【数学】2020届一轮复习人教A版　坐标系与参数方程学案

【数学】2020届一轮复习人教A版　坐标系与参数方程学案

考纲解读 考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度 ‎1.坐标系与极坐标 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,能通过极坐标和直角坐标的互化研究曲线性质 掌握 ‎2018课标全国Ⅱ,22;‎ ‎2018课标全国Ⅱ,23;‎ ‎2018课标Ⅰ,23;2018湖南,12;‎ ‎2018安徽,4‎ 解答题 ‎★★★‎ ‎2.参数方程 了解参数方程及参数的意义,能借助于参数方程与普通方程的互化进一步研究曲线的性质 掌握 ‎2018课标全国Ⅲ,22;2018江苏,‎21C;‎ ‎2018课标全国Ⅲ,23‎ ‎2018陕西,23;2018课标Ⅰ,23;‎ ‎2018北京,3‎ 解答题 ‎★★★‎ 分析解读　坐标系与参数方程是高考数学的选考内容,重点考查直线与圆的极坐标方程,极坐标与直角坐标的互化;直线、圆与椭圆的参数方程以及参数方程与普通方程的互化.本章在高考中以极坐标方程(参数方程)为载体,考查直线与圆、圆锥曲线的位置关系等知识,分值约为10分,属中档题.‎ 五年高考 考点一　坐标系与极坐标 ‎1.(2018北京,11,5分)在极坐标系中,点A在圆ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0上,点P的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为　. ‎ 答案　1‎ ‎2.(2018天津,11,5分)在极坐标系中,直线4ρcos+1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数为　　　　. ‎ 答案　2‎ ‎3.(2018课标全国Ⅱ,22,10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4.‎ ‎(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.‎ 解析　(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.‎ 由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程ρ=4cos θ(ρ>0).‎ 因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB面积S=|OA|·ρB·sin∠AOB ‎=4cos α·=2≤2+.‎ 当α=-时,S取得最大值2+.‎ 所以△OAB面积的最大值为2+.‎ ‎4.(2018课标全国Ⅱ,23,10分)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.‎ ‎(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;‎ ‎(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.‎ 解析　(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C的极坐标方程ρ2+12ρcos θ+11=0.(3分)‎ ‎(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).(4分)‎ 设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0.‎ 于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.(6分)‎ ‎|AB|=|ρ1-ρ2|==.(8分)‎ 由|AB|=得cos2α=,tan α=±.(9分)‎ 所以l的斜率为或-.(10分)‎ ‎5.(2018课标Ⅰ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求C1,C2的极坐标方程;‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.‎ 解析　(1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以C1的极坐标方程为ρcos θ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.(5分)‎ ‎(2)将θ=代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=.故ρ1-ρ2=,即|MN|=.‎ 由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为.(10分)‎ 教师用书专用(6—21)‎ ‎6.(2018安徽,4,5分)以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程是ρ=4cos θ,则直线l被圆C截得的弦长为(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A. B.2 ‎ C. D.2‎ 答案　D ‎7.(2018江西,11(2),5分)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.ρ=,0≤θ≤ B.ρ=,0≤θ≤‎ C.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤ D.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤‎ 答案　A ‎8.(2018安徽,7,5分)在极坐标系中,圆ρ=2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为(　　)‎ A.θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=2 B.θ=(ρ∈R)和ρcos θ=2‎ C.θ=(ρ∈R)和ρcos θ=1 D.θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=1‎ 答案　B ‎9.(2018北京,11,5分)在极坐标系中,直线ρcos θ-ρsin θ-1=0与圆ρ=2cos θ交于A,B两点,则|AB|=　. ‎ 答案　2‎ ‎10.(2018湖南,12,5分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ,则曲线C的直角坐标方程为　　　　　　. ‎ 答案　x2+y2-2y=0‎ ‎11.(2018广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为ρ(cos θ+sin θ)=-2,曲线C2的参数方程为(t为参数),则C1与C2交点的直角坐标为　　　　. ‎ 答案　(2,-4)‎ ‎12.(2018湖南,11,5分)在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线l与曲线C:(α为参数)交于A,B两点,且 ‎|AB|=2,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l的极坐标方程是　　　　　　　. ‎ 答案　ρcos=1‎ ‎13.(2018重庆,15,5分)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-4cos θ=0(ρ≥0,0≤θ<2π),则直线l与曲线C的公共点的极径ρ=　　　　. ‎ 答案　‎ ‎14.(2018广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cos θ和ρsin θ=1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1和C2交点的直角坐标为　　　　. ‎ 答案　(1,1)‎ ‎15.(2018天津,13,5分)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sin θ和直线ρsin θ=a相交于A,B两点.若△AOB是等边三角形,则a的值为　　　　. ‎ 答案　3‎ ‎16.(2018北京,9,5分)在极坐标系中,点到直线ρsin θ=2的距离等于　　　　. ‎ 答案　1‎ ‎17.(2018湖北,16,5分)(选修4—4:坐标系与参数方程)‎ 在直角坐标系xOy中,椭圆C的参数方程为(φ为参数,a>b>0),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin=m(m为非零常数)与ρ=b.若直线l经过椭圆C的焦点,且与圆O相切,则椭圆C的离心率为　　　　. ‎ 答案　‎ ‎18.(2018广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的参数方程为(t为参数),C在点(1,1)处的切线为l.以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为　　　　　　　　. ‎ 答案　ρcos θ+ρsin θ=2‎ ‎19.(2018辽宁,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程 将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.‎ ‎(1)写出C的参数方程;‎ ‎(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.‎ 解析　(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上点(x,y),依题意,得 由+=1得x2+=1,即曲线C的方程为x2+=1.‎ 故C的参数方程为(t为参数).‎ ‎(2)由解得或 不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为,所求直线斜率为k=,于是所求直线方程为y-1=,‎ 化为极坐标方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3,‎ 即ρ=.‎ ‎20.(2018课标全国Ⅰ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.‎ ‎(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;‎ ‎(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).‎ 解析　(1)将消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,‎ 即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.‎ 将代入x2+y2-8x-10y+16=0得 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.‎ 所以C1的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.‎ ‎(2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0.‎ 由 解得或 所以C1与C2交点的极坐标分别为,.‎ ‎21.(2018辽宁,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sin θ,ρcos=2.‎ ‎(1)求C1与C2交点的极坐标;‎ ‎(2)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数),求a,b的值.‎ 解析　(1)圆C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,‎ 直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0.‎ 解得 所以C1与C2交点的极坐标为,.(6分)‎ 注:极坐标系下点的表示不唯一.‎ ‎(2)由(1)可得,P点与Q点的直角坐标分别为(0,2),(1,3).