2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第四章 第1节 任意角与弧度制、三角函数的概念
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多维层次练21
[A级 基础巩固]
1．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：设角α的终边上点(－4，3)到原点O的距离为r，
则r＝＝5，
所以由余弦函数的定义，得cos α＝＝－.
答案：D
2．(多选题)已知α是第一象限角，则下列结论中正确的是( )
A．sin 2α>0 B．cos 2α>0
C．cos >0 D．tan >0
解析：由于2kπ<α<2kπ＋，k∈Z，
所以4kπ<2α<4kπ＋π，kπ<
0，tan >0，cos 2α与cos 符号不定．
答案：AD
3．(2020·青岛质量检测)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P，则sin(π＋α)＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：易知sin ＝，cos ＝，则点P.
由三角函数的定义可得sin α＝＝，
则sin(π＋α)＝－sin α＝－.
答案：B
4．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：设扇形的半径为R，则×4×R2＝2，
所以R＝1，弧长l＝4，所以扇形的周长为l＋2R＝6.
答案：C
5．若sin θ·cos θ>0，sin θ＋cos θ<0，则θ在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：因为sin θ·cos θ>0，且sin θ＋cos θ<0，
所以sin θ<0，cos θ<0，θ为第三象限角．
答案：C
6．(2020·唐山第二次模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A(2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：由三角函数定义，得tan α＝，
所以＝，则2(1－cos2α)＝3cos α，
所以(2cos α－1)(cos α＋2)＝0，则cos α＝.
答案：A
7．(多选题)给出下列四个命题：
①－是第二象限角；②为第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．
其中真命题是( )
A．① B．②
C．③ D．④
解析：－是第三象限角，故①错误；＝π＋，从而是第三象限角，②正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．
答案：BCD
8.(一题多解)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中“方田”章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为
，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )
A．6平方米 B．9平方米
C．12平方米 D．15平方米
解析：法一 如图，由题意可得∠AOB＝，OA＝4，在Rt△AOD中，可得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×4＝2，于是矢＝4－2＝2.
AD＝AO·sin ＝4×＝2.弦AB＝2AD＝4.
所以弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22)＝4＋2≈9(平方米)．
法二 由已知，可得扇形的面积S1＝r2θ＝×42×＝，△AOB的面积S2＝×OA×OB×sin ∠AOB＝×4×4×sin ＝4.
故弧田的面积S＝S1－S2＝－4≈9(平方米)．
答案：B
9．若钝角α的终边与单位圆交点的纵坐标是，则α的弧度数是________，tan α＝________．
解析：由三角函数定义知sin α＝，
又α为钝角，知α＝，
所以tan α＝tan ＝－.
答案： －
10．若角α的终边与直线y＝3x重合，且sin α<0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝________．
解析：由已知tan α＝3，所以n＝3m，
又m2＋n2＝10，所以m2＝1.
又sin α<0，所以m＝－1，n＝－3.故m－n＝2.
答案：2
11．已知角α的终边上一点P的坐标为，则角α的最小正值为________．
解析：由题意知点P在第四象限，且cos α＝sin ＝.
所以α＝2kπ－(k∈Z)，则α的最小正值为.
答案：
12．已知角α的终边经过点(，)，若α＝，则m的值为________．
解析：因为tan ＝＝m－＝，所以m－1＝33＝27，
所以m＝.
答案：
[B级 能力提升]
13．设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α等于( )
A. B.
C．－ D．－
解析：因为α是第二象限角，所以cos α＝x＜0，
即x＜0.又cos α＝x＝，
解得x＝－3，所以tan α＝＝－.
答案：D
14．(2020·怀化模拟)已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右，Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP(如图)，则阴影部分面积S1，S2的大小关系是( )
A．S1＝S2
B．S1≤S2
C．S1≥S2
D．先S1S2
解析：设圆O的半径为R.如图所示，
S扇形AOQ＝l·R＝l·OA，因为直线l与圆O相切，所以AP⊥AO，所以S△AOP＝AP·AO，
因为l＝AP，所以S扇形AOQ＝S△AOP，
所以S扇形AOQ－S扇形AOB＝S△AOP－S扇形AOB，即S1＝S2.
答案：A
15．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是________．
解析：因为cos α≤0，sin α>0，
所以角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．
所以解得－2
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