2018-2019学年河南省郑州市第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年河南省郑州市第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年河南省郑州市第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．下列说法错误的是（ ）‎ A．在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法 B．在残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好 C．线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点 D．在回归分析中，相关指数越大，模拟的效果越好 ‎【答案】C ‎【解析】对于A，统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，正确；对于B，残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好，正确；对于C，线性回归方程对应的直线过样本中心点，不一定过样本数据中的点，故C错误；对于D，回归分析中，相关指数R2越大，其模拟的效果就越好，正确．故选C.‎ ‎2．已知①正方形的对角线相等，②矩形的对角线相等，③正方形是矩形.由①、②、③组合成“三段论”,根据“三段论”推出一个结论，则此结论是（ ）‎ A．正方形的对角线相等 B．平行四边形的对角线相等 C．正方形是平行四边形 D．以上均不正确 ‎【答案】A ‎【解析】根据三段论进行推理判断.‎ ‎【详解】‎ 大前提：矩形的对角线相等，小前提：正方形是矩形，结论：正方形的对角线相等，‎ 所以选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三段论，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎3．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于”时，反设正确的是（ ）‎ A．假设三内角都不大于 B．假设三内角都大于 C．假设三内角至多有一个大于 D．假设三内角至多有两个大于 ‎【答案】B ‎【解析】分析：熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可．‎ 详解：∵用反证法证明在一个三角形中，至少有一个内角不大于60°， ∴第一步应假设结论不成立， 即假设三个内角都大于60°． 故选：B．‎ 点睛：此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．‎ ‎4．下列推理是类比推理的是（ ）‎ A．，为定点，动点满足，则点的轨迹为椭圆 B．由，，求出，，，猜想出数列的前项和的表达式 C．由圆的面积，猜想出椭圆的面积 D．以上均不正确 ‎【答案】B ‎【解析】A选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．‎ B选项根据前3个S1，S2，S3的值，猜想出Sn的表达式，属于归纳推理，符合要求．‎ C选项由圆x2+y2=r2的面积S=πr2，猜想出椭圆 的面积S=πab，用的是类比推理，不符合要求．‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的．在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．‎ ‎5．为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到等高条形图：‎ 根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是( )‎ A．药物A、B对该疾病均没有预防效果 B．药物A、B对该疾病均有显著的预防效果 C．药物A的预防效果优于药物B的预防效果 D．药物B的预防效果优于药物A的预防效果 ‎【答案】C ‎【解析】分析: 根据两个表中的等高条形图看药物A的预防效果优于药物B的预防效果．‎ 详解: 根据两个表中的等高条形图知，药物A实验显示不服药与服药时患病的差异较药物B实验显示明显大，所以药物A的预防效果优于药物B的预防效果．故答案为：C 点睛:本题主要考查等高条形图,意在考查学生对该知识的掌握水平.‎ ‎6．若，，，则实数（ ）‎ A． B．或 C．或 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据交集定义确定元素，再根据复数相等得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 因为为实数，所以，解得选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查交集以及复数相等，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎7．非零复数、分别对应复平面内的向量、，若，则( )‎ A． B． C． D．和共线 ‎【答案】A ‎【解析】根据复数加法几何意义以及向量的模的含义得结论.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以+|-|,以、为相邻边的平行四边形的对角线相等，即以、为相邻边的平行四边形为矩形，因此，选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数加法几何意义以及向量的模，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎8．已知命题,，命题,.则下列结论中正确的是（ ）‎ ‎①命题“”是真命题； ②命题“”是假命题；‎ ‎③命题“”是真命题； ④命题“”是假命题.‎ A．①④ B．②③ C．①③ D．②④‎ ‎【答案】B ‎【解析】先确定命题的真假，再判断复合命题的真假.‎ ‎【详解】‎ 因为, 所以命题为假；因为,所以命题为真，从而命题“”是假命题；命题“”是假命题；命题“”是真命题；命题“”是真命题.