北京市通州区2020届高三上学期期中考试数学试题

北京市通州区2020届高三上学期期中考试数学试题

通州区高三年级期中考试 数学试卷 第一部分（选择题共40分）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合,,则M∩N＝（ ）‎ A. {-2，-1，0，1} B. {-1，0，1} C. {-1，0} D. {0，1}‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算集合N，再计算得到答案.‎ ‎【详解】，‎ 则 故选：C ‎【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题型.‎ ‎2.等比数列中，则（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用等比数列公式计算得到答案.‎ ‎【详解】等比数列中，，‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题型.‎ ‎3.下列函数中为偶函数且在上为增函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次判断每个选项的奇偶性和单调性，判断得到答案.‎ ‎【详解】A. ，是奇函数，排除；B. ，是偶函数，时，，单调递增，正确；‎ C. ，偶函数，时，是周期函数，排除；D. ，非奇非偶函数，排除；‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，记忆常规函数的奇偶性和单调性是解题的关键.‎ ‎4.“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据角度的范围依次判断充分性和必要性，判断得到答案.‎ ‎【详解】，充分性；‎ 或 或，故，必要性.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了充分必要条件，意在考查学生的推断能力.‎ ‎5.直线经过点，且与直线平行，如果直线与曲线相切，那么等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先表示出直线方程为，求导计算切点为，代入直线方程得到答案.‎ ‎【详解】直线经过点，且与直线平行，则直线方程为： ‎ 直线与曲线相切，，切点为 代入直线方程 解得： ‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了切线问题，也可以联立方程利用计算答案.‎ ‎6.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，则ABC的面积等于（ ）‎ A. 或 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用余弦定理得到，代入面积公式计算得到答案.‎ ‎【详解】利用余弦定理得到：或（舍去）‎ ‎ ‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式，意在考查学生的计算能力.‎ ‎7.设函数若方程有且只有一个根，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 方程有且只有一个根，等价于图像有一个交点，画出函数图像得到答案.‎ ‎【详解】方程有且只有一个根，等价于图像有一个交点.‎ 画出函数图像：‎ 根据图像知： ‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了方程的解的问题，转化为函数的图像的交点是解题的关键.‎ ‎8.‎2014年6月22日，卡塔尔首都多哈召开的第38届世界遗产大会上宣布:中国大运河项目成功入选世界文化遗产名录，成为中国第46个世界遗产项目.随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的的.今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头，又立即逆水返回奥体公园码头.已知游船在顺水中的速度为，在逆水中的速度为（），则游船此次行程的平均速度与的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算平均速度，再计算得到答案.‎ ‎【详解】设两码头距离为，则 即 故选：C ‎【点睛】本题考查了不等式的应用，意在考查学生的应用能力.‎ 第二部分（非选择题共110分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9.已知(为虚数单位，)，则_____．‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简复数得到，再计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了复数的计算，属于基础题型.‎ ‎10.已知，，，则三个数的大小关系是__________．‎ ‎【答案】>>；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次判断三个数与1和3 的大小关系，判断得到答案.‎ ‎【详解】；‎ ‎；‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了数的大小比较，意在考查学生对于函数单调性的应用能力.‎ ‎11.设等差数列的前项和为，若，，则数列的公差等于____.‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据计算得到，再计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的公差，也可以根据数列公式联立方程组解得答案.‎ ‎12.定义在R上的函数，给出下列三个论断：‎ ‎①在R上单调递增；②；③.‎ 以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题：________.‎ ‎【答案】①②推出③；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出答案，再根据函数单调性得到证明.‎ 详解】①②推出③；‎ 证明：在单调递增且当时，有，得证.‎ 故答案为：①②推出③‎ ‎【点睛】本题考查了利用函数单调性判断命题，意在考查学生的推断能力.‎ ‎13.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是___.‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导根据函数单调递减得到恒成立，计算函数的最大值为，得到答案.‎ ‎【详解】在恒成立 即恒成立，在的最大值为，即 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键.‎ ‎14.设是整数集的一个非空子集，对于，若，且，则称是的一个“孤立元”．集合元素中T的“孤立元”是_____；对给定集合，由中的3个元素构成的所有集合中，含“孤立元”的集合有____个 ‎【答案】 (1). 5 (2). 16.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）依次判断每个元素是否为孤立元得到答案.