【数学】2019届一轮复习人教A版解析几何中的范围、最值和探索性问题学案

【数学】2019届一轮复习人教A版解析几何中的范围、最值和探索性问题学案

解析几何中的范围、最值和探索性问题仍是高考考试的重点与难点，主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查范围、最值和探索性问题，试题难度较大．复习时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去.解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法；其次注意分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用，如解析几何中的最值问题往往需建立求解目标函数，通过函数的最值研究几何中的最值． ‎ ‎1．圆锥曲线中范围问题 圆锥曲线中参数的范围问题，由于其能很好地考查学生对数学知识的迁移、组合、融会的能力，有利于提高学生综合运用所学知识分析、解决问题的能力．该类试题设计巧妙、命制新颖别致，常求特定量、特定式子的范围．常与函数解析式的求法、函数最值、不等式等知识交汇，成为近年高考热点．解决圆锥曲线中范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理.‎ 例1【贵州省遵义市 第二次联考】设抛物线的准线与轴交于,抛物线的焦点为，以为焦点，离心率的椭圆与抛物线的一个交点为；自引直线交抛物线于两个不同的点，设.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程和椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若，求的取值范围.‎ 思路分析 (Ⅰ) 设椭圆的标准方程为，根据椭圆上的点及离心率可得关于的方程组，求得可得椭圆的方程；根据椭圆的焦点坐标可得 ‎，进而可得抛物线方程．(Ⅱ)设出直线的方程，与椭圆方程联立消元后根据根与系数的关系及弦长公式可得，再根据的范围，利用函数的有关知识求得的范围即可．‎ ‎∴．③ 由①②③消去得 ．‎ ‎∴ ‎ ‎，即，将代入上式得 ‎，∵单调递减，∴，即，∴，∴，‎ 即的求值范围为．学 ‎ 点评 ‎ 圆锥曲线中的最值与范围问题是高考中的常考题型，常与不等式、函数等知识结合在一起，涉及的知识点较多、难度较大．解题时可先建立关于某个参数的目标函数，再求这个函数的最值，常用的方法有以下几个 ①利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；②利用基本不等式求出参数的取值范围；③利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. ‎ ‎2．圆锥曲线中最值问题 ‎ 圆锥曲线中的最值问题是一类综合性强、变量多、涉及知识面广的题目，是解析几何中的难点问题，也是高考中的热点问题，这些问题形式多变.解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义和性质,而且要善于综合应用代数、平面几何、三角函数等相关知识.圆锥曲线最值问题常见的有两类 一类是有关长度、面积的最值问题；另一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题.圆锥曲线中最值问题，由于其能很好地考查学生对数学知识的迁移、组合、融会的能力，有利于提高学生综合运用所学知识分析、解决问题的能力．该类试题设计巧妙、命制新颖别致，常求特定量、特定式子的最值或范围．常与函数解析式的求法、函数最值、不等式等知识交汇，成为近年高考热点．解决圆锥曲线中最值问题的基本思想是借助几何知识，建立目标函数和建立不等关系，利用函数性质和不等式知识，以数形结合、转化的数学思想寻求解题思路.因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理.‎ 例2【贵州省贵阳市 12月月考】已知椭圆 过点， ， 分别是椭圆的左、右焦点，以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线相切.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线交椭圆于， ，求内切圆面积的最大值和此时直线的方程.‎ 思路分析（1）由条件可设处圆的方程，根据直线和圆相切得到，再根据点在椭圆上得到椭圆方程；（2）由，故求△‎ 面积的最大值即可，联立直线和椭圆方程，得到二次方程，根据弦长公式和点线距得到，分析单调性可求出最值.‎ 点评 这个题目考查了直线和椭圆的位置关系，以及椭园中的范围和最值问题，这是圆锥曲线中的一大考查题型；在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑 ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法 一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2‎ ‎）就是用的这种思路，函数单调性法求三角形面积最值的. 学 ‎ ‎3．圆锥曲线中的探索性问题 探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学 特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求学生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题，它能很好地考查数学思维能力以及 学的探索精神.因此越来越受到高考命题者的青睐．探索性问题实质上是探索结论的开放性问题.相对于其他的开放性问题来说，由于这类问题的结论较少（只有存在、不存在两个结论有时候需讨论），因此，思考途径较为单一，难度易于控制，受到各类考试命题者的青睐.解答这一类问题，往往从承认结论、变结论为条件出发，然后通过特例归纳，或由演绎推理证明其合理性.探索过程要充分挖掘已知条件，注意条件的完备性，不要忽略任何可能的因素. 探索性问题常见的命题是存在性问题，所谓存在性问题，就是判断满足某个(某些)条件的点、直线、曲线(或参数)等几何元素是否存在的问题．这类问题通常以开放性的设问方式给出，若存在符合条件的几何元素或参数值，就求出这些几何元素或参数值，若不存在，则要求说明理由． ‎ 例3．如图，已知抛物线 ，过焦点斜率大于零的直线交抛物线于、两点，且与其准线交于点．‎ ‎ [ 学 ]‎ ‎（Ⅰ）若线段的长为，求直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）在上是否存在点，使得对任意直线，直线，，的斜率始终成等差数列，若存在求点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ 思路分析 （Ⅰ）因为直线过焦点，所以设直线，与抛物线方程联立，转化为，利用焦点弦长公式，，解得直线方程；‎ ‎（Ⅱ）设，用坐标表示直线的斜率，若成等差数列，那么,代入（1）的坐标后，若恒成立，解得点的坐标.‎ ‎ 点评 本题考查了直线与抛物线的位置关系问题，属于难题，对于本题的第二问，考查的是恒成立的问题，若存在，说明与直线无关，即与直线的斜率无关，可求得定点,解析几何中有很多未知量，要通过设直线，设点的坐标，再根据条件进行消元，从而化简，例如本题，通过设点的坐标表示斜率，再通过直线方程与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，通过消元得到点的坐标与直线斜率的关系，组合通过恒成立解决.此类问题命题背景宽，涉及知识点多，综合性强，探究平分面积的线、平分线段的线，或探究等式成立的参数值．常与距离、倾斜角、斜率及方程恒成立问题综合，形成知识的交汇．化解探索性问题的方法 首先假设所探求的问题结论成立、存在等，在这个假设下进行推理论证，如果得到了一个合情合理的推理结果，就肯定假设，对问题做出正面回答，如果得到一个矛盾的结果，就否定假设，对问题作出反面回答．在这个解题思路指导下解决探索性问题与解决具有明确结论的问题没有什么差别．学 ‎ 综上所述 ‎ 解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.综合题中常常离不开直线与圆锥曲线的位置，因此，要树立将直线与圆锥曲线方程联立，应用判别式、韦达定理的意识.解析几何应用问题的解题关键是建立适当的坐标系，合理建立曲线模型，然后转化为相应的代数问题作出定量或定性的分析与判断.常用的方法 数形结合法，以形助数，用数定形. 在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于 “平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.避免繁复运算的基本方法 可以概括为 回避，选择，寻求.所谓回避，就是根据题设的几何特征，灵活运用曲线的有关定义、性质等，从而避免化简方程、求交点、解方程等繁复的运算.所谓选择，就是选择合适的公式，合适的参变量，合适的坐标系等，一般以直接性和间接性为基本原则.因为对普通方程运算复杂的问题，用参数方程可能会简单；在某一直角坐标系下运算复杂的问题，通过移轴可能会简单；在直角坐标系下运算复杂的问题，在极坐标系下可能会简单，这就是“所谓寻求”.‎