北京市海淀区2019届高三上学期期末考试数学文试卷（解析版）

北京市海淀区2019届高三上学期期末考试数学文试卷（解析版）

海淀区高三年级第一学期期末练习 数学（文科）‎ 一、选择题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎1.双曲线的左焦点的坐标为( )‎ A. (-2,0) B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据方程求出，再求出焦点坐标.‎ ‎【详解】由题意可知焦点在x轴上，，即，所以选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的方程及焦点坐标.确定焦点坐标的要素有两个：一是确定焦点的位置；二是求出的值.‎ ‎2.已知等比数列满足，且成等差数列，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设公比为q，由等比数列的通项公式和等差数列中项性质列方程，解方程可得q，即可得到所求值．‎ ‎【详解】成等差数列，得，即：，‎ 所以，＝16‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．‎ ‎3.若，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对数的运算得出，从而得出，解出a即可．‎ ‎【详解】化为，即，‎ 所以，，40，‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查对数的运算性质，属于基础题．‎ ‎4.已知向量，且，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用已知条件求出t，然后可得结果．‎ ‎【详解】因为，所以，2t＝2，t＝1，‎ ‎（2,0）－（1,1）＝（1，－1），‎ 故选B ‎【点睛】本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题，是基础题目．‎ ‎5.直线被圆截得的弦长为，则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用圆的弦的性质，通过勾股定理求出.‎ ‎【详解】圆心为，半径为；圆心到直线的距离为，因为弦长为2，所以，解得，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，利用弦长求解参数.直线和圆相交弦长问题，一般通过勾股定理来建立等式.‎ ‎6.已知函数 ，则“”是“函数在区间上存在零点”的( )‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将函数的零点问题转化成两个函数图象交点的问题，再判断充分必要性．‎ ‎【详解】＝0，得：，设函数，‎ 当时，如下图，函数有交点，所以，在区间上存在零点，充分性成立。‎ ‎（2）当在区间上存在零点时，‎ 如果＝0，函数在上无交点 如果＞0，函数在上图象在第一象限，的图象在第四象限，无交点 所以，还是＜0，必要性成立，‎ 所以是充分必要条件，选C。‎ ‎【点睛】本题考查了函数的零点及充分必要条件，考查数形结合思想，属中档题．‎ ‎7.已知函数为的导函数，则下列结论中正确的是 ( )‎ A. 函数的值域与的值域不同 B. 存在，使得函数和都在处取得最值 C. 把函数的图象向左平移个单位，就可以得到函数的图象 D. 函数和在区间上都是增函数 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据辅助角公式化简可得f（x）sin（x），求导化简可得g（x）sin（x），结合三角形的函数的图象和性质即可判断 ‎【详解】，值域为：［－，］，‎ ‎，值域为：［－，］，‎ 两函数的值域相同，所以，A错误；‎ B选项，不存在x0，使得函数f（x）和g（x）都在x0处取得极值点，B错误；‎ C选项，的图像向右平移个单位：与相同，C正确；‎ 求出单调递增区间可知，在区间上不是增函数，D错误。‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了导数的应用和三角函数的图象和性质，属于中档题.‎ ‎8.已知集合，. 