2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题13 算法、推理与证明、复数（讲）（解析版）

2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题13 算法、推理与证明、复数（讲）（解析版）

专题13 算法、推理与证明、复数 ‎1．【2019年高考全国Ⅰ卷】如图是求的程序框图，图中空白框中应填入 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择．‎ ‎【解析】初始：，因为第一次应该计算=，=2；执行第2次，，因为第二次应该计算=，=3，结束循环，故循环体为，故选A．‎ ‎【秒杀速解】认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为．‎ ‎2．【2019年高考天津卷】阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的值为 A．5 B．8‎ C．24 D．29‎ ‎【答案】B ‎【分析】根据程序框图，逐步写出运算结果即可．‎ ‎【解析】；；，结束循环，输出．故选B．‎ ‎【名师点睛】解答本题要注意要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．‎ ‎3．【2019年高考北京卷】执行如图所示的程序框图，输出的s值为 A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【分析】根据程序框图中的条件逐次运算即可．‎ ‎【解析】初始：，，运行第一次，，，运行第二次，，‎ ‎，‎ 运行第三次，，结束循环，输出，故选B．‎ ‎【名师点睛】本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查．‎ ‎4．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点(x，y)和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案为C．‎ ‎【解析】由题可得则．故选C．‎ ‎5．【2019年高考全国Ⅱ卷】设，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【分析】根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据共轭复数的概念写出即可．‎ ‎【解析】由题可得，所以，故选D．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算及共轭复数，是容易题，注重对基础知识、基本计算能力的考查．其中，正确理解概念、准确计算是解答此类问题的关键，部分考生易出现理解性错误．‎ ‎6．【2019年高考全国Ⅲ卷】若，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题可得．故选D．‎ ‎【名师点睛】本题考查复数的除法的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．‎ ‎7、【2019年高考全国I卷】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(‎ ‎≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是( )‎ A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm ‎【答案】B ‎【解析】设人体脖子下端至肚脐的长为x cm，肚脐至腿根的长为y cm，则，得．又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为42.07+5.15+105+26=178.22，接近175cm．故选B．‎ ‎【名师点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．‎ ‎8．【2019年高考全国III卷】记不等式组表示的平面区域为D．命题；命题．下面给出了四个命题 ‎① ② ③ ④‎ 这四个命题中，所有真命题的编号是 A．①③ B．①② C．②③ D．③④‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题中的不等式组可作出可行域，如图中阴影部分所示，记直线，由图可知，，所以p为真命题，q为假命题，所以为假命题，为真命题，所以为真命题，为假命题，为真命题，为假命题，所以所有真命题的编号是①③.故选A. ‎ ‎【名师点睛】本题将线性规划和不等式，命题判断综合到一起，解题关键在于充分利用取值验证的方法进行判断.‎ ‎3．【2019年高考北京卷文数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1，2)．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A． 1010.1 B． 10.1 C． lg10.1 D． 10–10.1‎ ‎【答案】A ‎【解析】两颗星的星等与亮度满足,令,‎ ‎.故选：A．‎ 一、考向分析： ‎ 推理与证明 推理 证明 合情推理 演绎推理 直接证明 间接证明 复数 复数概念 复数运算 算法 三中基本 逻辑结构 条件语句 输入（输出、‎ 赋值）语句）‎ 循环语句 ‎ ‎ 二、考向讲解 考查内容 ‎ 解 题 技 巧 ‎ 复数 ‎1.利用复数的四则运算求复数的一般思路:‎ ‎(1)复数的乘法运算满足多项式的乘法法则,利用此法则运算后将实部与虚部分别写出即可.‎ ‎(2)复数的除法运算主要是利用分子、分母同乘分母的共轭复数进行运算化简.‎ ‎(3)利用复数的相关概念解题时,通常是设出复数或利用已知联立方程求解.‎ ‎2. 判断复数对应的点在复平面内的位置的方法:首先将复数化成a+bi(a,b∈R)的形式,其次根据实部a和虚部b的符号来确定点所在的象限.‎ ‎3.(1)与共轭复数有关的问题一般都要先设出复数的代数形式，再用待定系数法解决．‎ ‎(2)与复数的概念有关的问题，一般是先化简，把复数的非代数形式化为代数形式．‎ ‎4.复数的代数运算多用于次数较低的运算，但应用i、ω的性质可简化运算．注意下面结论的灵活运用：(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i，＝－i；(3)ω2＋ω＋1＝0，ω3＝1，其中ω＝－±i.(4)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)．‎ 算法 ‎1.执行循环结构:首先,要分清是先执行循环体,再判断条件,还是先判断条件,再执行循环体;其次,注意控制循环的变量是什么,何时退出循环;最后,要清楚循环体内的程序是什么,是如何变化的.‎ ‎2.解答补全问题时,首先,根据输出的结果,计算出需要循环的次数;然后,计算出最后一次循环变量对应的数值;最后,通过比较得出结论.特别要注意对问题的转化,问题与框图的表示的相互转化.‎ ‎3.解答有关程序框图的问题,要读懂程序框图,熟练掌握程序框图的三种基本结构.注意逐步执行,并且将每一次执行的结果都写出来,要注意在哪一步结束循环以防止运行程序不彻底.循环结构常常用在一些有规律的科学计算中,如累加求和、累乘求积、多次输入等.‎ ‎4.程序框图中只要有了循环结构,就一定会涉及条件结构和顺序结构.对于循环结构,要注意当型与直到型的区别,搞清进入或终止的循环条件、循环次数是做题的关键.‎ 推理与证明 ‎1.运用归纳推理得出一般结论时,要注意从等式、不等式的项数、次数、系数等多个方面进行综合分析,归纳发现其一般结论.‎ ‎2.若已给出的式子较少,规律不明显,则可多写出几个式子,从中发现一般结论.‎ ‎3.进行类比推理时,首先要充分考虑已知对象性质的推理过程,然后类比推导类比对象的性质.‎ ‎4.归纳推理的关键是找规律,类比推理的关键是看共性.‎ ‎5.