数学理·河北省唐山市2017届高三上学期第一次调研统考理数试题+Word版含解析

数学理·河北省唐山市2017届高三上学期第一次调研统考理数试题+Word版含解析

全*品*高*考*网， 用后离不了！河北省唐山市2017届高三上学期第一次调研统考 理数试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知集合，且，则满足条件的集合的个数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以中有没有，故可能性有共四种.‎ 考点：子集，交集．‎ ‎【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.‎ ‎2.已知复数满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C 考点：复数运算．‎ ‎3.某班学生一次数学考试成绩频率分布直方图如图所示，数据分组依次为 ‎，若成绩大于等于分的人数为，则成绩在的人数 为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 考点：频率分布直方图．‎ ‎4.设函数，“是偶函数”是“的图像关于原点对称”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：设“是偶函数”，“的图象关于原点对称”.不能推出，因为有可能是偶函数，图象关于轴对称.可以推出，因为原来图象关于原点对称，加绝对值之后就关于轴对称，所以是的必要不充分条件.‎ 考点：函数的奇偶性，充要条件．‎ ‎5.设是双曲线的两个焦点，在双曲线上，且，则的面 积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：双曲线焦点三角形面积公式为，其中，所以本题面积为.‎ 考点：双曲线焦点三角形．‎ ‎6.要得到函数，只需将函数的图像（ ）‎ A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 ‎【答案】D 考点：三角函数图象变换．‎ ‎7.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：运行程序，，判断否，，判断否，，判断是，，判断否，，判断是，，判断否，，判断否，判断是，输出.‎ 考点：算法与程序框图．‎ ‎8.设是方程的解，则所在的范围是（ ）‎ A． B． C． ‎ ‎ D．‎ ‎【答案】B 考点：函数的图象与性质，二分法．‎ ‎9.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：该几何体是上面一个三棱锥，下面一个三棱柱，故体积为.‎ 考点：三视图．‎ ‎10.把长为的铁丝随机截成三段，则每段铁丝长度都不小于的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 考点：几何概型．‎ ‎11.在四棱锥中，底面是正方形，底面，‎ 分别是棱的中点，则过的平面截四棱锥所得截面面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：取中点，连接，根据三角形中位线的性质有.取的中点，取的中点，根据三角形中位线的性质有，所以共面，面积为.‎ 考点：立体几何．‎ ‎【思路点晴】本题主要考查立体几何点线面的位置关系，考查多点共面的证明方法，考查空间想象能力，考查动手能力.先画出题目给定的四棱锥，标出中点，并将三点连接起来，然后在几何体中平移到四棱锥的表面.利用中位线将平移到，由此可得.现将，然后将，经过以上步骤，就将平面扩展到几何体的表面了，进而得出截面.‎ ‎12.设函数，若存在唯一的正整数，使得，则的 取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 考点：函数导数与不等式．‎ ‎【思路点晴】题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数 形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.选择题可以采用代入法的策略，选项中的特殊值代入，验证来得出结果.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）‎ ‎13.已知向量，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：依题意有，，所以 ‎.‎ 考点：向量运算．‎ ‎14.在的展开式中，各二项式系数的和为，则常数项是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：依题意有，展开式的通项为 ‎，，故常数项为.‎ 考点：二项式．‎ ‎15.已知抛物线与圆有公共点，若抛物线在点处的 切线与圆也相切，则______.‎ ‎【答案】‎ 考点：抛物线与圆．‎ ‎【思路点晴】本题考查圆和抛物线的位置关系，考查圆锥曲线的切线.由题意可知，两条曲线相交于切点，对于抛物线来说，先设出切点，就可以利用导数求得切线的斜率和切线方程，对于圆来说，圆心和切点的连线是和切线垂直的，转化为数学的式子就是两直线斜率乘积等于，解方程就可以求出切点坐标，然后利用两点间的距离公式求出半径.‎ ‎16.一艘海监船在某海域实施巡航监视，由岛向正北方向行驶海里至处，然后沿东偏南 方向行驶海里至处，再沿南偏东方向行驶海里至岛，则两岛之间距离是_____海 里.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：以为坐标原点建立平面直角坐标系，由图可知，故.‎ 考点：解三角形．‎ ‎【思路点晴】本题主要考查解三角形、方位角、数形结合的数学思想方法.利用解三角形知识解决实际问题要注意 根据条件画出示意图，结合示意图构造三角形，然后转化为解三角形的问题进行求解．本题由于涉及方位，所以可以建立平面直角坐标系来求，也就是在点建立坐标系，然后求出想关点的坐标，最后利用两点间的距离公式来求.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 设为等差数列的前项和，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎（2），‎ ‎.