选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查判断复合命题的真假，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎9．已知下列等式：，，，，…， ，则推测（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据式子左右关系进行归纳，即得结果.‎ ‎【详解】‎ 由式子可得,‎ 因此,选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查归纳推理，考查基本分析归纳能力，属基础题.‎ ‎10．下列选项中不正确的是（ ）‎ A．中，，则的逆否命题为真命题；‎ B．若，则的逆命题为真命题；‎ C．若或，，则是充分不必要条件；‎ D．若：， ，则：，‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据四种命题关系、命题否定以及充要关系逐一判断.‎ ‎【详解】‎ 因为中，,所以其逆否命题为真命题;‎ 若，则的逆命题为若，则,当时不成立，所以B不正确；‎ 因为或，，所以且，，因此是的充分不必要条件，从而是充分不必要条件；‎ 若：， ，则：，，‎ 综上选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查判断命题真假、四种命题关系、命题否定以及充要关系判断，考查基本分析归纳能力，属基础题.‎ ‎11．在平面几何里，有勾股定理：“设的两边，互相垂直，则”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥的三个侧面、、两两相互垂直，则可得（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据类比规则进行合情推理.‎ ‎【详解】‎ 根据三角形对应三棱锥，边对应面，边长对应面积，即得，‎ 选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查类比推理，考查基本分析推理能力，属基础题.‎ ‎12．已知函数，.若，，使得，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】将任意存在性问题转化为对应函数最值问题，再根据指数函数以及二次函数性质求最值，即得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，，使得，所以,‎ 因为,所以,选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式任意存在性问题，考查等价转化思想方法与基本分析求解能力，属中档题.‎ 二、填空题 ‎13．如图所示，执行图中的程序框图，输出的值是_______.‎ ‎【答案】19‎ ‎【解析】确定循环次数，再求和得结果.‎ ‎【详解】‎ 执行两次循环，输出得 ‎【点睛】‎ 本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎14．下列四个命题中，正确命题的个数是___________.‎ ‎①比小 ‎②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数 ‎③的充要条件为 ‎④如果实数与对应，那么实数集与纯虚数集一一对应 ‎【答案】0‎ ‎【解析】根据复数相关概念逐一判断.‎ ‎【详解】‎ 比不可比较大小；‎ 两个复数互为共轭复数，则它们的和为实数，反之不成立，如2与3；‎ 当为实数时的充要条件为；‎ 因为当时所以实数集与纯虚数集不一一对应；‎ 综上无正确命题，即正确命题的个数是 ‎【点睛】‎ 本题考查复数相关概念，考查基本分析判断能力，属基本题.‎ ‎15．已知，经计算得 ，则对于任意有不等式________成立.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：根据观察、分析、归纳、猜想、验证的思路求解，可得对任意成立的不等式的一般形式．‎ 详解：由题意可得 第一个式子：，‎ 第二个式子：，‎ 第三个式子：，‎ 第四个式子：，‎ ‎……‎ 第个式子：．‎ ‎∴对于任意有不等式成立．‎ 点睛：常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：‎ ‎（1）数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．‎ ‎（2）形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．‎ ‎16．若， ， 且，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据三角函数有界性确定，，即得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为所以,‎ 因为，所以，‎ 即,‎ ‎,‎ 故当时取最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数有界性，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ 三、解答题 ‎17．集合 ， .‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）已知命题，命题，若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）先解不等式得集合A,求函数值域得集合B，再根据补集与交集定义求结果，（2）根据充要关系得A,B之间包含关系，结合数轴列不等式，解得结果.‎ ‎【详解】‎ 解：（1） ，‎ ‎ ,‎ ‎ ‎ ‎（2） ， ，‎ ‎ 是的充分不必要条件， ‎ 所以 ，解得 ，又及符合题意 ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解不等式、集合运算以及充要关系，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎18．设实部为正数的复数z满足，且(1+2i)z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上.‎ ‎（1）求复数z；‎ ‎（2）若为纯虚数 , 求m的值.‎ ‎【答案】（1）Z=3－i；（2）－5.‎ ‎【解析】（1）设z＝a+bi（a，b∈R且a＞0），由条件可得a2+b2＝10①，a＝﹣3b②．