2020届高考文科数学大二轮复习冲刺创新专题题型2解答题规范踩点多得分第8讲选修4系列第1课时坐标系与参数方程练习

2020届高考文科数学大二轮复习冲刺创新专题题型2解答题规范踩点多得分第8讲选修4系列第1课时坐标系与参数方程练习

第1课时　坐标系与参数方程 ‎[考情分析]　坐标系与参数方程是高考选考内容之一，要求考查：一是直线与圆的极坐标方程，以及极坐标与直角坐标的互化；二是直线、圆与圆锥曲线的参数方程，以及参数方程与普通方程的互化．‎ 热点题型分析 热点1　极坐标方程 ‎1．圆的极坐标方程 若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则圆的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.‎ 几个特殊位置的圆的极坐标方程：‎ ‎(1)当圆心位于极点，半径为r时，ρ＝r；‎ ‎(2)当圆心为M(a,0)，半径为a时，ρ＝2acosθ；‎ ‎(3)当圆心为M，半径为a时，ρ＝2asinθ.‎ ‎2．直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴与此直线所成的角为α，则此直线的极坐标方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．‎ 几个特殊位置的直线的极坐标方程：‎ ‎(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；‎ ‎(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；‎ ‎(3)直线过点M，且平行于极轴：ρsinθ＝b.‎ ‎(2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.‎ ‎(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；‎ ‎(2)当M在曲线C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．‎ 解　(1)因为M(ρ0，θ0)在曲线C上，‎ - 9 -‎ 当θ0＝时，ρ0＝4sin＝2.‎ 由已知，得|OP|＝|OA|cos＝2.‎ 设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点．‎ 在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2.‎ 经检验，点P在曲线ρcos＝2上，‎ 所以l的极坐标方程为ρcos＝2.‎ ‎(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，‎ ‎|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ.‎ 因为P在线段OM上，且AP⊥OM，‎ 所以θ的取值范围是.‎ 所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈.‎ ‎1．直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式x＝ρcosθ和y＝ρsinθ直接带入并化简即可．‎ ‎2．极坐标方程化为直角坐标时常通过变形，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意变形过程的检验．‎ ‎(2018·江苏高考)在极坐标系中，直线l的方程为ρsin＝2，曲线C的方程为ρ＝4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．‎ 解　因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，所以曲线C是以直角坐标(2,0)为圆心，直径为4的圆．因为直线l的极坐标方程为 ρsin＝2，则直线l过A(4,0)(直角坐标)，倾斜角为，所以A为直线l与圆C的一个交点．设另一个交点为B，则∠OAB＝.连接OB，因为OA为直径，从而∠OBA＝，所以AB＝4cos＝2.因此，直线l被曲线C截得的弦长为2.‎ 热点2　参数方程 - 9 -‎ ‎1．直线的参数方程 经过点P0(x0，y0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)．t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即|t|＝|PP0|(t可正、可负、可零)．若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则|M1M2|＝|t1－t2|；线段M1M2的中点M所对应的参数为.‎ ‎2．圆的参数方程 圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为 ‎(θ为参数)．‎ ‎3．椭圆的参数方程 椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程为(θ为参数)；‎ 椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．‎ ‎(1)求α的取值范围；‎ ‎(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．‎ 解　(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.‎ 当α＝时，l与⊙O交于两点．‎ 当α≠时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点当且仅当<1，解得k<－1或k>1，即α∈或α∈.‎ 综上，α的取值范围是.‎ ‎(2)l的参数方程为.‎ 设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，‎ 则tP＝，‎ 且tA，tB满足t2－2tsinα＋1＝0.‎ - 9 -‎ 于是tA＋tB＝2sinα，tP＝sinα.‎ 又点P的坐标(x，y)满足 所以点P的轨迹的参数方程是 .‎ 将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有：‎ ‎(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法；‎ ‎(2)三角恒等消参法：利用sin2α＋cos2α＝1消去参数，圆和椭圆的参数方程都是运用三角恒等消参法；‎ ‎(3)常见的消参关系式：t·＝1；2－2＝4；2＋2＝1.‎ ‎(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋ρsinθ＋11＝0.‎ ‎(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)求曲线C上的点到直线l距离的最小值．‎ 解　(1)因为－1<≤1，‎ 且x2＋2＝2＋＝1，‎ 所以曲线C的直角坐标方程为x2＋＝1(x≠－1)，‎ 直线l的直角坐标方程为2x＋y＋11＝0.‎ ‎(2)由(1)可设曲线C的参数方程为(α为参数，－π<α<π)．‎ 曲线C上的点到直线l的距离为 ＝.‎ 当α＝－时，4cos＋11取得最小值7，‎ 故曲线C上的点到直线l距离的最小值为.‎ 热点3　极坐标与参数方程的综合应用 - 9 -‎ 解决极坐标与参数方程的综合应用问题的一般思路：‎ ‎(1)在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、切线等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦时，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．