【数学】2018届一轮复习北师大版　计数原理、概率、随机变量及其分布学案

【数学】2018届一轮复习北师大版　计数原理、概率、随机变量及其分布学案

‎　　　　　　　　　　　　　　　　计数原理、概率、随机变量及其分布[学生用书P211]‎ 年份 卷别 具体考查内容及命题位置 ‎2016‎ 甲卷 计数原理·T5‎ 几何概型、随机模拟·T10‎ 互斥事件的概率、条件概率、随机变量的分布列和数学期望·T18‎ 乙卷 二项式定理、特定项的系数·T14‎ 几何概型·T4‎ 柱状图、相互独立事件与互斥事件的概率、分布列和数学期望·T19‎ 丙卷 排列与组合知识、新定义问题·T12‎ ‎2015‎ Ⅰ卷 相互独立事件与独立重复试验的概率·T4‎ 二项式定理、二项展开式特定项的系数·T10‎ Ⅱ卷 茎叶图及其应用、相互独立事件的概率·T18‎ 二项式定理、二项展开式的系数和·T15‎ ‎2014‎ Ⅰ卷 排列组合的综合应用与古典概型的概率求解·T5‎ 二项式定理、特定项的系数·T13‎ Ⅱ卷 条件概率·T5‎ 二项式定理、特定项的系数·T13‎ ‎[命题分析]‎ ‎1．高考对排列组合问题的考查，仍以实际生活为命题背景，在选择题、填空题或解答题中出现，在解答题中多与概率知识相交汇，难度中等．‎ 二项式定理仍以求二项展开式的特定项、特定项的系数及二项式系数为主，题目难度一般，多出现在第9～10或第13～15题的位置上．‎ ‎2．概率、随机变量及其分布列是高考命题的热点之一，命题形式为“一小一大”，即一道选择或填空题和一道解答题．选择或填空题常出现在第4～10题或第14～15题的位置，主要考查随机事件的概率、古典概型、几何概型，难度一般．解答题常出现在第18或19题的位置，多以交汇性的形式考查，交汇点主要有两种：一是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与随机变量的分布列、数学期望、方差相交汇来考查；二是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与线性回归或独立性检验相交汇来考查，难度中等．‎ 题示参数 真题呈现 考题溯源 题示对比 ‎ (2016·高考全国卷乙，T14)(2x＋)5的展开式中，x3的系数是________．(用数字填写答案)‎ ‎ (2016·高考全国卷甲，T8)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为(　　)‎ A.　　　B． C. D． ‎ (2015·高考全国卷Ⅱ，T18)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：‎ A地区：‎ ‎62　73　81　92　95　85　74　64　53　76‎ ‎78　86　95　66　97　78　88　82　76　89‎ B地区：‎ ‎73　83　62　51　91　46　53　73　64　82‎ ‎93　48　65　81　74　56　54　76　65　79‎ ‎(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；‎ ‎(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：‎ ‎ 题溯源 ‎(选修23 P37习题1.3A组 T5)求下列各式的二项展开式中指定各项的系数：‎ ‎(1)的含的项；‎ ‎(2)的常数项.‎ ‎ 题溯源 ‎(必修3 P136例1)某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率.‎ ‎ 题溯源 ‎(必修3 P82习题2.2B组T1)某地区为了解高中生学习统计图表的情况，把标有本地区58所高中名称的号签放入一个不透明的纸箱中，充分搅拌后，逐个抽出了4个号签．再从抽出的4所学校中随机选取高一年级的一个班，得到了一个容量为173的样本．样本中的每名学生被要求做一份时间为20分钟的试卷.‎ ‎(1)上述选取学校的方法是哪种抽样方法？‎ ‎(2)下面是试卷中的一道题，请你按照要求解答这道题.‎ 某班学生一次数学测验的成绩(满分为100分)如下：‎ 男生　98，96，93，95，95，97，‎ 满意度评分 低于70分 ‎70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率.‎ ‎91，93，94，90，88，85，82，84，86，83，81，80，87，80，81，89，70，73，68，61，78，52，41，50，49.‎ 女生　97，95，94，90，93，90，85，83，85，82，81，84，89，86，82，81，87，85，87，86，83，88，81，80，70，68，66，74，61，51.‎ 利用学过的统计图表整理和描述上面的数据，并根据统计图表分析这个班的学习情况．(注：尽可能多地使用统计图表．)‎ ‎(3)下表是根据调查的173名学生解答这道题的情况制成的．你认为这个统计表有问题吗？如果有，问题在哪里，该如何改正？