2020届高考文科数学大二轮复习冲刺创新专题题型1选填题练熟练稳少丢分第15讲概率与统计练习

2020届高考文科数学大二轮复习冲刺创新专题题型1选填题练熟练稳少丢分第15讲概率与统计练习

第15讲　概率与统计 ‎[考情分析]　统计的主要内容包括随机抽样、用样本估计总体、变量的相关关系；概率部分以考查古典(几何)概型、互斥事件、对立事件等为主，主要以选择或填空的方式呈现，多为低、中档题目．‎ 热点题型分析 热点1　抽样方法与用样本估计总体 ‎1.抽样方法 ‎2．样本的数字特征 ‎(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据；‎ ‎(2)中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的一个或两个数据的平均数，是样本数据的“中心点”；‎ ‎(3)平均数：样本数据的算术平均数，即＝(x1＋x2＋…＋xn)，是样本数据的平均水平；‎ ‎(4)方差与标准差：是样本数据到平均数的一种平均距离，表示样本数据的离散程度，标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小．‎ 方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]；‎ 标准差：s＝.‎ ‎3．直方图的两个结论 - 13 -‎ ‎(1)小长方形的面积＝组距×＝频率；‎ ‎(2)各小长方形的面积之和等于1.‎ ‎4．直方图与众数、中位数和平均数的关系 ‎(1)众数：是直方图中最高矩形的底边中点横坐标；‎ ‎(2)中位数：是直方图中平分所有矩形面积和，且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；‎ ‎(3)平均数：是每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．‎ ‎1．(2019·东三省三校一模)如图是某居民小区年龄在20岁到45岁的居民上网情况的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)，[35,40)，[40,45]的上网人数呈现递减的等差数列，且年龄在[30,35)的频率为0.3，则由此频率分布直方图估计该小区在20岁到45岁的居民上网年龄的(　　)‎ A．平均数为32.5 B．众数为32.25‎ C．中位数为 D．在[40,45]的频率为0.15‎ 答案　C 解析　由题意可知[20,25)，[25,30)，[30,35)的频率分别为0.05,0.35,0.3.设[35,40)，[40,45]的频率分别为a，b.因为已知年龄在[30,35)，[35,40)，[40,45]的上网人数呈现递减的等差数列，所以他们的频率也成递减的等差数列，则有a＋b＝0.3且2a＝b＋0.3，解得a＝0.2，b＝0.1，故选项D不正确；居民上网年龄的平均数为22.5×0.05＋27.5×0.35＋32.5×0.3＋37.5×0.2＋42.5×0.1＝32.25，所以A不正确；根据众数和直方图的关系，可得上网年龄的众数为27.5，故B不正确；由前面计算可知中位数在[30,35)组中，设中位数为x，则＝，解得x＝，故选C．‎ ‎2．一个总体中的100个个体的号码分别为0,1,2，…，99，并依次将其分为10个小组，组号为0,1,2，…，9.要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为m，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组(k＝1,2，…，9)中抽取的号码个位数字为m＋k或m＋k－10(如果m＋k≥10)，当m＝5时，第8组抽取的号码为________．‎ - 13 -‎ 答案　83‎ 解析　因为m＝5，k＝8，则m＋k＝13，则第8组中抽取号码的个位数字为m＋k－10＝3，所以第8组抽取的号码为83.‎ ‎3．(2019·江苏高考)已知一组数据6,7,8,8,9,10，则该组数据的方差是________．‎ 答案　 解析　这组数据的平均数为8，故方差为s2＝×[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝.‎ ‎1．对于以统计图为载体的概率与统计问题，认真观察图表，从中提取有用信息和数据是解题关键．特别是利用频率直方图解题时，常把直方图的高误认为是频率而导致错误．因此，应注意每个小矩形的面积为频率，所有面积和为1.对于第1题这类，利用直方图考查众数、中位数和平均数的问题，关键在于相应的计算公式是否掌握，特别是中位数问题，找准中位数所在的区间是解题关键；‎ ‎2．对于抽样方法的问题，要明确总体的基本特征符合哪种抽样特点．对于系统抽样通常是等距抽样，但也有例外情况，如第2题给出的规则即为每组号码错后一位，如果还按照等距原则计算，就会出现错解85.因此解决系统抽样的问题时，要认真审题，分析题目给出的抽取规则，按照规则进行抽样；‎ ‎3．对于样本的数字特征的一系列问题(如第3题)，解题关键在于计算公式的准确使用和计算准确，应掌握简便运算的方法，减小计算量，提高准确率．