2018届二轮复习坐标系与参数方程学案文（全国通用）

2018届二轮复习坐标系与参数方程学案文（全国通用）

第 1 讲　坐标系与参数方程 高考定位　高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程 与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通 方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识. 真 题 感 悟 1.(2017·全国Ⅱ卷)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系，曲线 C1 的极坐标方程为 ρcos θ＝4. (1)设点 M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且|OM|·|OP|＝16，求点 P 的轨迹 C2 的直 角坐标方程； (2)设点 A 的极坐标为(2， π 3 )，点 B 在曲线 C2 上，求△OAB 面积的最大值. 解　(1)设 P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0). 由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝ 4 cos θ. 由|OM|·|OP|＝16 得 C2 的极坐标方程为 ρ＝4cos θ(ρ>0). 因此 C2 的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0). (2)设点 B 的极坐标为(ρB，α)(ρB>0). 由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB 的面积 S＝ 1 2|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·|sin(α－ π 3 )| ＝2|sin(2α－ π 3 )－ 3 2 |≤2＋ 3. 当 α＝－ π 12时，S 取得最大值 2＋ 3. 所以△OAB 面积的最大值为 2＋ 3. 2.(2017·全国Ⅰ卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为{x＝3cos θ， y＝sin θ (θ 为参数)， 直线 l 的参数方程为{x＝a＋4t， y＝1－t (t 为参数). (1)若 a＝－1，求 C 与 l 的交点坐标； (2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17，求 a. 解　(1)a＝－1 时，直线 l 的普通方程为 x＋4y－3＝0. 曲线 C 的标准方程是 x2 9 ＋y2＝1， 联立方程{x＋4y－3＝0， x2 9 ＋y2＝1， 解得{x＝3， y＝0 或{x＝－ 21 25， y＝ 24 25. 则 C 与 l 交点坐标是(3，0)和(－ 21 25， 24 25). (2)直线 l 的普通方程是 x＋4y－4－a＝0. 设曲线 C 上点 P(3cos θ，sin θ). 则 P 到 l 距离 d＝ |3cos θ＋4sin θ－4－a| 17 ＝ |5sin（θ＋φ）－4－a| 17 ， 其中 tan φ＝ 3 4. 又点 C 到直线 l 距离的最大值为 17. ∴|5sin(θ＋φ)－4－a|的最大值为 17. 若 a≥0，则－5－4－a＝－17，∴a＝8. 若 a<0，则 5－4－a＝17，∴a＝－16. 综上，实数 a 的值为 a＝－16 或 a＝8. 考 点 整 合 1.直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设 M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则{x＝ρcos θ， y＝ρsin θ， {ρ2＝x2＋y2， tan θ＝ y x（x ≠ 0）. 2.直线的极坐标方程 若直线过点 M(ρ0 ，θ0)，且极轴到此直线的角为 α，则它的方程为 ρsin(θ－α)＝ ρ0sin(θ0－α). 几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝α； (2)直线过点 M(a，0)(a>0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a； (3)直线过 M (b， π 2 )且平行于极轴：ρsin θ＝b. 3.圆的极坐标方程 几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为 r：ρ＝r； (2)当圆心位于 M(r，0)，半径为 r：ρ＝2rcos θ； (3)当圆心位于 M(r， π 2 )，半径为 r：ρ＝2rsin θ. 4.直线的参数方程 经过点 P0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线的参数方程为{x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α (t 为参数). 设 P 是直线上的任一点，则 t 表示有向线段 P 0P → 的数量. 5.圆、椭圆的参数方程 (1)圆心在点 M(x0 ，y0)，半径为 r 的圆的参数方程为{x＝x0＋rcos θ， y＝y0＋rsin θ (θ 为参数， 0≤θ≤2π). (2)椭圆 x2 a2＋ y2 b2＝1 的参数方程为{x＝acos θ， y＝bsin θ (θ 为参数). 热点一　曲线的极坐标方程 【例 1】　(2015·全国Ⅰ卷)在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x＝－2，圆 C2：(x－1)2＋(y－2)2 ＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 C1，C2 的极坐标方程； (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝ π 4 (ρ∈R)，设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求△C2MN 的面积. 