【数学】2021届一轮复习人教A版（理）第三章第四讲　定积分与微积分基本定理

【数学】2021届一轮复习人教A版（理）第三章第四讲　定积分与微积分基本定理

第四讲　定积分与微积分基本定理 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1.下列结论正确的个数为(　　)‎ ‎(1)若函数y=f (x)在区间[a,b]上连续,则abf (x)dx=abf (t)dt.‎ ‎(2)若函数y=f (x)在区间[a,b]上连续且函数值恒为正数,则abf (x)dx>0.‎ ‎(3)若abf (x)dx<0,则由曲线y=f (x),直线x=a,直线x=b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方.‎ ‎(4)曲线y=x2与直线y=x所围成图形的面积是‎0‎‎1‎(x2 - x)dx.‎ ‎(5)若f (x)是偶函数,则‎-aaf (x)dx=2‎0‎af (x)dx.‎ ‎(6)若f (x)是奇函数,则‎-aaf (x)dx=0.‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎2.[湖北高考,5分][理]若函数f (x),g(x)满足‎-1‎‎1‎f (x)·g(x)dx=0,则称f (x),g(x)为区间[ - 1,1]上的一组正交函数.给出三组函数:‎ ‎①f (x)=sin ‎1‎‎2‎x,g(x)=cos ‎1‎‎2‎x;‎ ‎②f (x)=x+1,g(x)=x - 1;‎ ‎②f (x)=x,g(x)=x2.‎ 其中为区间[ - 1,1]上的正交函数的组数是(　　)‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎3.[2015湖南,11,5分][理]‎0‎‎2‎(x - 1)dx=　　　. ‎ ‎4.[2019成都高三摸底考试]若‎-1‎‎1‎(ax2+sin x)dx=1,则实数a的值为　　　　　. ‎ ‎5.一物体作变速直线运动,其v - t曲线如图3 - 4 - 1所示,则该物体在‎1‎‎2‎ s~6 s间的运动路程为　　　　m. ‎ 考法1求定积分 ‎1计算下列定积分:‎ ‎(1)∫‎ ‎‎1‎‎2‎‎2‎xdx ; (2)∫‎ ‎π‎0‎cos xdx ; (3)∫‎ ‎‎1‎‎3‎(2x - ‎1‎x‎2‎)dx.‎ 求出被积函数的原函数即可得出结果.‎ ‎(1)因为(lnx)' =‎1‎x,所以∫‎ ‎‎1‎‎2‎‎2‎xdx=2∫‎ ‎‎1‎‎2‎‎1‎xdx=2lnx‎ ‎‎1‎‎2‎=2(ln2 - ln1)=2ln2.‎ ‎(2)因为(sinx)' =cosx,所以∫‎ ‎π‎0‎cosxdx=sinx‎ ‎π‎0‎=sinπ - sin0=0.‎ ‎(3)因为(x2)' =2x,(‎1‎x)' = - ‎1‎x‎2‎,所以∫‎ ‎‎1‎‎3‎(2x - ‎1‎x‎2‎)dx=∫‎ ‎‎1‎‎3‎2xdx+∫‎ ‎‎1‎‎3‎( - ‎1‎x‎2‎)dx=x2‎ ‎‎1‎‎3‎‎+‎‎1‎x‎ ‎‎1‎‎3‎‎=‎‎22‎‎3‎.‎ ‎2利用定积分的几何意义计算下列定积分:‎ ‎(1)∫‎ ‎‎0‎‎1‎‎1-(x-1‎‎)‎‎2‎dx;(2)‎-5‎‎5‎(3x3+4sin x)dx.‎ ‎(1)根据定积分的几何意义,可知∫‎ ‎‎0‎‎1‎‎1-(x-1‎‎)‎‎2‎dx表示的是圆(x - 1)2+y2=1的面积的‎1‎‎4‎(如图3 - 4 - 2中阴影部分).‎ 故∫‎ ‎‎0‎‎1‎‎1-(x-1‎‎)‎‎2‎dx=π‎4‎.‎ ‎(2)设f (x)=3x3+4sinx,‎ 则f ( - x)=3( - x)3+4sin( - x)= - (3x3+4sinx)= - f (x),所以f (x)=3x3+4sinx在[ - 5,5]上是奇函数.‎ 所以‎-5‎‎0‎(3x3+4sinx)dx= - ∫‎ ‎‎0‎‎5‎(3x3+4sinx)dx.‎ 所以‎-5‎‎5‎(3x3+4sinx)dx=‎-5‎‎0‎(3x3+4sinx)dx+∫‎ ‎‎0‎‎5‎(3x3+4sinx)dx=0.‎ ‎1.(1)设f (x)=x‎2‎‎,x∈[0,1],‎‎1‎x‎,x∈(1,e]‎(e为自然对数的底数),则e‎0‎f (x)dx的值为　　　　. ‎ ‎(2)e‎1‎‎1‎xdx+‎-2‎‎2‎‎4-‎x‎2‎dx=　　　　. ‎ 考法2定积分的应用 命题角度1　求平面图形的面积 ‎3由抛物线y2=2x与直线y=x - 4围成的平面图形的面积为　　　　. ‎ 求出两曲线的交点坐标,可将所围成的平面图形进行适当分割,利用定积分的几何意义转化为求定积分的值.