‎ 热点2　统计案例 ‎1．线性回归方程 方程＝x＋称为线性回归方程，利用最小二乘法估计公式斜率和截距分别为＝＝，＝－ ，其中(，)是样本点的中心，且回归直线恒过该点．‎ ‎2．相关系数 - 13 -‎ r＝，当r>0时，表明变量x与y正相关，r<0时，表明变量x与y负相关．若|r|∈[0.75,1]时，相关性很强；|r|∈[0.3,0.75)时，相关性一般；|r|∈[0,0.25]时，相关性较弱．‎ ‎3．残差分析 R2＝1－，当R2越大时，残差平方和(yi－i)2越小，拟合效果越好；当R2越小时，残差平方和越大，拟合效果越差．‎ ‎4．独立性检验 随机变量K2＝(K2也可以表示为χ2)，当K2>3.841时，则有95%的把握说两个事件有关；当K2>6.635时，则有99%的把握说两个事件有关．‎ ‎1．(2019·衡水中学调研)已知变量x，y之间的线性回归方程为＝－0.7x＋10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是(　　)‎ x ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ y ‎6‎ m ‎3‎ ‎2‎ A．变量x，y之间呈负相关关系 B．可以预测，当x＝20时，＝－3.7‎ C．m＝4‎ D．该回归直线必过点(9,4)‎ 答案　C 解析　由题意得，由－0.7<0，得变量x，y之间呈负相关，故A正确；当x＝20时，则＝－0.7×20＋10.3＝－3.7，故B正确；由数据表格可知＝×(6＋8＋10＋12)＝9，＝×(6＋m＋3＋2)＝，则＝－0.7×9＋10.3，解得m＝5，故C错误；由数据表易知，样本点中心为(9,4)，故D正确．故选C．‎ ‎2．为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如图所示2×2列联表：‎ - 13 -‎ 理科 文科 总计 男 ‎13‎ ‎10‎ ‎23‎ 女 ‎7‎ ‎20‎ ‎27‎ 总计 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到K2的观测值k＝≈4.844，则有________的把握认为选修文科与性别有关．‎ 答案　95%‎ 解析　由题意，K2＝≈4.844，因为4.844>3.841，所以有95%的把握认为选修文科与性别有关．‎ ‎1．线性回归分析是对有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义；同时，根据回归方程预测仅是一个预测值，而不是真实发生的值．‎ ‎2．独立检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表．在分析问题时一定要注意不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果做出错误的解释．‎ 热点3　古典概型、几何概型 ‎1．古典概型 P(A)＝.‎ ‎2．几何概型 P(A)＝.‎ ‎1．(2019·全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是(　　)‎ A． B． ‎ C． D． - 13 -‎ 答案　D 解析　设两位男同学分别为A，B，两位女同学分别为a，b，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．‎ 由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“”的情况)共有12种，故所求概率为＝.故选D．‎ ‎2．(2019·西安调研)若函数f(x)＝在区间[0，e]上随机取一个实数x，则f(x)的值不小于常数e的概率是(　　)‎ A． B．1－ ‎ C． D． 答案　B 解析　当0≤x<1时，恒有f(x)＝ex1的概率为(　　)‎ A． B． ‎ C． D． 答案　B 解析　由sinx＋cosx>1，得sin>，因为x∈[0，π]，所以sinx＋cosx>1的解集为，由几何概型可知所求概率P＝＝，故选B．‎ ‎5．2021年某省新高考将实行“3＋1＋2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B(　　)‎ A．是互斥事件，不是对立事件 B．是对立事件，不是互斥事件 C．既是互斥事件，也是对立事件 D．既不是互斥事件也不是对立事件 答案　A 解析　事件A与事件B不能同时发生，是互斥事件，该同学还可以有其他选择，例如他还可以选择化学和政治，所以事件A与事件B不是对立事件．故选A．‎ ‎6．如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是(　　)‎ - 13 -‎ A． B． ‎ C． D． 答案　C 解析　设被污损的数字为x，则甲＝×(88＋89＋90＋91＋92)＝90，乙＝×(83＋83＋87＋99＋90＋x)，若甲＝乙，则x＝8.若甲>乙，则x可以为0,1,2,3,4,5,6,7，故P＝＝.‎ ‎7．(2019·兰州实战考试)采用系统抽样的方法从1000人中抽取50人做问卷调查，将他们随机编号1,2，…，1000.