解　(1)因为 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 所以 C1 的极坐标方程为 ρcos θ＝－2， C2 的极坐标方程为 ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将 θ＝ π 4 代入 ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0， 得 ρ2－3 2ρ＋4＝0，解得 ρ1＝2 2，ρ2＝ 2. 故 ρ1－ρ2＝ 2，即|MN|＝ 2. 由于 C2 的半径为 1，所以△C2MN 的面积为 1 2. 【迁移探究 1】　本例条件不变，求直线 C1 与曲线 C3 交点的极坐标. 解　联立方程{ρcos θ＝－2， θ＝ π 4 ， 解之得 θ＝ π 4 且 ρ＝－2 2. 所以直线 C1 与曲线 C3 交点的极坐标为(－2 2， π 4 ). 【迁移探究 2】　本例条件不变，求圆 C2 关于极点的对称圆的方程. 解　∵点(ρ，θ)与点(－ρ，θ)关于极点对称，设点(ρ，θ)为对称圆上任意一点，则(－ ρ，θ)在圆 C2 上， ∴(－ρ)2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0， 故所求圆 C2 关于极点的对称圆方程为 ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0. 探究提高　1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x＝ρcos θ，y＝ ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝ y x(x≠0)，要注意 ρ，θ 的取值范围及其影响，灵活运用代 入法和平方法等技巧. 2.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为 直角坐标方程，然后求解. 【训练 1】　(2017·北京东城区调研)在极坐标系中，已知极坐标方程 C1：ρcos θ－ 3 ρsin θ－1＝0，C2：ρ＝2cos θ. (1)求曲线 C1，C2 的直角坐标方程，并判断两曲线的形状； (2)若曲线 C1，C2 交于 A，B 两点，求两点间的距离. 解　(1)由 C1：ρcos θ－ 3ρsin θ－1＝0， ∴x－ 3y－1＝0，表示一条直线. 由 C2：ρ＝2cos θ，得 ρ2＝2ρcos θ. ∴x2＋y2＝2x，则(x－1)2＋y2＝1， ∴C2 是圆心为(1，0)，半径 r＝1 的圆. (2)由(1)知，点(1，0)在直线 x－ 3y－1＝0 上，因此直线 C1 过圆 C2 的圆心. ∴两交点 A，B 的连线段是圆 C2 的直径，因此两交点 A，B 间的距离|AB|＝2r＝2. 热点二　参数方程及其应用 【例 2】　(2014·全国Ⅰ卷)已知曲线 C： x2 4 ＋ y2 9 ＝1，直线 l：{x＝2＋t， y＝2－2t (t 为参数). (1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程； (2)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点 A，求|PA|的最大值与最小值. 解　(1)曲线 C 的参数方程为{x＝2cos θ， y＝3sin θ (θ 为参数). 直线 l 的普通方程为 2x＋y－6＝0. (2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ，3sin θ)到 l 的距离为 d＝ 5 5 |4cos θ＋3sin θ－6|. 则|PA|＝ d sin 30°＝ 2 5 5 |5sin(θ＋α)－6|，其中 α 为锐角，且 tan α＝ 4 3. 当 sin(θ＋α)＝－1 时，|PA|取得最大值，最大值为 22 5 5 ； 当 sin(θ＋α)＝1 时，|PA|取得最小值，最小值为 2 5 5 . 探究提高　1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入 消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件. 2.在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求 取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解. 【 训 练 2 】 　 (2017· 郴 州 三 模 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 曲 线 C 的 参 数 方 程 为 {x＝2cos θ， y＝2＋2sin θ(θ 为参数)，直线 l 的参数方程为{x＝1－ 2 2 t， y＝ 2 2 t (t 为参数).以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)写出直线 l 的普通方程以及曲线 C 的极坐标方程； (2)若直线 l 与曲线 C 的两个交点分别为 M，N，直线 l 与 x 轴的交点为 P，求|PM|·|PN|的值. 解　(1)直线 l 的参数方程为{x＝1－ 2 2 t， y＝ 2 2 t (t 为参数)， 消去参数 t，得 x＋y－1＝0. 曲线 C 的参数方程为{x＝2cos θ， y＝2＋2sin θ(θ 为参数)， 利用平方关系，得 x2＋(y－2)2＝4，则 x2＋y2－4y＝0. 令 ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ，代入得 C 的极坐标方程为 ρ＝4sin θ. (2)在直线 x＋y－1＝0 中，令 y＝0，得点 P(1，0). 把直线 l 的参数方程代入圆 C 的方程得 t2－3 2t＋1＝0， ∴t1＋t2＝3 2，t1t2＝1. 由直线参数方程的几何意义，|PM|·|PN|＝|t1·t2|＝1. 