湖南省益阳市湘潭市2020届高三上学期9月教学质量统测数学（文）试题

湖南省益阳市湘潭市2020届高三上学期9月教学质量统测数学（文）试题

益阳市、湘潭市2020届高三9月教学质量检测 文科数学 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置；‎ ‎2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效；‎ ‎3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。‎ ‎1.设集合，，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简集合，再由交集的概念，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为，，‎ 所以.‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记概念即可，属于基础题型.‎ ‎2.‎ A. -1 B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的除法运算，可直接得出结果.‎ 详解】.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查复数的除法运算，熟记除法运算法则即可，属于基础题型.‎ ‎3.在等比数列中，，则其公比为 A. B. C. 2 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列的性质，结合题中条件，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为在等比数列中，，‎ 所以，解得.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查等比数列的基本量的运算，熟记等比数列的性质即可，属于基础题型.‎ ‎4.已知（为第二象限角），则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意求出，再由两角差的余弦公式，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为为第二象限角，，所以，‎ 因此.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查三角恒等变换，给值求值的问题，熟记两角差的余弦公式即可，属于常考题型.‎ ‎5.在正方体中，下列几种说法正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. 与成角 D. 与成角 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：直线与是异面直线，而∥，所以即为与所成的角．显然三角形是等边三角型，所以．故选D．同时可以判断其它选项是错误的．‎ 考点：异面直线所成角及其是否垂直的问题．‎ ‎6.根据如下样本数据得到的回归直线方程为，则 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎4.5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2.5‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线性回归直线的函数特征，结合题中数据，即可判断出结果.‎ ‎【详解】由表中数据可得，随着的增大，越来越小，所以；‎ 又时，，所以当时，必有.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查回归直线的函数特征，熟记回归直线的意义即可，属于常考题型.‎ ‎7.执行如图所示的程序框图，当时，则输出的值是 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图，逐步执行，即可得出结果.‎ ‎【详解】执行程序框图如下：‎ 输入：，‎ 初始值：，‎ 第一步：，进入循环体，，；‎ 第二步：，进入循环体，，；‎ 第三步：，进入循环体，，；‎ 第四步：，进入循环体，，；‎ 第五步：，结束循环，输出；‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查循环程序框图输出的结果，逐步执行框图，即可得出结果.‎ ‎8.函数的部分图象大致是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由奇偶性的定义，判断为偶函数，排除CD，再由特殊值验证，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 所以为偶函数，排除CD；‎ 又，，‎ 所以 所以，排除B 故选A ‎【点睛】本题主要考查函数图像的识别，熟记函数奇偶性，以及特殊值的方法判断即可，属于常考题型.‎ ‎9.将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数 的图像，则的单调递减区间是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将化为，根据题意得到，再由正弦函数的增区间，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为，将其图像向左平移个单位长度，得到，‎ 由，得，‎ 所以的单调递减区间是 故选B ‎【点睛】本题主要考查三角函数的单调区间，熟记三角函数的平移原则，以及正弦函数的单调性即可，属于常考题型.‎ ‎10.在平行四边形中，为的中点，为的中点，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由为的中点，得到 ‎，再由为的中点，结合平面向量基本定理，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为为的中点，‎ 所以，‎ 又在平行四边形中，为的中点，‎ 所以.‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查用基底表示向量，熟记平面向量的基本定理即可，属于常考题型.‎ ‎11.设，若有三个不同的实数根，则实数的取值范围是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先作出函数的图像，有三个不同的实数根，化为函数与直线有三个交点，结合图像，即可得出结果.‎ ‎【详解】作出函数图像如下：‎ 又有三个不同的实数根，‎ 所以函数与直线有三个交点，‎ 由图像可得：.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查根据函数零点的个数求参数的问题，熟记指数函数与对数函数的性质，利用数形结合的思想，即可求解，属于常考题型.‎ ‎12.已知点是双曲线右支上一点，分别是双曲线的左右焦点，为的内心，若，则双曲线的离心率为 A. 6 B. C. D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设圆与的三边，，相切于点，，，连接，，，用内切圆半径表示出，，的面积，再由，结合双曲线的定义，即可得出结果.‎ ‎【详解】如图，设圆与的三边，，相切于点，，，连接，，，则，，，它们分别是，，的高，‎ 所以，，，其中为的内切圆半径；‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 由双曲线的定义可得：，‎ 因此双曲线的离心率为.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.已知函数，则函数的图像在点处的切线方程为________.‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数求导，根据题意求出切线斜率，进而可得切线方程.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 所以函数的图像在点处的切线斜率为，‎ 又，‎ 因此，函数的图像在点处的切线方程为，‎ 即.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查函数在某点处的切线方程，熟记导数的几何意义即可，属于基础题型.‎ ‎14.若满足条件，则的最小值为________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件作出可行域，化目标函数为，结合图像，即可得出结果.‎ ‎【详解】由约束条件作出可行域如下：‎ 又目标函数可化为，显然当直线过点A时，截距最小，目标函数取最小值．‎ 由题意，易得，‎ 所以.‎ 故答案为1‎ ‎【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，通常需要由约束条件作出可行域，化目标函数为一次函数的形式，结合图像即可求解，属于常考题型.‎ ‎15.在中，角对边分别为，若，且,，则的面积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题中条件求出，根据余弦定理求出，再由三角形面积公式，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 因此，又,，‎ 由余弦定理可得：，‎ 即，解得，‎ 因此三角形为直角三角形，所以.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.‎ ‎16.已知三棱锥满足，则该三棱锥体积的最大值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取中点，连接，，先由题意得到平面平面时，棱锥的高最大，等于，此时体积也最大；得到，设，得到，令，设，用导数的方法求出其最大值，进而可求出结果.‎ ‎【详解】取中点，连接，，因为，‎ 所以，，且，‎ 由题意可得，当平面平面时，棱锥的高最大，等于，此时体积也最大；‎ 所以此时该三棱锥体积为 ‎，‎ 设，则，‎ 所以，‎ 令，因为，所以，‎ 设，，‎ 则，由得；‎ 由得；‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减；‎ 所以，‎ 因此三棱锥体积的最大值为.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查导数的方法求几何体体积的最值问题，熟记导数的方法，以及空间几何体的结构特征即可，属于常考题型.‎ 三.解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17-21为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17.为了了解某校学生课外时间的分配情况，拟采用分层抽样的方法从该校的高一、高二、高三这三个年级中共抽取5个班进行调查，已知该校的高一、高二、高三这三个年级分别有18、6、6个班级.‎ ‎（Ⅰ）求分别从高一、高二、高三这三个年级中抽取班级个数；‎ ‎（Ⅱ）若从抽取的5个班级中随机抽取2个班级进行调查结果的对比，求这2个班级中至少有1个班级来自高一年级的概率．‎ ‎【答案】（1）高一、高二、高三这三个年级中分别抽取的班级个数为3，1，1（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据分层抽样的方法，先确定抽样比，进而可得出结果；‎ ‎（2）先设在高一年级中抽取的3个班级，为在高二年级中抽取的班级，为在高三年级中抽取的班级，分别用列举法列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，进而可求出结果.‎ ‎【详解】（1）解：班级总数为，样本容量与总体中的个体数比为，‎ 所以从高一、高二、高三这三个年级中分别抽取的班级个数为3，1，1‎ ‎（2）设在高一年级中抽取的3个班级，为在高二年级中抽取的班级，为在高三年级中抽取的班级，从这5个班级中随机抽取2个，全部的可能结果有10种（，，，，，，，，，），‎ 随机抽取的2个班级中至少有1个班级来自高一年级的结果一共有9种（，，，，，，，，）.