‎ 故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0.‎ 由参数方程可得y=x-+1,所以 解得a=-1,b=2.(10分)‎ 考点二　参数方程 ‎1.(2018江苏,‎21C,10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.‎ 解析　直线l的普通方程为x-2y+8=0.‎ 因为点P在曲线C上,设P(2s2,2s),‎ 从而点P到直线l的距离d==.‎ 当s=时,dmin=.‎ 因此当点P的坐标为(4,4)时,曲线C上点P到直线l的距离取到最小值.‎ ‎2.(2018课标全国Ⅲ,23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=2.‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.‎ 解析　(1)C1的普通方程为+y2=1.‎ C2的直角坐标方程为x+y-4=0.(5分)‎ ‎(2)由题意,可设点P的直角坐标为(cos α,sin α).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,d(α)==.(8分)‎ 当且仅当α=2kπ+(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.(10分)‎ ‎3.(2018陕西,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C的极坐标方程为ρ=2sin θ.‎ ‎(1)写出☉C的直角坐标方程;‎ ‎(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.‎ 解析　(1)由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ,‎ 从而有x2+y2=2y,‎ 所以x2+(y-)2=3.‎ ‎(2)设P,又C(0,),‎ 则|PC|==,‎ 故当t=0时,|PC|取得最小值,‎ 此时,P点的直角坐标为(3,0).‎ ‎4.(2018课标Ⅰ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程 已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数).‎ ‎(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;‎ ‎(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.‎ 解析　(1)曲线C的参数方程为(θ为参数).‎ 直线l的普通方程为2x+y-6=0.‎ ‎(2)曲线C上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l的距离为 d=|4cos θ+3sin θ-6|.‎ 则|PA|==|5sin(θ+α)-6|,‎ 其中α为锐角,且tan α=.‎ 当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为.‎ 当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.‎ ‎5.(2018课标全国Ⅱ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程 已知动点P,Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.‎ ‎(1)求M的轨迹的参数方程;‎ ‎(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.‎ 解析　(1)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).‎ M的轨迹的参数方程为 ‎(α为参数,0<α<2π).‎ ‎(2)M点到坐标原点的距离d==(0<α<2π).当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.‎ 教师用书专用(6—13)‎ ‎6.(2018北京,3,5分)曲线(θ为参数)的对称中心(　　)‎ A.在直线y=2x上 B.在直线y=-2x上 C.在直线y=x-1上 D.在直线y=x+1上 答案　B ‎7.(2018湖北,16,5分)选修4—4:坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程是(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2,则C1与C2交点的直角坐标为　　　　. ‎ 答案　(,1)‎ ‎8.(2018湖南,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线l:(t为参数)过椭圆C:(φ为参数)的右顶点,则常数a的值为　　　　. ‎ 答案　3‎ ‎9.(2018陕西,‎15C,5分)(坐标系与参数方程选做题)如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆x2+y2-x=0的参数方程为　　　　　　　. ‎ 答案　(θ为参数)‎ ‎10.(2018江苏,‎21C,10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),椭圆C的参数方程为(θ为参数).设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.‎ 解析　椭圆C的普通方程为x2+=1.‎ 将直线l的参数方程代入x2+=1,得 ‎+=1,即7t2+16t=0,解得t1=0,t2=-.‎ 所以AB=|t1-t2|=.‎ ‎11.(2018福建,21(2),7分)选修4—4:坐标系与参数方程 已知直线l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为(θ为参数).‎ ‎(1)求直线l和圆C的普通方程;‎ ‎(2)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围.