热点三　极坐标与参数方程的综合应用 【例 3】　(2016·全国Ⅲ卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为{x＝ 3cos α， y＝sin α (α 为参数)，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标 方程为 ρsin(θ＋ π 4 )＝2 2. (1)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程； (2)设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标. 解　(1)C1 的普通方程为 x2 3 ＋y2＝1，曲线 C2 的直角坐标方程为 x＋y－4＝0. (2)由题意，可设点 P 的直角坐标为( 3cos α，sin α). 因为 C2 是直线，所以|PQ|的最小值即为 P 到 C2 的距离 d(α)的最小值. 又 d(α) ＝ | 3cos α＋sin α－4| 2 ＝ 2|sin(α＋ π 3 )－2|， 当 且 仅 当 α ＝ 2kπ ＋ π 6 (k∈Z)时，d(α)取得最小值， 最小值为 2，此时点 P 的直角坐标为(3 2， 1 2 ). 探究提高　1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和 直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程. 2.数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用 ρ 和 θ 的几何意义， 直接求解，能达到化繁为简的解题目的. 【训练 3】　(2017·哈尔滨模拟)已知曲线 C 的参数方程为{x＝2＋2cos θ， y＝2sin θ (θ 为参数)， 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρsin (θ＋ π 6 )＝4. (1)写出曲线 C 的极坐标方程和直线 l 的普通方程； (2)若射线 θ＝ π 3 与曲线 C 交于 O，A 两点，与直线 l 交于 B 点，射线 θ＝ 11π 6 与曲线 C 交于 O，P 两点，求△PAB 的面积. 解　(1)由{x＝2＋2cos θ， y＝2sin θ (θ 为参数)，消去 θ. 普通方程为(x－2)2＋y2＝4. 从而曲线 C 的极坐标方程为 ρ2－4ρcos θ＝0，即 ρ＝4cos θ， 因为直线 l 的极坐标方程为 ρsin(θ＋ π 6 )＝4，即 3 2 ρsin θ＋ 1 2ρcos θ＝4， ∴直线 l 的直角坐标方程为 x＋ 3y－8＝0. (2)依题意，A，B 两点的极坐标分别为(2， π 3 )，(4， π 3 )， 联立射线 θ＝ 11π 6 与曲线 C 的极坐标方程得 P 点极坐标为(2 3， 11π 6 )， ∴|AB|＝2， ∴S△PAB＝ 1 2×2×2 3sin(π 3 ＋ π 6 )＝2 3. 1.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决， 或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决. 2.要熟悉常见曲线的参数方程、极坐标方程，如：圆、椭圆、及过一点的直线，在研究直线 与它们的位置关系时常用的技巧是转化为普通方程解答. 3.过定点 P0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线参数方程的标准形式为{x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α (t 为参 数)，t 的几何意义是 P 0P → 的数量，即|t|表示 P0 到 P 的距离，t 有正负之分.使用该式时直线 上任意两点 P1，P2 对应的参数分别为 t1，t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2 的中点对应的参数为 1 2 (t1＋t2). 1.(2017·江苏卷)在平面坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为{x＝－8＋t， y＝ t 2 (t 为参数)， 曲线 C 的参数方程为{x＝2s2， y＝2 2s(s 为参数).设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的 最小值. 解　由{x＝－8＋t， y＝ t 2 消去 t. 得 l 的普通方程为 x－2y＋8＝0， 因为点 P 在曲线 C 上，设点 P(2s2，2 2s). 则点 P 到直线 l 的距离 d＝ |2s2－4 2s＋8| 5 ＝ 2（s－ 2）2＋4 5 ， ∴当 s＝ 2时，d 有最小值 4 5＝ 4 5 5 . 2.(2017·贵阳调研)以直角坐标系中的原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知 曲线的极坐标方程为 ρ＝ 2 1－sin θ. (1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)过极点 O 作直线 l 交曲线于点 P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直线 l 的极坐标方程. 解　(1)∵ρ＝ x2＋y2，ρsin θ＝y， ∴ρ＝ 2 1－sin θ化为ρ－ρsin θ＝2， ∴曲线的直角坐标方程为 x2＝4y＋4. (2)设直线 l 的极坐标方程为 θ＝θ0(ρ∈R)， 根 据 题意 ， 不 妨 设 P(θ0 ，ρ0) ， 则 Q(θ＋ π ，ρ1) ， 且 ρ0 ＝ 3ρ1 ， 即 2 1－sin θ0＝ 3· 2 1－sin（θ0＋π），解得 θ0＝ π 6 或 θ0＝ 5π 6 ， 直线 l 的极坐标方程θ＝ π 6 (ρ∈R)或 θ＝ 5π 6 (ρ∈R). 3.(2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的参数方程为{x＝2＋t， y＝kt (t 为参数)，直 线 l2 的参数方程为{x＝－2＋m， y＝ m k (m 为参数).