若，且对任意，均有，则集合中元素个数的最大值为( )‎ A. 5 B. 6 C. 11 D. 13‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，将A、B中的元素看成点，其坐标为（s，t），分析（a﹣x）（b﹣y）＜0可得0，据此分析可得B中的元素属于集合{（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）}；即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，A＝{（s，t）|s∈I，t∈I}，B⊆A，将A、B中的元素看成点，其坐标为（s，t），‎ 若对任意的（a，b）∈B，（x，y）∈B，均有（a﹣x）（b﹣y）＜0，即0，‎ 则集合B中，任意的两个元素（点）的连线斜率为负值，‎ 则B中的元素属于集合{（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）}；‎ 即集合B中的元素最多有6个；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查集合与不等式的应用，关键是分析（a﹣x）（b﹣y）＜0的含义．‎ 二、填空题。‎ ‎9.抛物线的准线方程为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：开口向右，所以它的准线方程为x=-1‎ 考点：本题考查抛物线的标准方程 点评：开口向右的抛物线方程为，准线方程为 ‎10.执行如图所示的程序框图，当输入的值为，值为时，输出的值为__．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【详解】模拟程序的运行，可得 M＝7，n＝2‎ k＝0，S＝0‎ 不满足条件S≥7，执行循环体，S＝2，k＝1，‎ 不满足条件S≥7，执行循环体，S＝4，k＝2，‎ 不满足条件S≥7，执行循环体，S＝6，k＝3，‎ 不满足条件S≥7，执行循环体，S＝8，k＝4，‎ 此时，满足条件S≥7，退出循环，输出S的值为8．‎ 故答案为：8．‎ ‎【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.‎ ‎11.某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥的体积是_____． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图知该几何体是三棱锥P﹣ABC，把该三棱锥放入直三棱柱中，容易求得该三棱锥的体积．‎ ‎【详解】由三视图知该几何体是三棱锥P﹣ABC，把该三棱锥放入直三棱柱中，则该三棱柱的侧面PQEF⊥平面EFAC，如图所示；‎ 则这个三棱锥中的体积为VS△ABCh2×2×2．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了利用几何体三视图求体积的应用问题，涉及补体的方法，是基础题．‎ ‎12.在中，，，且，则___，____．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断A＜B，B＝2A，再利用正弦定理、二倍角公式求得cosA的值，进而求得A和B，再利用三角形内角和公式求得C的值．‎ ‎【详解】△ABC中，，且sin2A＝sinB，∴A＜B，∴B＝2A．‎ 由正弦定理可得，则cosA，‎ ‎∴A，B，∴C＝π﹣A﹣B，‎ 故答案为：；．‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理、二倍角公式、三角形内角和公式，属于中档题．‎ ‎13.设关于的不等式组表示的平面区域为，若中有且仅有两个点在内，则的最大值为______．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先画出平面区域，结合点的位置求解.‎ ‎【详解】如图，‎ 直线符合题意，此时.‎ ‎【点睛】本题主要考查线性约束条件表示的平面区域.利用不等式准确表示出区域是求解关键.‎ ‎14.已知函数， ，，其中表示中最大的数. ‎ ‎(1) 若，则_____；‎ ‎（2）若对恒成立，则的取值范围是______.‎ ‎【答案】 (1). e (2). t ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别求出根据定义得到结果；‎ ‎（2）对x分类讨论，根据的取值范围，限制f(x)的范围，从而得到结果.‎ ‎【详解】（1）当时，，，‎ 所以，。‎ ‎（2）当x＜0时，＞e，所以，有＞e成立；‎ 当x≥0时，，所以，只要即可，‎ 即函数当x>0时，有f(x)>e，如下图，‎ 将左移1个单位，得到函数：图象，‎ 此时，有（x>0），图象再左移满足 所以，有。‎ 故答案为：e，‎ ‎【点睛】本题以新定义为背景，考查求函数值，考查不等式恒成立问题，考查分类讨论与数形结合思想，属于中档题.‎ 三、解答题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。‎ ‎15.已知数列满足，.