由①②联立的方程组得a、b的值，即可得到z的值．‎ ‎（2）根据若（m∈R）为纯虚数，可得，由此求得m的值．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设z＝a+bi（a，b∈R且a＞0），由得：a2+b2＝10①．‎ 又复数（1+2i）z＝（a﹣2b）+（2a+b）i在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，‎ 则a﹣2b＝2a+b，即a＝﹣3b②．‎ 由①②联立的方程组得a＝3，b＝﹣1；或a＝﹣3，b＝1．‎ ‎∵a＞0，∴a＝3，b＝﹣1，则z＝3﹣i．‎ ‎（2）∵ 为纯虚数，∴，‎ 解得m＝﹣5．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．‎ ‎19．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：‎ 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 ‎5‎ 女生 ‎10‎ 合计 ‎50‎ 已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为．‎ ‎（1）请将上面的列联表补充完整；‎ ‎（2）是否有99%的把握认为“喜爱打篮球与性别有关”？说明你的理由．‎ 参考公式：独立性检测中，随机变量，‎ 其中为样本容量 ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）见解析（2）有99%的把握 ‎【解析】（1）先根据条件求得篮球的总人数，再依次填表，（2）根据公式计算，再对照数据作判断.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为，所以喜爱打篮球的总人数为人，‎ 所以补充完整的列联表如下：‎ 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 ‎15‎ ‎5‎ ‎20‎ 女生 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ 合计 ‎25‎ ‎25‎ ‎50‎ ‎（2）根据列联表可得的观测值，‎ 所以有99%的把握认为“喜爱打篮球与性别有关”．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查卡方公式的计算，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎20．某公司近年来特别注重创新产品的研发，为了研究年研发经费(单位：万元)对年创新产品销售额(单位：十万元)的影响，对近10年的研发经费与年创新产品销售额（其中）的数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量的值.‎ 其中，，，，‎ ‎.现拟定关于的回归方程为.‎ ‎ （1）求，的值(结果精确到)；‎ ‎（2）根据拟定的回归方程,预测当研发经费为万元时,年创新产品销售额是多少？‎ 参考公式：‎ 求线性回归方程系数公式 ：，.‎ ‎【答案】（1）（2）155‎ ‎【解析】（1）先求均值，再代入公式求以及，（2）令得销售额.‎ ‎【详解】‎ 解：(1)令，则 由，，，‎ 得 ， ，‎ ‎ ， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(2)由(1)知,关于的回归方程为 当时， （十万元）（万元）‎ 故可预测当研发经费为13万元时,年创新产品销售额是155万元.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查回归直线方程及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎21．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图①、②、③、④为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第个图形包含个小正方形．‎ ‎（1）求出；‎ ‎（2）归纳出与的关系式，并根据你得到的关系式求的表达式；‎ ‎（3）求证：．‎ ‎【答案】（1）41（2） （3）见解析 ‎【解析】（1）根据相邻项规律求；（2）根据相邻项确定，再利用叠加法求的表达式；（3）先利用裂项相消法求不等式左边的和，再证不等式.‎ ‎【详解】‎ 解:（1）∵，，，，‎ ‎∴． ‎ ‎（2）∵，， ，‎ 由上式规律得出．‎ ‎∴，，‎ ‎，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又时，也适合，∴，‎ ‎（3） 当时，，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查叠加法求通项以及裂项相消法求和，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.‎ ‎22．以平面直角坐标系的坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系. 已知直线的参数方程为 （为参数），曲线的极坐标方程为 .‎ ‎(1)求曲线 的直角坐标方程； ‎ ‎(2)设直线与曲线相交于两点，求.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】【试题分析】（1）借助极坐标与直角坐标之间的互化关系进行求解；（2）先将直线的参数方程代入抛物线方程中，借助根与系数的关系及直线方程中的参数的几何意义求弦长：‎ 解：‎ ‎(1) 由，既 曲线的直角坐标方程为.‎ ‎(2) 的参数方程为代入，整理的，所以， ‎ ‎ 所以.‎ ‎23．设函数，.‎ ‎（1）求函数的最小值；‎ ‎（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）.（2）‎ ‎【解析】【试题分析】（１）直接依据三角不等式分析求解；（２）依据题设条件先将问题进行等价转化，再运用分类整合思想进行分析求解：‎ ‎（Ⅰ），当且仅当，‎ 即时，取等号，此时.‎ ‎（Ⅱ）对任意的，不等式恒成立 ‎，或，或 ‎，或，或 ‎.‎ 所以实数的取值范围为.‎