设 l1 与 l2 的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为 曲线 C. (1)写出 C 的普通方程； (2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3：ρ(cos θ＋sin θ)－ 2＝ 0，M 为与 C 的交点，求 M 的极径. 解　(1)由 l1：{x＝2＋t， y＝kt (t 为参数)消去 t， 化为 l1 的普通方程 y＝k(x－2)，① 同理得直线 l2 的普通方程为 x＋2＝ky，② 联立①，②消去 k，得 x2－y2＝4(y≠0). 所以 C 的普通方程为 x2－y2＝4(y≠0). (2)将直线 l3 化为普通方程为 x＋y＝ 2， 联立{x＋y＝ 2， x2－y2＝4 得{x＝ 3 2 2 ， y＝－ 2 2 ， ∴ρ2＝x2＋y2＝ 18 4 ＋ 2 4＝5，∴与 C 的交点 M 的极径为 5. 4.(2017·新乡三模)以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的 极坐标方程为 ρ＝4cos θ，曲线 M 的直角坐标方程为 x－2y＋2＝0(x>0). (1)以曲线 M 上的点与点 O 连线的斜率 k 为参数，写出曲线 M 的参数方程； (2)设曲线 C 与曲线 M 的两个交点为 A，B，求直线 OA 与直线 OB 的斜率之和. 解　(1)由{x－2y＋2＝0（x > 0）， y＝kx 得{x＝ 2 2k－1， y＝ 2k 2k－1. 故曲线 M 的参数方程为{x＝ 2 2k－1， y＝ 2k 2k－1 (k为参数，且k > 1 2). (2)由 ρ＝4cos θ，得 ρ2＝4ρcos θ，∴x2＋y2＝4x. 将{x＝ 2 2k－1， y＝ 2k 2k－1 代入 x2＋y2＝4x 整理得 k2－4k＋3＝0， ∴k1＋k2＝4. 故直线 OA 与直线 OB 的斜率之和为 4. 5.(2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为{x＝acos t， y＝1＋asin t(t 为参数， a>0).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ＝4cos θ. (1)说明 C1 是哪一种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程； (2)直线 C3 的极坐标方程为 θ＝α0，其中 α0 满足 tan α0＝2，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求 a. 解　(1)消去参数 t 得到 C1 的普通方程 x2＋(y－1)2＝a2，C1 是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆. 将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 C1 的普通方程中， 得到 C1 的极坐标方程为 ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0. (2)曲线 C1，C2 的公共点的极坐标满足方程组 {ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0， ρ＝4cos θ. 若 ρ≠0，由方程组得 16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0， 由已知 tan θ＝2，可得 16cos2θ－8sin θcos θ＝0， 从而 1－a2＝0，解得 a＝－1(舍去)，a＝1. a＝1 时，极点也为 C1，C2 的公共点，在 C3 上. 所以 a＝1. 6.(2017·乐山二模)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为{x＝1＋tcos θ， y＝tsin θ (t 为 参数，0≤θ<π)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标 方程为 ρ＝－4cos α，圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 3 2. (1)求 θ 的值； (2)已知 P(1，0)，若直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，求 1 |PA|＋ 1 |PB|的值. 解　(1)由直线 l 的参数方程为{x＝1＋tcos θ， y＝tsin θ (t 为参数，0≤θ<π)，消去参数 t，得 xsin θ－ycos θ－sin θ＝0. 圆 C 的极坐标方程为 ρ＝－4cos α，即 ρ2＝－4ρcos α. 可得圆 C 的普通坐标方程为 x2＋y2＋4x＝0， 可知圆心为(－2，0)，圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 d＝ |－2sin θ－sin θ| sin2θ＋cos2θ ＝3sin θ. 由题意：d＝ 3 2，即 3sin θ＝ 3 2，则 sin θ＝ 1 2， ∵0≤θ<π， ∴θ＝ π 6 或 θ＝ 5π 6 . (2)已知 P(1，0)，点 P 在直线 l 上，直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，将{x＝1＋tcos θ， y＝tsin θ 代 入圆 C 的普通坐标方程 x2＋y2＋4x＝0， 得(1＋tcos θ)2＋(tsin θ)2＋4(1＋tcos θ)＝0， ∴t2＋6tcos θ＋5＝0. 设 A，B 对应参数为 t1，t2，则 t1＋t2＝－6cos θ，t1·t2＝5， ∵t1·t2>0，t1，t2 是同号. ∴ 1 |PA|＋ 1 |PB|＝ 1 |t1|＋ 1 |t2|＝ |t1|＋|t2| |t1t2| ＝ |t1＋t2| |t1t2| ＝ 3 3 5 .