转化时要注意两坐标系的关系，注意ρ，θ的取值范围，取值范围不同对应的曲线不同；‎ ‎(2)解答参数方程的有关问题时，首先要弄清参数是谁，代表的几何意义是什么；其次要认真观察方程的表现形式，以便于寻找最佳化简途径．‎ ‎(2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．‎ 解　(1)C1的普通方程为＋y2＝1，C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.‎ ‎(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cosα，sinα)．因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，‎ d(α)＝＝.‎ 当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.‎ 解决极坐标、参数方程的综合问题时应注意下面三点：‎ ‎(1)在对于参数方程或极坐标方程的应用不够熟练的情况下，可以先化成普通方程或直角坐标方程，这样思路可能更加清晰；‎ ‎(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷．如利用直线参数方程中参数的几何意义解决与距离有关的问题；利用圆或椭圆参数方程中的参数，转化为三角函数处理有关最值的问题；‎ ‎(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件和隐含条件．‎ - 9 -‎ 以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知直线l的参数方程为 ‎(t为参数，0≤φ<π)，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝8sinθ.‎ ‎(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，当φ变化时，求|AB|的最小值．‎ 解　(1)由消去t，‎ 得xsinφ－ycosφ＋2cosφ＝0，‎ 所以直线l的普通方程为xsinφ－ycosφ＋2cosφ＝0.‎ 由ρcos2θ＝8sinθ，得(ρcosθ)2＝8ρsinθ，‎ 把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入上式，得x2＝8y，‎ 所以曲线C的直角坐标方程为x2＝8y.‎ ‎(2)将直线l的参数方程代入x2＝8y，‎ 得t2cos2φ－8tsinφ－16＝0，‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 则t1＋t2＝，t1t2＝－，‎ 所以|AB|＝|t1－t2|＝ ‎＝ ＝.‎ 当φ＝0时，|AB|的最小值为8.‎ 专题作业 ‎1．(2019·南昌模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线l1，l2的极坐标方程分别为θ＝(ρ∈R)，θ＝(ρ∈R)，设直线l1，l2与曲线C的交点为O，M，N，求△OMN的面积．‎ 解　(1)由曲线C的参数方程(θ为参数)，得C的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，‎ 所以曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－4ρsinθ＝0，即ρ＝4sinθ.‎ - 9 -‎ ‎(2)不妨设直线l1：θ＝(ρ∈R)与曲线C的交点为O，M，则ρM＝|OM|＝4sin＝2.‎ 又直线l2：θ＝(ρ∈R)与曲线C的交点为O，N，则ρN＝|ON|＝4sin＝2.又∠MON＝，所以S△OMN＝|OM||ON|＝×2×2＝2.‎ ‎2．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)求C和l的直角坐标方程；‎ ‎(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．‎ 解　(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.‎ 当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，‎ 当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.‎ ‎(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①‎ 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，所以x1＋x2＝(1＋t1cosα)＋(1＋t2cosα)＝2，所以(t1＋t2)cosα＝0，又cosα≠0，所以t1＋t2＝0.‎ 又由①得t1＋t2＝－，故2cosα＋sinα＝0，所以tanα＝－2，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.‎ ‎3．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)写出C的普通方程；‎ ‎(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．‎ 解　(1)消去参数t，得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；‎ 消去参数m，得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．‎ 设P(x，y)，由题设，得 消去k，得x2－y2＝4(y≠0)，‎ 所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．‎ - 9 -‎ ‎(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，‎ 联立 得cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)．‎ 故tanθ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.‎ 代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，得ρ2＝5，‎ 所以交点M的极径为.‎ ‎4．(2019·郑州第二次质量检测)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为ρcos＝a，且l过点A，曲线C1的参数方程为(α为参数)．‎ ‎(1)求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值；‎ ‎(2)过点B(－1,1)且与直线l平行的直线l1与曲线C1交于M，N两点，求|BM|·|BN|的值．‎ 解　(1)由直线l过点A可得cos＝a，‎ 故a＝，‎ 则易得直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.‎ 根据点到直线的距离公式可得曲线C1上的点到直线l的距离 d＝＝，‎ 其中sinφ＝，cosφ＝，‎ 所以dmax＝＝.‎ 即曲线C1上的点到直线l的距离的最大值为.‎ ‎(2)由(1)知直线l的倾斜角为，‎ 则直线l1的参数方程为(t为参数)．‎ 易知曲线C1的普通方程为＋＝1.‎ 把直线l1的参数方程代入曲线C1的普通方程可得 t2＋7t－5＝0，‎ 设M，N两点对应的参数分别为t1，t2，‎ - 9 -‎ 所以t1t2＝－，根据参数t的几何意义可知 ‎|BM|·|BN|＝|t1t2|＝.‎ - 9 -‎