‎ 如图3 - 4 - 3所示,解方程组y‎2‎‎=2x,‎y=x-4,‎得两交点的坐标分别为(2, - 2),(8,4).‎ 解法一　选取横坐标x为积分变量,则图3 - 4 - 3中阴影部分的面积S可看作两部分面积之和,即S=2∫‎ ‎‎0‎‎2‎‎2xdx+∫‎ ‎‎2‎‎8‎(‎2x - x+4)dx=18.‎ 解法二　选取纵坐标y为积分变量,则图3 - 4 - 3中阴影部分的面积S=‎-2‎‎4‎(y+4 - ‎1‎‎2‎y2)dy=18.‎ 命题角度2　定积分在物理中的应用 ‎4一物体A以速度v(t)=t2 - t+6做直线运动,则当时间由t=1变化到t=4时,物体A运动的路程是 A.26.5 　B.53 　C.31.5 　D.63‎ 利用微积分基本定理求解.‎ 由题意可得,在t=1到t=4这段时间内物体A运动的路程S=‎1‎‎4‎(t2 - t+6)dt=(‎1‎‎3‎t3 - ‎1‎‎2‎t2+6t)‎ ‎‎1‎‎4‎=(‎64‎‎3‎ - 8+24) - (‎1‎‎3‎‎-‎‎1‎‎2‎+6)=31.5.‎ C ‎2.(1)曲线y=‎1‎‎4‎x2和其在点(2,1)处的切线以及x轴围成的封闭图形的面积为　　　　. ‎ ‎(2)设变力F (x)作用在质点M上,使M沿x轴正向从x=1运动到x=10,已知F (x)=x2+1且方向和x轴正向相同,则变力F (x)对质点M所做的功为　　　　J(x的单位:m;力的单位:N). ‎ 易错平面图形的上下边界弄错致误 ‎5[2019昆明模拟]由曲线y= - x2,y= - ‎1‎‎4‎x2及直线y= - 1所围成的平面图形(即图3 - 4 - 4的阴影部分)的面积为　　　　. ‎ 本题易出现的错误是:(1)误认为线段CA,BD是平面图形的下边界而得到错误答案;(2)被积函数搞错致误.‎ 由y=-x‎2‎,‎y=-1‎得交点的坐标为A( - 1, - 1),B(1, - 1).‎ 由y=-‎1‎‎4‎x‎2‎,‎y=-1‎得交点的坐标为C( - 2, - 1),D(2, - 1).所以所求面积S=2[‎0‎‎1‎( - ‎1‎‎4‎x2+x2)dx+‎1‎‎2‎( - ‎1‎‎4‎x2+1)dx]=‎4‎‎3‎.‎ 素养提升　‎ ‎(1)当平面图形的上(下)边界是不同的函数的图象时,可在交点处作x轴的垂线,从而确定积分上、下限,分段求面积.‎ ‎(2)被积函数实际上就是曲线所围图形的上边界的函数解析式减去下边界的函数解析式.‎ 定积分及其应用综合体现了直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养,引导学生用数学思维思考问题,体现了数学的严谨性.‎ ‎1.B　对于(1),因为定积分的值仅仅取决于被积函数与积分的上限、下限,而与积分变量用什么字母表示无关,故(1)正确;对于(2),由定积分的几何意义可知(2)正确;对于(3),因为a,b的大小不确定,故(3)错误;对于(4),曲线y=x2与直线y=x所围成图形的面积是‎0‎‎1‎(x - x2)dx,故(4)错误;对于(5),由偶函数的定义可知,‎ - aaf (x)dx=2‎0‎af (x)dx,故(5)正确;对于(6),由奇函数的定义可知(6)正确.‎ 综上,正确的个数为4,选B.‎ ‎2.C　对于①,‎ - 1‎‎1‎sin ‎1‎‎2‎xcos ‎1‎‎2‎xdx=‎ - 1‎‎1‎‎1‎‎2‎sin xdx=0,所以①是一组正交函数;‎ 对于②,‎ - 1‎‎1‎(x+1)(x - 1)dx=‎ - 1‎‎1‎(x2 - 1)dx≠0,所以②不是一组正交函数;‎ 对于③,‎ - 1‎‎1‎x·x2dx=‎ - 1‎‎1‎x3dx=0,所以③是一组正交函数.选C.‎ ‎3.0　‎0‎‎2‎(x - 1)dx=(‎1‎‎2‎x2 - x)‎ ‎‎0‎‎2‎‎=‎‎1‎‎2‎×4 - 2=0.‎ ‎4.‎3‎‎2‎　因为(‎1‎‎3‎ax3 - cos x)'=ax2+sin x,所以‎ - 1‎‎1‎(ax2+sin x)dx=‎(‎1‎‎3‎ax‎3‎ - cosx)‎‎ - 1‎‎1‎=1,即(‎1‎‎3‎a - cos 1) - ( - ‎1‎‎3‎a - cos 1)=1,解得a=‎3‎‎2‎.‎ ‎5.‎49‎‎4‎　由题图可知,v(t)=‎2t,0≤t<1,‎‎2,1≤t≤3,‎‎1‎‎3‎t+1,3

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