数学理卷·2018届江苏省泰州中学高三10月月考（2017

数学理卷·2018届江苏省泰州中学高三10月月考（2017

江苏省泰州中学2017-2018学年度月度检测 高三数学试卷（理科）‎ 一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）‎ ‎1.若集合，则 ．‎ ‎2.命题“若，则”的否命题为 ．‎ ‎3.已知角的终边过点，且，则的值为 ．‎ ‎4.函数的定义域为，值域为，则 ．‎ ‎5.设函数，则 ．‎ ‎6.若命题“存在”为假命题，则实数的取值范围是 ．‎ ‎7.已知，则 ．‎ ‎8.已知直线与函数及的图象分别交于两点，则线段的长度为 ．‎ ‎9.函数的最小值为 ．‎ ‎10.设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是 ．‎ ‎11.若，则 ．‎ ‎12.已知函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围是 ．‎ ‎13.设二次函数（为常数）的导函数为，对任意，不等式恒成立，则的最大值为 ．‎ ‎14.设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是 ．‎ 二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎15. 已知命题函数在上单调递增；命题不等式的解集为，若为真，为假，求实数的取值范围.‎ ‎16. 已知函数.‎ ‎（1）将化简为的形式，并求最小正周期；‎ ‎（2）求在区间上的最大值和最小值及取得最值时的值.‎ ‎17. 已知二次函数，关于实数的不等式的解集为.‎ ‎（1）当时，解关于的不等式：；‎ ‎（2）是否存在实数，使得关于的函数的最小值为？若存在，求实数的值；若不存在，说明理由.‎ ‎18. 已知为上的偶函数，当时，.‎ ‎（1）当时，求的解析式；‎ ‎（2）当时，试比较与的大小；‎ ‎（3）求最小的整数，使得存在实数，对任意的，都有.‎ ‎19. 如图，摩天轮的半径为，它的最低点距地面的高度忽略不计.地上有一长度为的景观带，它与摩天轮在同一竖直平面内，且.点从最低点处逆时针方向转动到最高点处，记.‎ ‎（1）当时，求点距地面的高度；‎ ‎（2）试确定的值，使得取得最大值.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）若曲线与直线相切，求实数的值；‎ ‎（2）记，求在上的最大值；‎ ‎（3）当时，试比较与的大小.‎ 附加题 ‎21.‎ B.（本题满分10分，矩阵与变换）‎ 在平面直角坐标系中，设点在矩阵对应的变换下得到点，求.‎ C. （本题满分10分，坐标系与参数方程）‎ 在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数，），直线（为参数，），求曲线上的动点到直线的距离的最小值.‎ ‎22.（本题满分10分）‎ 如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上，交于点，将沿折到位置，.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求二面角的正弦值.‎ ‎ ‎ ‎23.设集合是的两个非空子集，且满足集合中的最大数小于集合中的最小数，记满足条件的集合对的个数为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的表达式.‎ 试卷答案 一、填空题 ‎1. 2.若，则 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. ‎ ‎10. 11. 12. 13. ‎ ‎14. ‎ 三、解答题 ‎15.解：若真，则，‎ 真恒成立，设，则 ‎，易知，即，‎ 为真，为假一真一假，‎ ‎（1）若真假，则且，矛盾，‎ ‎（2）若假真，则且，‎ 综上可知，的取值范围是.‎ ‎16.解：（1）‎ 所以.‎ ‎（2）因为，所以 所以，所以，‎ 当，即时，，‎ 当，即时，.‎ ‎17.解：（1）由不等式的解集为知关于的方程的两根为和，且，‎ 由根与系数关系，得，‎ 所以原不等式化为，‎ ①当时，原不等式化为，且，解得或；‎ ②当时，原不等式化为，解得且；‎ ③当时，原不等式化为，且，解得或；‎ 综上所述 当时，原不等式的解集为或；‎ 当时，原不等式的解集为或.‎ ‎（2）假设存在满足条件的实数 由（1）得：‎ 令 则 对称抽为 因为，所以 所以函数在单调递减 所以当时，的最小值为 解得 ‎18.解：（1）当时，；‎ ‎（2）当时，单调递增，而是偶函数，所以在上单调递减，‎ 所以 所以当时，；‎ 当时，；‎ 当时，；‎ ‎（3）当时，，则由，得，‎ 即对恒成立 从而有对恒成立，因为，‎ 所以 因为存在这样的，所以，即 又，所以适合题意的最小整数.‎ ‎19.解：（1）由题意，得.从而，当时，‎ ‎.‎ 即点距地面的高度为.‎ ‎（2）由题意，得，从而.‎ 又，所以.‎ 从而 令，‎ 则.由，得，解得.‎ 当时，为增函数；当时，为减函数，‎ 所以，当时，有极大值，也为最大值.因为，‎ 所以.‎ 从而当取得最大值时，取得最大值.‎ 即时，取得最大值.‎ ‎20.解：（1）设曲线与相切于点，‎ 由，知，解得，‎ 又可求得点为，所以代入，得.‎ ‎（2）因为，所以.‎ ①当，即时，，此时在上单调递增，‎ 所以；‎ ②当即，当时，单调递减，‎ 当时，单调递增，.‎ ‎（i）当，即时，；‎ ‎（ii）当，即时，；‎ ③当，即时，，此时在上单调递减，‎ 所以.‎ 综上，当时，；‎ 当时，.‎ ‎（3）当时，，‎ ①当时，显然；‎ ②当时，，‎ 记函数，‎ 则，可知在上单调递增，又由知，在上有唯一实根，且，则，即（），‎ 当时，单调递减；当时，单调递增，‎ 所以，‎ 结合（）式，知，‎ 所以，‎ 则，即，所以.‎ 综上，.‎ ‎（说明：若找出两个函数与图象的一条分隔线，如，然后去证与，且取等号的条件不一致，同样给分）‎ ‎21.B.依题意，，即，解得，‎ 由逆矩阵公式知，矩阵的逆矩阵，‎ 所以.‎ C.将直线的参数方程化为普通方程为.‎ 因为点在曲线上，所以可设.‎ 因为点到直线距离，其中是锐角，‎ 所以当时，，所以点到直线的距离最小值为.‎ ‎22.解：（1）由已知得，又由得，故.‎ 因此，从而.由得.‎ 由得.所以.‎ 于是，‎ 故.‎ 又，而，‎ 所以平面.‎ ‎（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系 ‎，则 .设是平面的法向量，则，即，‎ 所以可以取.设是平面的法向量，则，‎ 即，‎ 所以可以取.于是.因此二面角的正弦值是. ‎ ‎23.解：（1）当时，即，此时，，所以，‎ 当时，即，若，则，或，或；‎ 若或，则；所以.‎ ‎（2）当集合中的最大元素为“”时，集合的其余元素可在中任取若干个（包含不取），所以集合共有种情况，‎ 此时，集合的元素只能在中任取若干个（至少取个），所以集合共有种情况，‎ 所以，当集合中的最大元素为“”时，‎ 集合对共有对，‎ 当依次取时，可分别得到集合对的个数，‎ 求和可得.‎