‎ 所以这2个班级中至少有1个班级来自高一年级的概率为．‎ ‎【点睛】本题主要考查分层抽样，以及古典概型问题，熟记分层抽样的方法，以及列举法求古典概型的概率即可，属于常考题型.‎ ‎18.已知等差数列的前项和为，若 ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设等差数列的首项为，公差为，根据题中条件，求出首项与公差，即可得出结果；‎ ‎（2）由（1）的结果，得到，用裂项相消法，即可求出结果.‎ ‎【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为.‎ 由得，由得 所以 所以的通项公式为 ‎（2）由（1）知，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，以及裂项相消法求数列的和，熟记公式即可，属于常考题型.‎ ‎19.如图，在三棱柱中，是等边三角形，平面是的中点，是的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面；‎ ‎（3）若，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取的中点为，连接，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；‎ ‎（2）先由线面垂直的判定定理，证明面，进而可得面面垂直；‎ ‎（3）先由题中条件求出到平面的距离，再由三棱锥体积公式，即可得出结果.‎ ‎【详解】（1）取的中点为，连接，‎ 因为分别为的中点，‎ 所以，且，‎ 所以且，则四边形为平行四边形，‎ 所以，‎ 又面，面，‎ 所以面；‎ ‎（2）因为平面，面，所以，‎ 又为正三角形，为的中点，所以，‎ 又，‎ 所以面，又，‎ 所以面，‎ 又面，‎ 所以平面平面.‎ ‎（3）由，得，‎ ‎，又，‎ ‎，即到平面的距离为，得 ‎,‎ 故三棱锥的体积为.‎ ‎【点睛】本题主要考查线面平行，面面垂直的证明，以及三棱锥的体积，熟记判定定理，以及棱锥的体积公式即可，属于常考题型.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间，‎ ‎（2）当时，恒成立，求实数的取值范围 ‎【答案】（1）函数增区间为，单调减区间为（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先由得到，对求导，解对应的不等式，即可求出单调区间；‎ ‎（2）先由题意得到，令，用导数的方法求出其最大值，即可得出结果.‎ ‎【详解】（1）当时，‎ 由，或 故函数的增区间为，单调减区间为 ‎（2）当时，由得，‎ 令，则，‎ 令，则，‎ 因为，所以，‎ 在区间上为减函数，‎ ‎，即，‎ 在区间上为减函数，‎ ‎，‎ 故实数的取值范围为 ‎【点睛】本题主要考查导数的应用，用导数的方法求单调区间，以及由不等式恒成立求参数的问题，利用导数的方法研究函数的单调性，最值等即可，属于常考题型.‎ ‎21.已知椭圆的右焦点为，离心率为．‎ ‎（1）求椭圆标准方程；‎ ‎（2）是椭圆上不同的三点，若直线的斜率之积为，试问从两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）两点的横坐标之和为0，详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先由题中条件，得到，再由离心率求出，得到，进而可得椭圆方程；‎ ‎（2）设三点坐标分别为，直线的斜率分别为，得到直线的方程为：，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理表示出与，再结合，即可得到结果.‎ ‎【详解】（1）由椭圆的右焦点得，‎ 又离心率得，‎ 所以椭圆的标准方程为：‎ ‎（2）两点的横坐标之和为0，理由如下 设三点坐标分别为，直线的斜率分别为，‎ 则直线的方程为：，‎ 由方程组，消去得：‎ ‎，‎ ‎，‎ 故，同理可得：，‎ 又，即，‎ 从而，‎ 即两点的横坐标之和为常数零 ‎【点睛】本题主要考查椭圆的方程，以及椭圆中的定值问题，熟记椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做第一个题目计分。‎ ‎22.在平面直角坐标系中，曲线（为参数），以坐标原点 为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点是曲线上的点，点是曲线上的点，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据极坐标方程与直角坐标方程的互化，即可得出结果；‎ ‎（2）先由题意设，根据点到直线距离公式得到点到直线的距离为：，再由，即可求出结果.‎ ‎【详解】解：（1）由得：，‎ 将，代入得曲线，的直角坐标方程为：‎ ‎（2）由题意，可设，由点到直线的距离公式可得：‎ 点到直线的距离为：‎ 由题意可得：，即 所以，的最小值为2.‎ ‎【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及参数的方法求出距离最值的问题，熟记极坐标与直角坐标的互化公式，以及曲线的参数方程即可，属于常考题型.‎ ‎23.选修4－5：不等式选讲:已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 代入m的值，得到关于x的不等式组，解出即可；‎ 问题转化为恒成立，当时，，令，求出的最大值，求出m的范围即可．‎ ‎【详解】解：当时，，‎ 由，‎ 得或或，‎ 解得：或，‎ 故不等式的解集是；‎ 当时，，‎ 恒成立，‎ 即恒成立，‎ 整理得：，‎ 当时，成立，‎ 当时，，‎ 令，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故，‎ 故 ‎【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道常规题．‎ ‎ ‎