‎ 解析　(1)直线l的普通方程为2x-y‎-2a=0,‎ 圆C的普通方程为x2+y2=16.‎ ‎(2)因为直线l与圆C有公共点,故圆C的圆心到直线l的距离d=≤4,解得-2≤a≤2.‎ ‎12.(2018江苏,‎21C,10分)选修4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,求线段AB的长.‎ 解析　将直线l的参数方程代入抛物线方程y2=4x,得=4,解得t1=0,t2=-8.‎ 所以AB=|t1-t2|=8.‎ ‎13.(2018福建,21(2),7分)选修4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为,直线l的极坐标方程为ρcos=a,且点A在直线l上.‎ ‎(1)求a的值及直线l的直角坐标方程;‎ ‎(2)圆C的参数方程为(α为参数),试判断直线l与圆C的位置关系.‎ 解析　(1)由点A在直线ρcos=a上,可得a=.所以直线l的方程可化为ρcos θ+ρsin θ=2,‎ 从而直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.‎ ‎(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,‎ 所以圆C的圆心为(1,0),半径r=1,‎ 因为圆心C到直线l的距离d==<1,‎ 所以直线l与圆C相交.‎ 三年模拟 A组　2018—2018年模拟·基础题组 考点一　坐标系与极坐标 ‎1.(2018四川南充模拟,22)在极坐标系中,已知直线l的极坐标方程为ρsin=1,圆C的圆心是C,半径为1,求:‎ ‎(1)圆C的极坐标方程;‎ ‎(2)直线l被圆C所截得的弦长.‎ 解析　(1)因为圆C的圆心是C,半径为1,‎ 所以转化成直角坐标为C,半径为1,‎ 所以圆的方程为+=1,‎ 转化成极坐标方程为ρ2-ρcos θ-ρsin θ=0.‎ ‎(2)已知直线l的极坐标方程为ρsin=1,‎ 所以ρ=1,‎ 即x+y-=0.‎ 直线l的方程为x+y-=0,圆心C满足直线的方程,所以直线经过圆心,‎ 所以直线l被圆C所截得的弦为圆的直径.‎ 由于圆的半径为1,所以所截得的弦长为2.‎ ‎2.(2018四川德阳模拟,22)已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cos θ.以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是(t为参数).‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程,将直线l的参数方程化成普通方程;‎ ‎(2)当m=0时,直线l与曲线C异于原点O的交点为A,直线ρ=-与曲线C异于原点O的交点为B,求三角形AOB的面积.‎ 解析　(1)曲线C的极坐标方程是ρ=4cos θ.‎ 转化为直角坐标方程为x2+y2=4x.‎ 直线l的参数方程为(t为参数),‎ 转化为直角坐标方程为y=x-m.‎ ‎(2)当m=0时,A,B,‎ 所以S△AOB=×2×2sin=+1.‎ ‎3.(2018安徽合肥二模,22)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cos θ.‎ ‎(1)求出圆C的直角坐标方程;‎ ‎(2)已知圆C与x轴交于A,B两点,直线l:y=2x关于点M(0,m)(m≠0)对称的直线为l',若直线l'上存在点P使得∠APB=90°,求实数m的最大值.‎ 解析　(1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ,故x2+y2-4x=0,即圆C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.‎ ‎(2)l:y=2x关于点M(0,m)的对称直线l'的方程为y=2x+‎2m,易知AB为圆C的直径,故直线l'上存在点P使得∠APB=90°的充要条件是直线l'与圆C有公共点,故≤2,于是,实数m的最大值为-2.‎ ‎4.(人教A选4—4,一,1-3,5,变式)在极坐标系中,曲线C:ρ=4acos θ(a>0),直线l:ρcos=4,C与l有且只有一个公共点.‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)若O为极点,A,B为曲线C上的两点,且∠AOB=,求|OA|+|OB|的最大值.‎ 解析　(1)曲线C的直角坐标方程为(x‎-2a)2+y2=‎4a2(a>0),曲线C表示以(‎2a,0)为圆心,‎2a为半径的圆.‎ l的直角坐标方程为x+y-8=0.‎ 由题意知直线l与圆C相切,则=‎2a,解得a=(舍负).‎ ‎(2)不妨设A的极角为θ,B的极角为θ+,则|OA|+|OB|=cos θ+cos=8cos θ-sin θ=cos,‎ 所以当θ=-时,|OA|+|OB|取得最大值,为.‎ 考点二　参数方程 ‎5.(2018四川达州模拟,22)在直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l:(t为参数),曲线C的极坐标方程是ρ2-6ρcos θ+1=0,l与C相交于A、B两点.‎ ‎(1)求l的普通方程和C的直角坐标方程;‎ ‎(2)已知M(0,-1),求|MA|·|MB|的值.‎ 解析　(1)直线l的参数方程为(t为参数),‎ 转化为直角坐标方程为x-y-1=0.‎ 曲线C的极坐标方程是ρ2-6ρcos θ+1=0,‎ 转化为直角坐标方程为x2+y2-6x+1=0.‎ ‎(2)把直线l的参数方程(t为参数)代入x2+y2-6x+1=0,得到t2-4t+2=0,A点对应的参数为t1,B点对应的参数为t2,‎ 则|MA|·|MB|=|t1·t2|=2.‎ ‎6.(2018广东茂名模拟,22)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=asin θ(a≠0).‎ ‎(1)求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程;‎ ‎(2)设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍,求a的值.