2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（安徽卷）

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（安徽卷）

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）‎ ‎[试卷总评]‎ ‎2013年安徽文科卷相对于2012年安徽文科卷的难度来说有所加大。‎ 从试卷命题特点方面：（1）对主干知识（函数、数列、圆锥曲线、立体几何、三角函数、概率统计）的重点考查，尤其是函数，考了四道小题，一道大题，而且函数小题两道是以压轴题的形式出现；（2）注重能力的考查：一方面在知识的交汇处命题，如第19题；另一方面重视对数学能力和思想方法的考查，如计算能力考查（第9,13,17,21题），转化思想的考查（第8,10,20题），数形结合的考查（第6，8，10题）等等；（3）注重理论联系实际，如第17题概率统计；（4）注重对创新意识的考查，如第21题。‎ 从试卷难度方面：选择填空跟以往的试卷一样从易到难，但在做的过程中不是那么顺畅。第1题考查复数，难度不大；第2题考查集合的交与补以及不等式求法；第3题程序框图，简单；第4题充分必要条件，容易题；第5题古典概型，只要考生能够理解题意，基本没问题；第6题直线与圆的方程，考查圆中弦长的求法，第7题等差数列基本量的求解，简单；第11题考查函数定义域的求法，简单；第12题常规的线性规划题，难度不大；第14题，抽象函数解析式的求解，难度中等。选择题第8,9,10题，填空题第13,15题难度加大。第8题考查函数转化思想以及数形结合，难度很大，考生不一定能想到方法；第9题三角函数，对正弦余弦定理的考查，计算量大；第10题函数零点的考查，难度很大，不容易做好；第13题平面向量，数量积的运算，需要细心；第15题立体几何的截面问题，是考生平时学习中最不容易弄明白的地方。大题第16题三角函数：容易，主要考查恒等变形，三角函数图像变换，考生需注意图像变换时语言的描叙；大题第17题概率统计：难度不大，对计算的要求很高，在那种高压环境下必须有个良好的心态才能做好；大题第18题立体几何：难度中等，常规性的考查了三棱锥体积的求法，在选择顶点的过程中，需要考生注意看清垂直关系；大题第19题数列：综合性强，将函数求导利用到数列求通项中，只要学生能够细心，拿下这道题还是没有问题的；大题第20题函数：题型新颖，考查考生对新问题冷静处理的能力，对区间长度的准确理解；大题第21题：难度较大，计算量大，点比较多，也容易把考生绕进去，要将这题做好，需要一定的计算基本功。‎ ‎[详细解析]‎ 一．选择题选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）设是虚数单位，若复数是纯虚数，则的值为 （ ）‎ ‎（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3‎ ‎【答案】D ‎【解析】，所以a=3，‎ 故选择D ‎【考点定位】考查纯虚数的概念，及复数的运算，属于简单题.‎ ‎（2）已知，则 （ ）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎ （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】A：，，，所以答案选A ‎【考点定位】考查集合的交集和补集，属于简单题.‎ ‎（3）如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为 ‎（A） （B） ‎ ‎ （C） （D） ‎ ‎【答案】C ‎【解析】；‎ ‎ ；‎ ‎ ‎ ‎ ，输出 所以答案选择C ‎【考点定位】本题考查算法框图的识别，逻辑思维，属于中等难题.‎ ‎（4）“”是“”的 ‎ （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎ （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】，所以答案选择B ‎【考点定位】考查充分条件和必要条件，属于简单题.‎ （5） 若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被 ‎ ‎ 录用的概率为 ‎ （A） (B) ‎ ‎ (C) （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】总的可能性有10种，甲被录用乙没被录用的可能性3种，乙被录用甲没被录用的可能性3种，甲乙都被录用的可能性3种，所以最后的概率 ‎【考点定位】考查古典概型的概念，以及对一些常见问题的分析，简单题.‎ ‎（6）直线被圆截得的弦长为 ‎ （A）1 （B）2 ‎ ‎ （C）4 （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】圆心，圆心到直线的距离，半径，所以最后弦长为.‎ ‎【考点定位】考查解析几何初步知识，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，简单题.‎ ‎（7）设为等差数列的前项和，，则=‎ ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎【考点定位】考查等差数列通项公式和前n项公式的应用，以及数列基本量的求解.‎ ‎(8) 函数的图像如图所示，在区间上可找到个不同的数 ‎，使得，则的取值范围为 ‎ (A) (B) ‎ ‎ (C) (D) ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 表示到原点的斜率； ‎ 表示与原点连线的斜率，而在曲线图像上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有几个，很明显有3个，故选B.‎ ‎【考点定位】考查数学中的转化思想，对函数的图像认识.‎ ‎(9) 设的内角所对边的长分别为，若,则角=‎ ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由正弦定理，所以；‎ ‎ 因为，所以，‎ ‎，所以，答案选择B ‎【考点定位】考查正弦定理和余弦定理，属于中等难度.‎ （10） 已知函数有两个极值点，若，则关于的方程 ‎ 的不同实根个数为 ‎ （A）3 (B) 4‎ ‎ (C) 5 (D) 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】，是方程的两根，‎ 由，则又两个使得等式成立，，，其函数图象如下：‎ 如图则有3个交点，故选A.