61 000‎ ‎65 000‎ P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ 所以E(T)＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.‎ ‎【思维升华】概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．‎ ‎【跟踪训练3】　如图茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．‎ ‎(1)如果X＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；‎ ‎(2)如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的概率分布和均值．‎ ‎(注：方差s2＝(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中为x1，x2，…，xn的平均数)‎ 同理可得P(Y＝18)＝，P(Y＝19)＝，P(Y＝20)＝，P(Y＝21)＝.‎ 所以随机变量Y的概率分布为 Y ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ P E(Y)＝17×＋18×＋19×＋20×＋21×＝19.‎