适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若抽到的50人中，编号落入区间[1,400]的人做问卷A，编号落入区间[401,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中做问卷C的人数为(　　)‎ A．12 B．13 ‎ C．14 D．15‎ 答案　A 解析　根据系统抽样的特点可知，所有做问卷调查的人的编号构成首项为8，公差d＝＝20的等差数列{an}，所以an＝8＋20(n－1)＝20n－12，令751≤20n－12≤1000，解得≤n≤，又n∈N*，所以39≤n≤50，则做问卷C的共有12人，故选A．‎ ‎8．(2019·兰州一模)已知某种商品的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：‎ x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ m ‎70‎ 根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为＝6.5x＋17.5，则表中m的值为(　　)‎ A．45 B．50 ‎ C．55 D．60‎ 答案　D 解析　由回归直线恒过(，)，可得＝＝5，＝＝38＋，即38＋＝6.5×5＋17.5，解得m＝60，故选D．‎ ‎9．法国学者贝特朗发现，在研究事件A - 13 -‎ ‎“在半径为1的圆内随机地取一条弦，其长度超过圆内接等边三角形的边长”的概念的过程中，基于对“随机地取一条弦”的含义的不同理解，事件A的概率P(A)存在不同的答案，该问题被称为“贝特朗悖论”．现给出一种解释：若固定弦的一个端点，另一个端点在圆周上随机选取，则P(A)＝(　　)‎ A． B． ‎ C． D． 答案　B 解析　设固定弦的一个端点为A，则另一个端点在圆周上且在BC劣弧上随机选取，即可满足题意，则P(A)＝＝，故选B．‎ ‎10．(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　)‎ A． B． ‎ C． D． 答案　D 解析　从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：‎ 基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，所以所求概率P＝＝.故选D．‎ ‎11．已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP－ABC的概率是________．‎ 答案　 解析　由题意得e＝ >，即b>2a.同时抛掷两颗骰子，得到的点数a，b满足b>2a的情况有：当a＝1时，b＝3,4,5,6，共4种情况；当a＝2时，b＝5,6，共2种情况，所以满足题意的情况共有6种，又同时掷两颗骰子有36种情况，∴所求概率为＝.‎ ‎13．从2,3,4,5,8,9这6个数中一次取出两个数分别作为对数的底数和真数，则得到的对数是整数的概率为________．‎ 答案　 解析　设取得的第一个数为对数的底数，第二个数为对数的真数，则从2,3,4,5,8,9这六个数中一次取出两个数的基本事件有(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,8)，(2,9)，(3,4)，(3,5)，(3,8)，(3,9)，(4,5)，(4,8)，(4,9)，(5,8)，(5,9)，(8,9)，共15个，其中得到的对数是整数的有(2,4)，(2,8)，(3,9)，共3个，故所求事件概率为＝.‎ ‎14．按文献记载，《百家姓》成文于北宋初年，表1记录了《百家姓》开头的24大姓氏．‎ 表1‎ - 13 -‎ 赵 钱 孙 李 周 吴 郑 王 冯 陈 褚 卫 蒋 沈 韩 杨 朱 秦 尤 许 何 吕 施 张 表2记录了2018年中国人口最多的前10大姓氏．‎ 表2‎ ‎1李 ‎2王 ‎3张 ‎4刘 ‎5陈 ‎6杨 ‎7赵 ‎8黄 ‎9周 ‎10吴 从《百家姓》开头的24大姓氏中随机选取1个姓氏，则这个姓氏是2018年中国人口最多的前10大姓氏的概率为________．‎ 答案　 解析　2018年中国人口最多的前10大姓氏也是《百家姓》的前24大姓氏的是赵、李、周、吴、王、陈、杨、张，共8个，故所求概率为＝.‎ ‎15．在平面区域内随机取一点(a，b)，则函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为________．‎ 答案　 解析　不等式组表示的平面区域为如图所示的△AOB的内部及边界AB(不包括边界OA，OB)，则S△AOB＝×4×4＝8.函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上是增函数，则应满足a>0，且x＝≤1，即满足可得对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界OC，BC，不包括边界OB)，由解得a＝，b＝，即点C坐标为，所以S△COB＝×4×＝.根据几何概型的概率计算公式，可知所求的概率为＝.‎ - 13 -‎