‎ ‎（2）3个元素构成的所有集合为个，排除不满足的情况得到答案.‎ ‎【详解】（1）依次判断每个元素是否为孤立元：对于1，，不是孤立元；对于2，，不是孤立元；对于3，，不是孤立元；对于5，，是孤立元；‎ 故答案为：5‎ ‎（2）3个元素构成的所有集合为个 不含孤立元的集合有，，4个 故含“孤立元”的集合有16个 故答案为：16‎ ‎【点睛】本题考查了集合的新定义问题，集合个数问题，意在考查学生的应用能力.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15.已知函数．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的最小正周期及单调增区间．‎ ‎【答案】（1）0（2）最小正周期，的单调增区间为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接代入数据计算得到答案.‎ ‎（2）化简得到，再计算周期和单调增区间.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎（2） ‎ 所以最小正周期.‎ 令，解得 所以的单调增区间为 ‎【点睛】本题考查了三角函数求值，三角函数的周期和单调区间，意在考查学生对于三角函数公式和性质的灵活运用.‎ ‎16.在中，，，，D是AB边的中点.‎ ‎（1）求AB的长；‎ ‎（2）求CD的长.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先计算，根据正弦定理得到答案.‎ ‎（2）先计算，再利用余弦定理得到答案.‎ ‎【详解】（1）则由正弦定理得到：‎ 解得：AB=‎ ‎（2）‎ 因D是AB中点，则，在中，由余弦定理得：‎ 解得：CD=.‎ ‎【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.‎ ‎17.已知数列的前6项依次成等比数列，设公比为q（），数列从第5项开始各项依次为等差数列，其中，数列的前n项和为.‎ ‎（1）求公比q及数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求项数n的取值范围.‎ ‎【答案】（1），（2），‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设等比数列的公比为q，，代入，解得，再讨论和两种情况得到答案.‎ ‎（2）先计算数列前4项的和为20，构造数列，前m项和计算不等式得到答案.‎ ‎【详解】(1)设等比数列的公比为q，则 ‎∵从第5项开始各项依次为等差数列，∴‎ ‎∵，∴，解得或 ‎∵数列为非常数列，∴‎ 当时，‎ 当时，，∴‎ 综上所述，‎ ‎(2)易知数列前4项的和为20，从第5项开始为等差数列，‎ 当时，数列为2，-1，-4，-7，‎ 可令数列为2，-1，-4，-7，数列的前m项和，‎ 依题意，，∴‎ 综上所述：，‎ ‎【点睛】本题考查了数列的通项公式，先N项和，意在考查学生对于数列公式和方法的掌握情况.‎ ‎18.如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，平面ABCD，，点E，F为PC，PA的中点．‎ ‎（1）求证：平面BDE⊥平面ABCD；‎ ‎（2）二面角E—BD—F的大小；‎ ‎（3）设点M在PB(端点除外)上,试判断CM与平面BDF是否平行，并说明理由．‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）（3）CM与平面BDF不平行，详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接AC与BD，设交点为O，连接FO，证明平面ABCD，得到答案.‎ ‎（2）以O为原点，以OB，OC，OE为x,y,z轴建立空间直角坐标系，计算坐标得到平面的法向量，计算夹角得到答案.‎ ‎（3）假设存在，设，计算得到，所以不存在.‎ ‎【详解】（1）证明：连接AC与BD，设交点为O，连接FO，‎ 由已知E，O分别为PC，AC中点，可得EO//PA,‎ 又因为平面ABCD，‎ 所以平面ABCD，平面BDE 所以平面BDE⊥平面ABCD.‎ ‎（2）以O为原点，以OB，OC，OE为x,y,z轴建立空间直角坐标系 设AB=a，因为底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，，则AC=a，‎ ‎，，，，，，‎ 则，.‎ 设平面BFD的法向量为，‎ 则有，即，即 令，则 又由（1）可知为平面BDE的法向量，‎ 所以二面角E—BD—F的大小为 ‎（3）因为点M在PB(端点除外)上，设，‎ 则，，‎ 所以CM与平面BDF不平行.‎ ‎【点睛】本题考查了面面垂直，二面角和线面平行，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎19.设函数．‎ ‎（1）当b=0时，求函数的极小值；‎ ‎（2）若已知b>1且函数与直线y=-x相切，求b的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，函数与直线y=-x+m有三个公共点，求m的取值范围.(直接写出答案)‎ ‎【答案】（1）（2）b=3（3）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）求导得到函数的单调区间，再计算极小值.‎ ‎（2）设切点是()，求导，根据条件得到计算得到答案.‎ ‎（3）化简得到，设，画出函数图象得到答案.‎ ‎【详解】（1）当b=0时，则，由得，‎ 当或时，；当时，，‎ 则当时，f(x)取得极小值 ‎（2）因，则 设函数与直线y=-x相切的切点是()，‎ 因为，所以，‎ 所以有 又，相减得，‎ 所以，所以，解得b=3.‎ ‎（3）‎ 设，‎ 在上单调递增；在单调递减.‎ 极大值，极小值，画出函数图象：‎ 根据图象得到答案：.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性，切线问题，零点，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）求函数的零点个数；‎ ‎（3）当时，求证不等式解集为空集.‎ ‎【答案】（1）的单调增区间为，单调减区间为（2）在上只有一个零点（3）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导得到，计算得到答案.‎ ‎（2）求导得到，分类讨论，和三种情况得到答案.‎ ‎（3）原题等价于恒成立，求导得到函数的单调区间，计算最小值得到证明.‎ ‎【详解】（1）的定义域为.‎ 令，得 当时，有，所以在上单调递增.‎ 当时，有，所以上单调递减.‎ 综上所述：的单调增区间为，单调减区间为 ‎（2）函数，‎ 令，解得 ‎， ‎ 当时，在上递减，有.所以.‎ 所以有一个零点.‎ 当时，在上递增，所以有一个零点.‎ 当时，在上递增，在上递减，在上递增.‎ 此时，所以有一个零点.‎ 综上所述：在上只有一个零点.‎ ‎（3）当时，不等式解集为空集,等价于在定义域内恒成立.‎ 即在定义域内恒成立.‎ 令.‎ ‎，令，得 列表得 ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ 递减 最小值 递增 因为，所以.‎ 又，所以 所以恒成立.所以不等式解集为空集 ‎【点睛】本题考查了单调区间，零点个数，不等式恒成立，将不等式恒成立问题通过构造转化为函数的最值问题是解题的关键.‎