‎ ‎(Ⅰ) 求的值和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(Ⅰ), (Ⅱ) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）分别令n＝1，2，3，计算可得所求值，再由累加法可得所求通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求得bn＝2log2an﹣1＝2n﹣1，由等差数列的求和公式，计算可得所求和．‎ ‎【详解】（Ⅰ）因为，‎ 所以，， ‎ 因为 ‎,‎ ‎,‎ ‎……‎ ‎,‎ ‎,‎ 把上面个等式叠加，得到 ‎ ‎ 所以 ‎ 又时，符合上式，所以 ‎ ‎（Ⅱ）因为 ‎ 所以 ‎ 所以是首项为，公差为的等差数列 ‎ 所以 ‎【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用累加法，考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎16.已知函数. ‎ ‎(Ⅰ) 比较的大小； ‎ ‎(Ⅱ) 当时，求函数的最小值.‎ ‎【答案】(1)见解析；(2)-5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）计算f（）与f（）的值，作差比较大小即可；‎ ‎（Ⅱ）化a＝﹣6时f（x）为sinx的二次函数，根据正弦函数的有界性求出f（x）的最小值．‎ ‎【详解】（Ⅰ）因为 所以 ‎ 当时， ‎ 当时， ‎ 当时， ‎ ‎（Ⅱ）当时，‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎，‎ 设所以 ‎ 所以，其对称轴为 因为，‎ 所以当时，函数取得最小值.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换与二次函数的应用问题，是基础题．‎ ‎17.为迎接年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核. 记表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎1‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎(Ⅰ)从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核成绩为优秀的概率；‎ ‎(Ⅱ)从图中考核成绩满足的学生中任取人，求至少有一人考核优秀的概率；‎ ‎(Ⅲ)记表示学生的考核成绩在区间内的概率，根据以往培训数据，规定当时培训有效.‎ ‎ 请你根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据茎叶图求出满足条件的概率即可；‎ ‎（Ⅱ）结合图表得到6人中有2个人考核为优，从而求出满足条件的概率即可；‎ ‎（Ⅲ）求出满足 的成绩有16个，求出满足条件的概率即可．‎ ‎【详解】（Ⅰ）设这名学生考核优秀为事件 ‎ 由茎叶图中的数据可以知道，名同学中，有名同学考核优秀 ‎ 所以所求概率约为 ‎ ‎（Ⅱ）设从图中考核成绩满足的学生中任取人，至少有一人考核成绩优秀为事件 因为表中成绩在的人中有个人考核为优 ‎ 所以基本事件空间包含个基本事件，事件包含个基本事件 ‎ 所以 ‎（Ⅲ）根据表格中的数据，满足 的成绩有个， ‎ 所以 所以可以认为此次冰雪培训活动有效 ‎【点睛】本题考查了茎叶图问题，考查古典概型计算公式以及转化思想，是一道常规题．‎ ‎18.在四棱锥中，平面平面， 底面为梯形, ，.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面；‎ ‎（Ⅲ）若是棱的中点，求证：对于棱上任意一点，与都不平行 ‎【答案】（Ⅰ）见证明；(Ⅱ)见证明；（Ⅲ）见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用线面平行判定定理即可证明AB∥平面PCD．‎ ‎（Ⅱ）法一：利用面面垂直的性质即可证明AD⊥平面PCD．法二：在平面PCD中过点D作DH⊥CD，交PC于H，利用面面垂直的性质可证DH⊥平面ABCD，进而利用线面垂直的性质可证DH⊥AD，再根据线面垂直的判定定理即可证明AD⊥平面PCD．‎ ‎（Ⅲ）法一：假设存在棱BC上点F，使得MF∥PC，连接AC，取其中点N，有MN∥PC，即可证明MF与MN重合，即MF就是MC，由MC与PC相交，矛盾，即可问题得证．法二：假设存在棱BC上点F，使得MF∥PC，显然F与点C不同，可得P，M，F，C四点在同一个平面α中，即B∈FC⊂α，A∈PM⊂α，α就是点A，B，C确定的平面ABCD，且P∈α，这与P﹣ABCD为四棱锥矛盾，即可得解假设错误，问题得证．