‎ 解析　(1)直线l的参数方程为(t为参数),消去参数t,可得4x+3y-8=0.‎ 由圆C的极坐标方程为ρ=asin θ(a≠0),可得ρ2=aρsin θ,根据ρsin θ=y,ρ2=x2+y2,‎ 可得圆C的直角坐标方程为x2+y2-ay=0,‎ 即x2+=.‎ ‎(2)由(1)可知圆C的圆心为,半径r=,‎ 直线方程为4x+3y-8=0,‎ 圆心到直线l的距离d==,‎ 直线l截圆C的弦长为=2,‎ 解得a=32或a=,‎ 故得直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍时,a的值为32或.‎ ‎7.(2018河北石家庄二中3月模拟,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1和C2的参数方程分别是(t是参数)和(φ为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程;‎ ‎(2)射线OM:θ=α与曲线C1的交点为O,P,与曲线C2的交点为O,Q,求|OP|·|OQ|的最大值.‎ 解析　(1)C1的普通方程为y2=4x,C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.‎ ‎(2)由(1)可得C1的极坐标方程为ρsin2θ=4cos θ,与直线θ=α联立可得:ρ=,即OP=,同理可得OQ=2sin α.‎ 所以|OP|·|OQ|==,令f(α)=,易知f(α)在α∈上单调递减,所以(|OP|·|OQ|)max==8.‎ B组　2018—2018年模拟·提升题组 ‎(满分:40分　时间:35分钟)‎ 解答题(共40分)‎ ‎1.(2018辽宁鞍山一模,22)在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C1:+=1,以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系.已知直线l:ρ(2cos θ-sin θ)=6.‎ ‎(1)试写出直线l的直角坐标方程和曲线C1的参数方程;‎ ‎(2)在曲线C1上求一点P,使点P到直线l的距离最大,并求出此最大值.‎ 解析　(1)曲线C1:+=1,‎ 设θ为参数,令x=cos θ,y=2sin θ,‎ 则曲线C1的参数方程为(θ为参数).‎ 又直线l:ρ(2cos θ-sin θ)=6,‎ 即2ρcos θ-ρsin θ-6=0,‎ 化为直角坐标方程是2x-y-6=0.‎ ‎(2)设P(cos θ,2sin θ),‎ 则P到直线l的距离d=‎ ‎=,‎ ‎∴cos=-1,即P时,‎ 点P到直线l的距离最大,最大值为=2.‎ ‎2.(2018四川绵阳模拟,22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程是(α为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程;‎ ‎(2)设l1:θ=,l2:θ=,若l1,l2与曲线C分别交于异于原点的A,B两点,求△AOB的面积.‎ 解析　(1)∵曲线C的参数方程是(α为参数),‎ ‎∴将C的参数方程化为普通方程为(x-3)2+(y-4)2=25,‎ 即x2+y2-6x-8y=0.(2分)‎ ‎∴C的极坐标方程为ρ=6cos θ+8sin θ.(4分)‎ ‎(2)把θ=代入ρ=6cos θ+8sin θ,得ρ1=4+3,‎ ‎∴A.(6分)‎ 把θ=代入ρ=6cos θ+8sin θ,得ρ2=3+4,‎ ‎∴B.(8分)‎ ‎∴S△AOB=ρ1ρ2sin∠AOB ‎=×(4+3)×(3+4)sin=12+.(10分)‎ ‎3.(2018福建泉州二模,22)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),在以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,圆C的方程为ρ=4cos θ.‎ ‎(1)求l的普通方程和圆C的直角坐标方程;‎ ‎(2)当φ∈(0,π)时,l与C相交于P,Q两点,求|PQ|的最小值.‎ 解析　(1)由直线l的参数方程(t为参数),‎ 消去参数t,得(x-3)sin φ-(y-1)cos φ=0,‎ 即直线l的普通方程为xsin φ-ycos φ+cos φ-3sin φ=0.‎ 由圆C的极坐标方程ρ=4cos θ,得ρ2-4ρcos θ=0(*).‎ 将代入(*)得,x2+y2-4x=0.‎ 即圆C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.‎ ‎(2)将直线l的参数方程代入(x-2)2+y2=4,‎ 得t2+2(cos φ+sin φ)t-2=0.‎ 设P,Q两点对应的参数分别为t1,t2,‎ 则t1+t2=-2(cos φ+sin φ),t1t2=-2.‎ 所以|PQ|=|t1-t2|‎ ‎=‎ ‎=2‎ ‎=2,‎ 因为φ∈(0,π),所以2φ∈(0,2π),‎ 所以当φ=,即sin 2φ=-1时,|PQ|取得最小值2.‎ ‎4.(2018河南洛阳一模,22)在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(φ为参数),以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求圆C的普通方程;‎ ‎(2)直线l的极坐标方程是2ρsin =5,射线OM:θ=与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.‎ 解析　(1)因为圆C的参数方程为(φ为参数),所以圆心C的坐标为(0,2),半径为2,圆C的普通方程为x2+(y-2)2=4.‎ ‎(2)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入x2+(y-2)2=4,‎ 得圆C的极坐标方程为ρ=4sin θ.‎ 设P(ρ1,θ1),则由解得ρ1=2,θ1=.‎ 设Q(ρ2,θ2),则由解得ρ2=5,θ2=.‎ 所以|PQ|=3.‎ C组　2018—2018年模拟·方法题组 方法1　极坐标方程与直角坐标方程的互化方法 ‎1.