‎ ‎【考点定位】考查函数零点的概念，以及对嵌套型函数的理解.‎ 二． 填空题 ‎（11） 函数的定义域为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，求交集之后得的取值范围 ‎【考点定位】考查函数定义域的求解，对数真数位置大于0，分母不为0，偶次根式底下大于等于0.‎ ‎（12）若非负数变量满足约束条件，则的最大值为__________. ‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ 由题意约束条件的图像如下：‎ 当直线经过时，，取得最大值.‎ ‎【考点定位】考查线性规划求最值的问题，要熟练掌握约束条件的图像画法，以及判断何时取最大.‎ ‎（13）若非零向量满足，则夹角的余弦值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】等式平方得：‎ 则，即 得 ‎【考点定位】考查向量模长，向量数量积的运算，向量最基本的化简.‎ ‎（14）定义在上的函数满足.若当时。，‎ ‎ 则当时，=________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当，则，故 又，所以 ‎【考点定位】考查抽象函数解析式的求解.‎ （15） 如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）。‎ ‎①当时，为四边形 ‎②当时，为等腰梯形 ‎③当时，与的交点满足 ‎④当时，为六边形 ‎⑤当时，的面积为 ‎【答案】①②③⑤‎ ‎【解析】（1），S等腰梯形，②正确，图如下：‎ ‎（2），S是菱形，面积为，⑤正确，图如下：‎ ‎（3），画图如下：，③正确 ‎（4），如图是五边形，④不正确；‎ ‎（5），如下图，是四边形，故①正确 ‎【考点定位】考查立体几何中关于切割的问题，以及如何确定平面。‎ 二． 解答题 ‎（16）（本小题满分12分）‎ ‎ 设函数.‎ ‎ （Ⅰ）求的最小值，并求使取得最小值的的集合；‎ ‎ （Ⅱ）不画图，说明函数的图像可由的图象经过怎样的变化得到.‎ ‎【解析】（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时，，此时 所以，的最小值为，此时x 的集合.‎ (2) 横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得；‎ ‎ 然后向左平移个单位，得 ‎【考点定位】本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换.考查逻辑推理和运算求解能力，中等难度.‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ ‎ 为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下：‎ ‎ 甲 乙 ‎ 7 4 5 ‎ ‎ 5 3 3 2 5 3 3 8 ‎ ‎ 5 5 4 3 3 3 1 0 0 6 0 6 9 1 1 2 2 3 3 5‎ ‎ 8 6 6 2 2 1 1 0 0 7 0 0 2 2 2 3 3 6 6 9‎ ‎ 7 5 4 4 2 8 1 1 5 5 8 ‎ ‎ 2 0 9 0‎ ‎（Ⅰ）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；‎ ‎（Ⅱ）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为，估计的值.‎ ‎【解析】（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎【考点定位】考查随机抽样与茎叶图等统计学基本知识，考查用样本估计总体的思想性以及数据分析处理能力.‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，.已知 .‎ ‎（Ⅰ）证明：‎ ‎（Ⅱ）若为的中点，求三菱锥的体积.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）证明：连接交于点 ‎ ‎ ‎ 又是菱形 ‎ ‎ 而 ⊥面 ⊥‎ ‎ (2) 由（1）⊥面 ‎ ‎ =‎ ‎ ‎ ‎【考点定位】考查空间直线与直线，直线与平面的位置，.三棱锥体积等基础知识和基本技能，考查空间观念，推理论证能力和运算能力.‎ ‎（19）（本小题满分13分）‎ ‎ 设数列满足，,且对任意，函数 满足 ‎ (Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前项和.‎ ‎【解析】‎ 由 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以，‎ ‎ 是等差数列.‎ 而 ‎ ‎ （2）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【考点定位】考查函数的求导法则和求导公式，等差、等比数列的性质和数列基本量的求解.并考查逻辑推理能力和运算能力.‎ （20） ‎（本小题满分13分）‎ ‎ 设函数，其中，区间.‎ ‎（Ⅰ）求的长度（注：区间的长度定义为；‎ ‎（Ⅱ）给定常数，当时，求长度的最小值.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）令 ‎ 解得 ‎ ‎ 的长度 ‎（2） 则 ‎ ‎ 由 （1）‎ ‎，则 故关于在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【考点定位】考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用，并考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力.‎ ‎（21）（本小题满分13分）‎ 已知椭圆的焦距为4，且过点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为。取点,连接，过点作的垂线交轴于点。点是点关于轴的对称点，作直线，问这样作出的直线是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由.‎ ‎【解析】‎ ‎ （1）因为椭圆过点 ‎ 且 ‎ ‎ 椭圆C的方程是 ‎（2）‎ 由题意，各点的坐标如上图所示，‎ 则的直线方程：‎ 化简得 又，‎ 所以带入 求得最后 所以直线与椭圆只有一个公共点.‎ ‎【考点定位】考查椭圆的标准方程及其几何性质，直线和椭圆的位置关系，并考查数形结合思想，逻辑推理能力及运算能力.‎