区分两种合情推理的思维过程:‎ ‎(1)归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理,归纳推理的思维过程:‎ 实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论 ‎(2)类比推理的思维过程:实验、观察→联想、类推→猜测新的结论 在进行类比推理时,不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比.主要有以下两点:(1)找两类对象的对应元素,如:三角形对应三棱锥,圆对应球,面积对应体积等等;(2)找对应元素的对应关系,如:两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直,边相等对应面积相等.‎ 考查复数：‎ 例、已知是虚数单位，是的共轭复数，若，则的虚部为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得，则，据此可得的虚部为．‎ 例、设为虚数单位，复数满足，则共轭复数的虚部为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【分析】根据条件求出复数，然后再求出共轭复数，从而可得其虚部．‎ ‎【解析】因为，所以，‎ 所以，所以复数的虚部为．故选C．‎ ‎【名师点睛】本题考查复数的乘除法的运算及共轭复数的概念，其中正确求出复数是解题的关键，对于复数的运算，解题时一定要按照相关的运算法则求解，特别是在乘除运算中一定不要忘了．‎ 例、知复数满足(其中是虚数单位,满足),则复数的共轭复数是( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】因为，选B.‎ 例、已知为虚数单位， 为复数的共轭复数，若，则复数在复平面内对应的点位于( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】设，由，得，即，则，即在复平面内对应的点位于第一象限.故选A.‎ 考查算法：‎ 例、若下图，给出的是计算 值的程序框图，其中判断框内可填入的条件是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】程序运行过程中，各变量值如下表所示：第一次循环：i=2，S=0+，第二循环：i=4，S=，‎ 第三次循环：i=6，S=++，…依此类推，第1008次循环：i=2016，S=，‎ i=2018，不满足条件，退出循环，输出s的值，所以i≤2017或i＜2017．故答案为：C.‎ 例、已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的实数的值为( )‎ A. -3 B. -3或9 C. 3或-9 D. -9或-3‎ ‎【答案】B ‎【解析】结合流程图可知，该流程图等价于计算分段函数： 的函数值，‎ 且函数值为，据此分类讨论：当时， ；当时， ；‎ 综上可得，输入的实数的值为或.本题选择B选项.‎ 例、执行下边的程序框图，如果输入的为0．01，则输出的值等于 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【分析】根据程序框图，结合循环关系进行运算，可得结果．‎ ‎【解析】输入的为，不满足条件；不满足条件；满足条件，结束循环；输出，故选C．‎ ‎【名师点睛】解答本题关键是利用循环运算，根据计算精确度确定数据分析．‎ 例、在如图所示的计算的程序框图中，判断框内应填入的条件是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意结合流程图可知当时，程序应执行，，再次进入判断框时应该跳出循环，输出的值；结合所给的选项可知判断框内应填入的条件是．故选A．‎ 考查推理与证明 例、如图是网格工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字出现在第行；数字出现在第行，数字(从左至右) 出现在第行; 数字出现在第行，依此类推，则第行从左到右第个数字为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】前行共有第行最左端的数为第行从左到右第个数字为．‎ 例、观察下列式子：，，，…，根据上述规律，第个不等式应该为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由归纳推理易知，答案为。‎ 例、甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出如下预测：‎ 甲说：获奖者在乙丙丁三人中；乙说：我不会获奖，丙获奖；丙说：甲和丁中的一人获奖；‎ 丁说：乙猜测的是对的. 成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不相符.已知俩人获奖，则获奖的是 A．甲和丁 B．甲和丙 ‎ C．乙和丙 D．乙和丁 ‎【答案】D ‎【解析】乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，若乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，可知矛盾，故乙、丁的预测不成立，从而获奖的是乙和丁，故选D.‎ ‎【名师点睛】本题考查了逻辑推理能力，假设法是解决此类问题常用的方法.‎ 例、已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的是和的等差中项.‎ ‎(Ⅰ)设，求证：是等差数列；‎ ‎(Ⅱ)设 ，求证：‎ ‎【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析 ‎【解析】‎ ‎(I)证明：由题意得，有，因此，所以是等差数列.‎ ‎(II)证明： ‎ 所以.‎ 反证法 反证法 假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫作反证法．‎ 例、用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)‎ A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根 ‎【答案】A ‎【解析】反证法中否定结论需全否定，“至少有一个”的否定为“一个也没有”．‎ 例、等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.‎ ‎(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；‎ ‎(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．‎ ‎【解析】(1)由已知得 所以d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．‎ ‎(2)证明：由(1)，得bn＝＝n＋.‎ 假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，‎ 则b＝bpbr，即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，所以(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.‎ 因为p，q，r∈N*，所以所以2＝pr，(p－r)2＝0.‎ 所以p＝r，这与p≠r矛盾，所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．‎ 反证法证明问题的五个注意点 ‎(1)分清问题的条件和结论；‎ ‎(2)假设所要证的结论不成立，而假设结论的反面成立(否定结论)；‎ ‎(3)从假设和条件出发，经过正确的推理，导出与已知条件、公理、定理、定义及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾(推导矛盾)；‎ ‎(4)因为推理正确，所以断定产生矛盾的原因是“假设”错误，即结论的反面不成立，从而证明了原结论成立(结论成立)；‎ ‎(5)应用反证法时，当原命题的结论的反面有多种情况时，要对结论的反面的每一种情况都进行讨论，从而达到否定结论的目的．‎