(2018四川德阳模拟,22)已知极坐标系的极点为平面直角坐标系xOy的原点,极轴为x轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,曲线C的参数方程为(α为参数),直线l过点(-1,0),且斜率为,射线OM的极坐标方程为θ=.‎ ‎(1)求曲线C和直线l的极坐标方程;‎ ‎(2)已知射线OM与曲线C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.‎ 解析　(1)∵曲线C的参数方程为(α为参数),‎ ‎∴曲线C的普通方程为(x+1)2+(y-1)2=2,‎ 将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入整理得ρ+2cos θ-2sin θ=0,‎ 即曲线C的极坐标方程为ρ=2sin.‎ ‎∵直线l过点(-1,0),且斜率为,‎ ‎∴直线l的方程为y=(x+1),‎ ‎∴直线l的极坐标方程为ρcos θ-2ρsin θ+1=0.‎ ‎(2)当θ=时,|OP|=2sin=2,|OQ|==,‎ 故线段PQ的长为2-=.‎ ‎2.(2018四川凉山州模拟,22)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=6sin θ.‎ ‎(1)求圆C的直角坐标方程;‎ ‎(2)若点P(1,2),设圆C与直线l交于点A,B,求证:|PA|×|PB|为定值.‎ 解析　(1)圆C的方程为ρ=6sin θ,‎ 转化为直角坐标方程为x2+y2-6y=0.‎ ‎(2)证明:点P(1,2),圆C与直线l交于点A,B,‎ 把直线l的参数方程(t为参数)代入x2+y2-6y=0中,‎ 整理得t2+2(cos α-sin α)t-7=0,设t1和t2分别为A和B对应的参数,则t1·t2=-7(定值),‎ 故|PA|×|PB|=|t1·t2|=7为定值.‎ ‎3.(2018山西太原一模,22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为其中φ为参数,曲线C2:x2+y2-2y=0,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l:θ=α(ρ≥0)与曲线C1,C2分别交于点A,B(均异于原点O).‎ ‎(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;‎ ‎(2)当0<α<时,求|OA|2+|OB|2的取值范围.‎ 解析　(1)C1的普通方程为+y2=1,‎ C1的极坐标方程为ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ-2=0,‎ C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.‎ ‎(2)联立θ=α(ρ≥0)与C1的极坐标方程得|OA|2=,‎ 联立θ=α(ρ≥0)与C2的极坐标方程得|OB|2=4sin2α,‎ 则|OA|2+|OB|2=+4sin2α=+4(1+sin2α)-4.‎ 令t=1+sin2α,则|OA|2+|OB|2=+4t-4,‎ 当0<α<时,t∈(1,2).‎ 设f(t)=+4t-4,‎ 易得f(t)在(1,2)上单调递增,‎ ‎∴|OA|2+|OB|2∈(2,5).‎ 方法2　参数方程与普通方程的互化方法 ‎4.(2018湖北荆州一模,22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数).‎ ‎(1)求曲线C的普通方程;‎ ‎(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的方程为ρsin+=0,已知直线l与曲线C相交于A、B两点,求|AB|.‎ 解析　(1)曲线C的参数方程为(α为参数),‎ sin α=,cos α=,‎ 普通方程为+=1,‎ 化简得x2+y2=2.‎ ‎(2)由ρsin+=0,‎ 知ρ(cos θ-sin θ)+=0,化为普通方程为x-y+=0,‎ 圆心到直线l的距离d=,‎ 由垂径定理得|AB|=.‎ ‎5.(2018河南郑州质检,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为ρsin=.‎ ‎(1)求曲线C的普通方程和直线l的倾斜角;‎ ‎(2)设点P(0,2),l和C交于A,B两点,求|PA|+|PB|.‎ 解析　(1)由(α为参数)消去参数α,得+y2=1,即曲线C的普通方程为+y2=1,‎ 由ρsin=,得ρsin θ-ρcos θ=2,①‎ 将代入①得y=x+2,‎ 所以直线l的倾斜角为.‎ ‎(2)由(1)知,点P(0,2)在直线l上,可设直线l的参数方程为(t为参数),‎ 即(t为参数),将其代入+y2=1并化简得5t2+18t+27=0,Δ=(18)2-4×5×27=108>0.‎ 设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,‎ 则t1+t2=-<0,t1t2=>0,所以t1<0,t2<0,‎ 所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=.‎ ‎6.(2018湖南长郡中学六模,22)已知曲线C1:(t为参数),C2:(θ为参数).‎ ‎(1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;‎ ‎(2)若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ的中点M到直线C3:(t为参数)距离的最小值.‎ 解析　(1)C1:(x+4)2+(y-3)2=1,C2:+=1,‎ C1表示圆心是(-4,3),半径是1的圆,C2表示中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.‎ ‎(2)当t=时,P(-4,4),又Q(8cos θ,3sin θ),故M,‎ 又C3的普通方程为x-2y-7=0,则M到C3的距离d=|4cos θ-3sin θ-13|=|3sin θ-4cos θ+13|=|5(sin θ-φ)+13|其中φ满足tan φ=,所以d的最小值为.‎