‎ 考点：数列基本概念，裂项求和法．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面，，为等边三角形，，‎ ‎，为的中点.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）连接，因为底面，，所以，所以 平面.所以，因为为等边三角形，所以.又已知，，可得；（2）分别以所在直线为轴，过且平行的直线为轴建立空间直角坐标系，计算得平面的法向量为,平面的法向量为，所以.‎ ‎（2）分别以所在直线为轴，过且平行的直线为轴建立空间直角坐标系，‎ ‎.‎ 由题意可知平面的法向量为.‎ 设平面的法向量为，‎ 则即则，‎ ‎.‎ 所以平面与平面所成二面角的正弦值为.‎ 考点：空间向量与立体几何．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 甲将要参加某决赛，赛前四位同学对冠军得主进行竞猜，每人选择一名选手，已知选择 甲的概率均为，选择甲的概率均为，且四人同时选择甲的概率为，四人均未选择 甲的概率为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设四位同学中选择甲的人数为，求的分布列和数学期望. ‎ ‎【答案】（1）；（2）分布列见解析，.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由已知可得：解得 ‎（2）可取.‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，.‎ 的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎.‎ 考点：相互独立事件与二项分布．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 如图，过椭圆上一点向轴作垂线，垂足为左焦点，分别为的右 顶点，上顶点，且，.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过原点做斜率为的直线，交于两点，求四边形面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设焦距为，则，由得，则，由解得，椭圆的方程为；（2）设，的方程为，代入解得，直线的方程为，故，利用面积公式求得，利用基本不等式求得最大值为.‎ ‎（2），设，到的距离分别为，‎ 将代入得，则，‎ 由得，且，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，因为，当且仅当时取等号，‎ 所以当时，四边形的面积取得最大值.‎ 考点：直线与圆锥曲线位置关系．‎ ‎【方法点晴】直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若函数的两个零点为，证明：.‎ ‎【答案】（1）当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）证明见解析.‎ 试题解析：‎ ‎（1），‎ 所以当时，，在上单调递增；‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎（2）若函数的两个零点为，由（1）可得，‎ 令，‎ 则，‎ 所以在上单调递减，，即.‎ 令，则，所以，‎ 由（1）可得在上单调递增，所以，故.‎ 考点：函数导数与不等式．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，构造函数证明不等式.第一问是一个常见的求导后对参数进行分类讨论的题，求导通分后分子是一个一次函数，则只需要分成两类，结合图像来讨论即可.第二问是极点偏移问题.构造函数后，利用导数求得函数是一个减函数，然后根据单调性就可以证明原不等式成立.‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，与都是以为斜边的直角三角形，为线段上一点，平分，且 ‎.‎ ‎（1）证明：四点共圆，且为圆心；‎ ‎（2）与相交于点，若，求之间的距离.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为与都是以为斜边的直角三角形，‎ 所以四点都在以为直径的圆上.‎ 因为平分，且，所以.‎ 又，所以.‎ 所以，是的中点，为圆心.‎ ‎（2）由，得，‎ 由得.‎ 设，则，由平分得，‎ 所以，解得，即，‎ 连接，由（1），.‎ 考点：几何证明选讲．‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程是.‎ 矩形内接 于曲线，两点的极坐标分别为和.将曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短 为原来的一半，得到曲线.‎ ‎（1）写出的直角坐标及曲线的参数方程；‎ ‎（2）设为上任意一点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）,曲线的参数方程为为参数)；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先利用公式求得，利用对称性可求得.的直角坐标方程为，参数方程为（为参数）横坐标不变，纵坐标缩短为原来的一半，即（为参数）；（2）设，利用两点间的距离公式，化简得，故所求的取值范围是.‎ ‎（2）设，则 ‎，‎ 则所求的取值范围是.‎ 考点：坐标系与参数方程．‎ ‎24.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）若，求的最小值，并指出此时的取值范围；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）的最小值为，此时的取值范围是；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）时，当且仅当时取等号，解得；（2）时，显然成立；时，由，得，由及的图象可得且，解得.‎ 试题解析：‎ 考点：不等式选讲．‎