福建省厦门市2013届高三3月质量检查理科数学试题

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福建省厦门市2013届高三3月质量检查理科数学试题

厦门市2013届高三质量检查 数学(理科)试卷 注意事项:‎ ‎1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答,答题前,请在答题卷内填写学校、班级、学号、姓名;‎ ‎2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分150分,考试时间120分钟.‎ 第Ⅰ卷 (选择题 共50分)‎ 一. 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.‎ ‎1.已知全集,集合,,则等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2. 双曲线的渐近线方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3. 某雷达测速区规定:凡车速大于或等于80 km/h的汽车视为“超速”,并将受到处罚.如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图,则从图中可以看出被处罚的汽车大约有( )‎ A.20辆 B.40辆 C.60辆 D.80辆 ‎4. “”是”的( )‎ ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5.函数( )‎ ‎ A.是偶函数且为减函数 B. 是偶函数且为增函数 ‎ C.是奇函数且为减函数 D. 是奇函数且为增函数 开始 i = 0‎ 输入正整数n n为奇数?‎ n = 3n+1‎ n = n/2‎ i = i + 1‎ n = 1?‎ 输出i 结束 ‎6. 若不等式组表示的平面区域为,不等式表示的平面区域为,‎ 现随机向区域内投掷一粒豆子,则豆子落在区域内的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局则比赛结束,假定甲每局比赛获胜的概率均为,则甲以3∶1的比分获胜的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎8. 在右侧程序框图中,输入,按程序运行后输出的结果是( )‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎9.若函数在上有最小值,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10. 中,,为锐角,点O是外接圆的圆心,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)‎ 二.填空题:本大题共5小题,每小题4分,满分20分。‎ ‎11.若为纯虚数(为虚数单位),则实数= .‎ ‎12.已知则= .‎ ‎13.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是等边三角形,俯视图 是半圆。现有一只蚂蚁从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到 A点,则蚂蚁所经过路程的最小值为________.‎ ‎14.在含有3件次品的10件产品中,取出件产品,‎ 记表示取出的次品数,算得如下一组期望值:‎ ‎ 当n=1时, ;‎ ‎ 当n=2时, ;‎ ‎ 当n=3时, ;‎ ‎……‎ 观察以上结果,可以推测:若在含有件次品的件产品中,取出件产品,记表示取出的次品数,则= .‎ ‎15.某同学在研究函数的性质时,受到两点间距离公式的启发,将变形为,则表示(如图),下列关于函数的描述正确的是 .(填上所有正确结论的序号)‎ ‎①的图象是中心对称图形; ②的图象是轴对称图形;‎ ‎③函数的值域为; ④方程有两个解.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16.(本小题满分13分)‎ 已知函数()的周期为4。‎ ‎(Ⅰ)求 的解析式;‎ ‎(Ⅱ)将的图象沿轴向右平移个单位得到函数的图象,‎ ‎、分别为函数图象的最高点和最低点(如图),求的大小。‎ ‎17.(本小题满分13分)‎ 如图,PA,QC都与正方形ABCD所在平面垂直,AB=PA=2QC=2,AC∩BD=O ‎(Ⅰ)求证:OP⊥平面QBD;‎ ‎(Ⅱ)求二面角P-BQ-D平面角的余弦值;‎ ‎ (Ⅲ)过点C与平面PBQ平行的平面交PD于点E,求的值.‎ ‎18.(本小题满分13分)‎ 某城市2002年有人口200万,该年医疗费用投入10亿元。此后该城市每年新增人口10万,医疗费用投入每年新增亿元。已知2012年该城市医疗费用人均投入1000元。‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)预计该城市从2013年起,每年人口增长率为10%。为加大医疗改革力度,要求将来10年医疗费用总投入达到690亿元,若医疗费用人均投入每年新增元,求的值。‎ ‎(参考数据:)‎ ‎19. (本小题满分13分)‎ 已知函数在处的切线与直线垂直,函数.‎ ‎(Ⅰ)求实数的值;‎ ‎(Ⅱ)若函数存在单调递减区间,求实数b的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)设是函数的两个极值点,若,求的最大值.‎ ‎20. (本小题满分14分)‎ 已知椭圆.‎ ‎(Ⅰ)我们知道圆具有性质:若为圆O:的弦AB的中点,则直线AB的斜率与直线OE的斜率的乘积为定值。类比圆的这个性质,写出椭圆的类似性质,并加以证明;‎ ‎(Ⅱ)如图(1),点B为在第一象限中的任意一点,过B作的切线,分别与x轴和y轴的正半轴交于C,D两点,求三角形OCD面积的最小值;‎ ‎(Ⅲ)如图(2),过椭圆上任意一点作的两条切线PM和PN,切点分别为M,N.当点P在椭圆上运动时,是否存在定圆恒与直线MN相切?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ 图(1) 图(2)‎ ‎21.本题设有(1)(2)(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.‎ ‎(1)(本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换 已知矩阵 ,.‎ ‎(Ⅰ)求矩阵A的逆矩阵;‎ ‎(Ⅱ)求直线在矩阵对应的线性变换作用下所得曲线的方程.‎ ‎(2)(本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程是(为参数).‎ ‎(Ⅰ)将C的方程化为普通方程;‎ ‎(Ⅱ)以为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设曲线C的极坐标方程是, ‎ 求曲线C与C交点的极坐标. ‎ ‎(3)(本小题满分7分)选修4-5:不等式选讲 已知正数,,满足.‎ ‎(Ⅰ)求的最大值;‎ ‎(Ⅱ)若不等式对满足条件的,,恒成立,求实数 的取值范围.‎ 厦门市2013届高三质量检查 数学(理科)评分标准 一.选择题; ‎ ‎10.