‎ 学生使用统计图表的统计表 扇形图 频率分布表 频率分布直方图 频率分布折线图 茎叶图 合计 人数 ‎75‎ ‎101‎ ‎91‎ ‎78‎ ‎55‎ ‎400‎ 百分比 ‎18.75%‎ ‎25.25%‎ ‎22.75%‎ ‎19.5%‎ ‎13.75%‎ ‎100%‎ 题材评说 T1考题是利用通项公式求x3的系数，与教材题目类同，其解法也相同 T2中两题的说法不同，其实质是相同的，转化为长度比求解 T3‎ ‎(1)考题将教材情景嫁接，从统计图表的多样类型中选择茎叶图为数据的表现形式，让教材问题具体化 ‎(2)考题源于教材而高于教材，第二问的设置是教材问题的锦上添花，将事件关系和概率巧妙地融合，实则匠心独具，这也是教材问题升华为高考试题的途径之一 ‎1．(必修3 P146复习参考题B组T3改编)鞋柜里有3双不同的鞋，随机取出2只，则取出的是一只左脚的，一只右脚的，但不成双的概率为(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B． C. D． ‎　D　[解析] 设A1，A2，A3表示左脚的，对应的右脚记为B1，B2，B3，则基本事件为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共15种．‎ 所求事件包含的基本事件为(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，共6种．‎ 所以P＝＝，故选D．‎ ‎2.(必修3 P142习题3.3A组T2改编)某人随机地在如图所示的正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的外界)，则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为(　　)‎ A.　　 B． C. D． ‎　B　[解析] 设正三角形的边长为a，圆的半径为R，‎ 则正三角形的面积为a2.‎ 由正弦定理得2R＝，即R＝a，‎ 所以圆的面积S＝πR2＝πa2.‎ 由几何概型的概率计算公式得概率P＝＝.‎ 故选B．‎ ‎3．(选修23 P40复习参考题A组T8(4)改编)(1＋x＋x2)·的展开式中的常数项为(　　)‎ A．5　　 B．－5‎ C．35 D．－35‎ ‎　B　[解析] 的展开式的通项为 Tk＋1＝Cx6－k＝(－1)kCx6－2k.‎ 令6－2k＝0，得k＝3，T4＝(－1)3C＝－C；‎ 令6－2k＝－1，得k＝(舍去)；‎ 令6－2k＝－2，得k＝4，T5＝(－1)4Cx－2＝Cx－2.‎ 所以(1＋x＋x2)的展开式中的常数项为1×(－C)＋C＝－20＋15＝－5.故选B．‎ ‎4．(选修23 P27习题1.2A组T7改编)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，则该台晚会节目演出顺序的编排方法数共为________．‎ ‎[解析] 分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限制条件，有A种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有C种排法，其他3个节目有A种排法，故有CA种排法，由分类加法计数原理，知共有A＋CA＝42种编排方法．‎ ‎[答案] 42‎ ‎5．(必修3 P82习题2.2A组T6改编)某校拟举办“成语大赛”，高一(1)班的甲、乙两名同学在本班参加“成语大赛”选拔测试，在相同的测试条件下，两人5次测试的成绩(单位：分)的茎叶图如图所示．‎ ‎(1)你认为选派谁参赛更好？并说明理由；‎ ‎(2)若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取1次进行分析，设抽到的2次成绩中，90分以上的次数为X，求随机变量X的分布列和数学期望E(X)．‎ ‎[解] (1)由茎叶图可知，甲的平均成绩为＝73.8(分)，乙的平均成绩为＝82.8(分)，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，‎ 又甲的成绩的方差为×[(58－73.8)2＋(55－73.8)2＋(76－73.8)2＋(88－73.8)2＋(92－73.8)2]＝228.16，‎ 乙的成绩的方差为×[(65－82.8)2＋(82－82.8)2＋(87－82.8)2＋(85－82.8)2＋(95－82.8)2]＝97.76，‎ 乙的成绩的方差小于甲的成绩的方差，‎ 因此选派乙参赛更好．‎ ‎(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2.‎ P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，‎ 所以随机变量X的分布列是 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P E(X)＝0×＋1×＋2×＝.‎