‎ ‎【详解】（Ⅰ）因为 平面 ‎ 平面 所以平面 ‎（Ⅱ）法一：‎ 因为平面平面 平面平面 ‎ ,平面 所以平面 法二：‎ 在平面中过点作，交于 因为平面平面 平面平面 平面 所以平面 因为平面 所以 又，‎ 所以平面 ‎（Ⅲ）法一：‎ 假设存在棱上点，使得 ‎ 连接，取其中点 在中，因为分别为的中点，所以 因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以与重合 所以点在线段上，所以是，的交点 即就是 而与相交，矛盾，所以假设错误，问题得证 ‎ 法二：‎ 假设存在棱上点，使得，显然与点不同 ‎ 所以四点在同一个平面中 所以 ， ‎ 所以 ， ‎ 所以就是点确定的平面 ，且 ‎ 这与为四棱锥矛盾，所以假设错误，问题得证 ‎【点睛】本题主要考查了线面平行判定定理，面面垂直的性质，线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，考查了数形结合思想和反证法的应用，属于中档题．‎ ‎19.已知点和椭圆. 直线与椭圆交于不同的两点. ‎ ‎(Ⅰ) 求椭圆的离心率；‎ ‎(Ⅱ) 当时，求的面积；‎ ‎（Ⅲ）设直线与椭圆的另一个交点为，当为中点时，求的值 .‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）4（Ⅲ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用已知条件求出a，c，然后求解椭圆的离心率即可；‎ ‎（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为，与椭圆联立，求出坐标，然后求解三角形的面积；‎ ‎（Ⅲ）法一：设点C（x3，y3），P（x1，y1），B（0，﹣2），结合椭圆方程求出P（x1，y1），然后求解斜率．‎ 法二：设C（x3，y3），显然直线PB有斜率，设直线PB的方程为y＝k1x﹣2，与椭圆联立，利用韦达定理求出P的坐标，求解斜率即可．‎ ‎【详解】（Ⅰ）因为，所以 ‎ 所以离心率 ‎ ‎（Ⅱ）设 ‎ 若，则直线的方程为 ‎ 由，得 解得 ‎ 设，则 ‎ ‎（Ⅲ）法一：‎ 设点，‎ 因为，，所以 又点，都在椭圆上，‎ 所以 解得或 所以 或 ‎ 法二：‎ 设 显然直线有斜率，设直线的方程为 由， 得 ‎ 所以 ‎ 又 解得 或 ‎ 所以 或 ‎ 所以或 ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质以及直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎20.已知函数，其中.‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； ‎ ‎（Ⅱ）求证: 当时，.‎ ‎【答案】(Ⅰ)y=2e (Ⅱ)见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求出导函数，求出切点坐标，切线的斜率，然后求解曲线y＝f（x）在（﹣1，f（﹣1））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）法一：，令f'（x）＝0，求出极值点，判断导函数的符号，得到函数的单调性，求出函数的最小值，只需证明，，，设，其中x＞2，利用导函数转化求解即可；‎ 法二：设，其中x＞0，，推出F（x）在区间（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，所以函数F（x）在x＝2时取得最小值，而，推出结果即可；‎ 法三：因为“对任意的x＞0，”等价于“对任意的x＞0，”，只需证“x＞0时，2ex+e（a﹣x2）＞0”，设g（x）＝2ex+e（a﹣x2），其中x≥0，g'（x）＝2ex﹣2ex，设h（x）＝g'（x），h'（x）＝2ex﹣2e，求出函数的极小值，通过g（x）在（0，+∞）上单调递增，得g（x）＞g（0），转化证明即可．‎ ‎【详解】（Ⅰ）因为 ‎ 所以 当时，‎ 所以，而 ‎ 曲线在处的切线方程为 ‎ ‎（Ⅱ）法一：‎ 因为，令 得 ‎ 显然当时，‎ 所以，，在区间上的变化情况如下表:‎ ‎0‎ 极小值 所以在区间上单调递减，在单调递增，‎ 所以在上的最小值为，所以只需证明 因为，所以 ‎ 设，其中 ‎ 所以 ‎ 当时，，所以在区间单调递增，‎ 因为 ，所以，问题得证 法二：‎ 因为，所以当时，‎ 设，其中 所以 所以，，的变化情况如下表: ‎ ‎0‎ 极小值 所以在区间上单调递减，在上单调递增，‎ 所以函数在时取得最小值，而 ‎ 所以时 ‎ 所以，问题得证 ‎ 法三：‎ ‎ 因为“对任意的，”等价于“对任意的，”‎ ‎ 即“，”，故只需证“时，” ‎ 设，其中 ‎ 所以 ‎ 设，,‎ 令，得 所以，，的变化情况如下表: ‎ ‎0‎ 极小值 所以在处取得极小值，而 ‎ 所以 ‎ 所以时，，所以在上单调递增，得 ‎ 而，所以 问题得证 ‎【点睛】本题考查导数的应用，切线方程的求法以及函数的导数判断函数的单调性，构造法的应用，转化思想以及计算能力．‎