分析1:BC=2,,所以,如图建系,‎ ‎,求得圆O:,设,则 分析2:…‎ 分析3:‎ 又,‎ 所以=‎ 二.填空题: 11. 12. 13. (或) 14. 15.②③‎ ‎15.分析:如图设,当P,Q关于对称时,即 ‎ ,所以f(x)关于对称.‎ ‎ ④设,则,观察出,则,由③知无解.‎ 三.解答题:‎ ‎16.本题考查了三角函数和角公式的变换和三角函数图像周期、对称、平移等基本性质,考查运用有关勾股定理、余弦定理求解三角形的能力,考查了运用数形结合的数学思想解决问题的能力.满分13分.‎ 解:(1)‎ ‎ ----------------------------------------------------------------1分 ‎-------------------------------------3分 ‎ -------------------------------------5分 ‎ -------------------------------------6分 ‎(2)将的图像沿轴向右平移个单位得到函数---------------------------7分 因为、分别为该图像的最高点和最低点,‎ 所以--------------------------------------------------------------------------9分 所以----------------------------------------------------------------------------10分 ‎--------------------------------------------------12分 所以---------------------------------------------------------------------------------------13分 法2:‎ 法3:利用数量积公式 ,‎ ‎17. 本题主要考查空间直线与平面垂直的判断、线面平行及二面角的判断及计算、空间向量应用的基本方法,‎ 考查空间想象、计算、推理论证等能力.满分13分.‎ 解:(Ⅰ)连接OQ,由题知PA∥QC,∴P、A、Q、C共面 BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A,‎ ‎∴BD⊥平面PACQ, ∴BD⊥OP. ------------------------------------------------------1分 由题中数据得PA=2,AO=OC=,OP=,QC=1,OQ=‎ ‎∴△ PAO∽ △ OCQ,∴∠POA=∠OQC,‎ 又∵∠POA+∠OPA=90°∴∠POA+∠COQ=90°∴OP⊥OQ ‎(或计算PQ=3,由勾股定理得出∠POQ=90°,OP⊥OQ)------------------3分 ‎∵OP⊥BD, OP⊥OQ,BD∩OQ=O,∴OP⊥平面QBD--------------------------4分 ‎(Ⅱ)如图,以A为原点,分别以AB,AD,AP所在直线为X,Y,Z轴建立直角坐标系,‎ ‎∴各点坐标分别为A(0,0,0) ,B(2,0,0) ,C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),Q(2,2,1),O(1,1,0)-- -----------------5分 ‎∴=(-2,0,2), =(0,2,1),设平面PBQ的法向量 ‎∴,得,‎ 不妨设,∴--------------------------------------------------------------------------------------------------6分 由(Ⅰ)知平面BDQ的法向量,---------------------------------------------------------------------------7分 ‎,>=,‎ ‎∴二面角P-BQ-D平面角的余弦值为.--------------------------------------9分 ‎(Ⅲ)设,∴,‎ ‎,--------------------------------------------------11分 ‎∵CE∥平面PBQ,∴与平面PBQ的法向量垂直。‎ ‎,---------------------------------------------------12分 ‎∴. ∴--------------------------------------------------13分 ‎(方法二)在平面PAD中,分别过D点、P点作直线PA、AD的平行线相交于点M,‎ 连结MC交直线DQ与点N,在平面PQD中过点N作直线NE∥PQ交PQ于点E,----------------------------11分 由题可知CN∥PB,NE∥PQ,CN∩NE=N ‎∴平面CNE∥平面PBQ,∴CE∥平面PBQ----------------------------------12分 ‎∵CQ=1,MD=PA=2,∴‎ ‎∵NE∥PQ, ------------------------------------------------------------13分 ‎18.本题主要考查学生审题阅读、理解分析的能力,考查等差等比数列的基本知识,考查数学建模及其应用与计算的能力,考查运用数学知识分析问题和解决实际问题问题的能力.满分13分.‎ 解:(Ⅰ)依题意,从2002年起,该城市的人口数组成一个等差数列, ‎ 到2012年,,该城市的人口数为万人, --------------------------------2分 故2012年医疗费用投入为元,即为30亿元,‎ 由于从2002年到2012年医疗费用投入也组成一个等差数列,--------------------------------------------------4分 所以,解得,----------------------5分 ‎(Ⅱ)依题意,从2013年起(记2013年为第一年),‎ 该城市的人口数组成一个等比数列,‎ 其中,公比,-----------6分 医疗费用人均投入组成一个等差数列,‎ 其中,公差为,;------------------7分 于是,从2013年起,将来10医疗费用总投入为:‎ ‎,----------------------------------------8分 ‎,‎ ‎,‎ 相减得:,‎ ‎,‎ 所以(万元),----------------12分 由题设,,解得。---------------13分 ‎19. 本题主要考查函数的导数的几何意义,导数知识的应用等基础知识,函数的单调性、考查运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、数学建模应用解决问题、分类与整合思想。满分13分.‎ 解:(Ⅰ)∵,∴.----------------------------1分 ‎ ∵与直线垂直,∴,∴.---------------------------------3分 ‎ (Ⅱ)∵,∴.---------------------------4分 由题知在上有解,∵,----------------------------------------------------------------5分 设,则 ∴只须------------------------------7分 ‎,故的取值范围为.-------------------------------------------------8分 ‎(Ⅲ)∵,∴令,得:‎ ‎ ∴, ‎ ‎ 法1:∵‎ ‎ ‎ ‎----------------------------10分 ‎ ∵,∴设,令-------------------------11分 则,∴在上单调递减.-----------------------------------------12分 又∵,∴,即 ‎∵,∴,∴,,故所求最小值为--13分 ‎ 法2:同上得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎--------------------------------------------10分 令,则----------------------------------------11分 ‎≥0----------------------------------------------------------12分 在上为增函数.当时, 故所求最小值为 ‎---------------------13分 ‎20.本题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识,考查类比推理论证能力、运算求解能力,考查一般到特殊的思想方法、函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。满分14分.‎ 解:(Ⅰ)若A,B为椭圆上相异的两点,为A,B中点,当直线AB ‎ 的斜率与直线OP的斜率的乘积必为定值;----- -------------1分 ‎ 证1:设,则 ‎ (2)-(1)得:,-----------2分 ‎ 仅考虑斜率存在的情况:----------------------------------------4分 ‎ 证2:设AB:与椭圆联立得:‎ ‎ ,-----------------------------------------------------------------------------------------------------2分 ‎ 所以----------4分 ‎ (Ⅱ)(ⅰ)当点A无限趋近于点B时,割线AB的斜率就等于椭圆上的B的切线的斜率,‎ ‎ 即,‎ 所以点B处的切线QB:----------------6分 令,,令,所以-----------------8分 又点B在椭圆的第一象限上,所以 ‎,当且仅当 所以当时,三角形OCD的面积的最小值为-------10分(没写等号成立扣1分)‎ ‎(ⅱ)设,由(ⅰ)知点处的切线为:‎ 又过点,所以,又可理解为点在直线上 同理点在直线上,所以直线MN的方程为: --------------------------12分 所以原点O到直线MN的距离,----------13分 所以直线MN始终与圆相切.  ------------------------14分 ‎21. (1)选修4-2:矩阵与变换 本小题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法等基础知识,考查书写表达能力、运算求解能力。满分7分K^S*5U.C#O%‎ 解:(Ⅰ),矩阵A可逆. ---------------------------------------------------------------------1分 且 -------------------------------------------------------------------------------------------3分 ‎(Ⅱ)== ---------------------------------------------------------------------------4分 ‎ 设直线上任意一点在矩阵对应的线性变换作用下得到,‎ 则= ----------------------------------------------------------------------------------------------------5分 即:,从而 ------------------------------------------------------------------------------6分 代入得 即为所求的曲线方程。-------------------------------------7分 ‎(2)选修4-4:坐标系与参数方程 本小题主要考查圆的参数方程、直线的极坐标方程、直线与圆的位置关系、极直互化等基础知识,考查运算求解能力,数形结合思想。满分7分 解:(Ⅰ)C的普通方程为:---------------------------------------------------------------------------3分 ‎(Ⅱ)法一:如图,设圆心为A,原点O在圆上,‎ 设 C与C相交于O、B,取线段OB中点C,‎ ‎ 直线OB倾斜角为,OA=2,-----------------------------------------------4分 OC=1 从而OB=2,-------------------------------------------------------------5分 O、B的极坐标分别为------------------------------------7分 法二:C的直角坐标方程为:--------------------------------------4分 ‎ 代入圆的普通方程后,得,即:,得: ‎ ‎ O、B的直角坐标分别为---------------------------------------------------------------------5分 从而O、B的极坐标分别为---------------------------------------------------------------------7分 ‎(3)选修4-5:不等式选讲 本小题主要考查柯西不等式、绝对值的意义、绝对值不等式、恒成立问题等基础知识,考查运算求解能力,分类讨论思想。满分7分 解:(Ⅰ)由柯西不等式, ----------------------------------------------1分 ‎ 即有,‎ ‎ 又、、是正数,即的最大值为6,-------------------------------------2分 ‎ 当且仅当,即当时取得最大值。-------------------------------------------------3分 ‎(Ⅱ)由题意及(Ⅰ)得, ------------------------------------------------------4分 即: ---------------------------------------------------------------------6分 解得:无解 或 综上,实数的取值范围为 ------------------------------------------7分
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