2017-2018学年河南省郸城县第一高级中学高二11月月考数学试题（解析版）

2017-2018学年河南省郸城县第一高级中学高二11月月考数学试题（解析版）

‎2017-2018学年河南省郸城县第一高级中学高二11月月考数学试题（解析版）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的. ‎ ‎1. 已知数列 则是它的 A. 第30项 B. 第31项 C. 第32项 D. 第33项 ‎【答案】C ‎【解析】根据所给数列的项，可以得到其通项，故，解得，故选C.‎ ‎2. 已知，函数的最小值是 A. 4 B. 5 C. 6 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时，，当且仅当，即时，等号成立，故选D.‎ ‎3. （2016全国1改编）记为等差数列的前n项和．若，则 A. 72 B. 48 C. 64 D. 54‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据等差数列的性质可知，所以，故选A.‎ ‎..................‎ ‎4. 中，若，则的面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三角形面积公式知，故选B.‎ ‎5. （2015高考改编）已知三角形三边比为10:14:16，则最大角与最小角的和为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设三边分别为，最大角最小角分别为，长为的边所对角则为，则由余弦定理知，所以，故，所以选B.‎ ‎6. （2017全国乙改编）设满足约束条件,则的最大值为 A. 5 B. 9 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】作出可行域如下图：‎ 作出直线，将平移至过点处时，函数有最大值，故选C.‎ ‎7. 已知为正项等比数列的前n项和．若，，则 A. 14 B. 24 C. 32 D. 42‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为各项为正，根据等比数列中成等比数列的性质，知成等比数列，所以，，故选D.‎ ‎8. 数列的最大项为第项，则=‎ A. 4或5 B. 5 C. 5或6 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵数列的最大项为第项，‎ ‎∴即，‎ 由于是正整数，所以或，故选C.‎ ‎9. 设数列满足，且，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎，故选C.‎ ‎10. （2015高考改编）已知为正项等比数列，为等差数列，且，则下列关系式必成立的是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵ ,而，‎ 即，故选A.‎ ‎11. （2013陕西改编）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于400m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：m ）的取值范围是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设矩形的另一边长为m，由相似三角形的性质可得：，解得，∴矩形的面积，‎ ‎∵矩形花园的面积不小于400m2，‎ ‎∴，化为，解得．满足．故其边长x（单位m）的取值范围是．故答案为．‎ ‎12. （2013山东改编）设正实数满足，‎ 则当取得最大值时，的最大值为 A. 1 B. 4 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵ ，∴‎ ‎∴ ，当且仅当时取等号，‎ ‎∴ 当取最大值时，‎ ‎∴ ‎ ‎∴当时，有最大值，故选B.‎ 点睛：本题是均值不等式的灵活运用问题，属于难题。解决此类问题，需要观察条件和结论，结合二者构造新的式子，对待求式子进行变形，方能形成使用均值不等式的条件，本题注意到，所以使用了重要不等式，从而解决问题。‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 在等比数列中，若，，则__________.‎ ‎【答案】或；‎ ‎【解析】∵，∴ ，又 ‎∴或，‎ ‎∴ 或 ‎∴ 或.故填或.‎ ‎14. 在中，面积为，则________.‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】试题分析：由三角形面积公式得,解得．再由余弦定理得，解得．由正弦定理及合比性质得，‎ 考点：三角形面积公式‚正弦定理、余弦定理的应用ƒ合比性质 ‎15. （2016年江苏改编）已知实数满足，则的取值范围是_______．‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】作出可行域如图：‎ 的几何意义为，可行域内一点与定点的距离的平方，因此过分别向三条直线做垂线段，，，，故最小值为，连接三个顶点，计算知最大值为5，故取值范围.‎ 点睛：本题考查线性规划问题，涉及到非线性目标函数中问题，综合性要求较高，属于难题．解决此类问题时，首先做出可行域，然后结合目标函数的几何意义进行分类讨论，本题几何意义为点到点的距离的平方的最大值和最小值，一般最小值是通过点向边界做垂线段，而最大值一般为点与可行域顶点的距离，分别求出比较大小，即可得到最大值与最小值.‎ ‎16. （2016安徽模拟改编）已知数列的前n项和为， ，若 对任意的恒成立，则实数的取值范围是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得 ；‎ 当时，，‎ 为偶数时，则，∴ （n为正奇数）；‎ 为奇数时，，∴ （n为正偶数）；‎ 函数（n为正奇数）是减函数，有最大值.函数（n为正偶数）是增函数，最大值，综上，，故只需，填.‎ 点睛：本题考查了与的关系，以及分类讨论的思想，以及数列中求最值、恒成立等问题，属于难题.解决数列的最值时，一般要根据数列的单调性进行处理，本题特别是对项数进行了奇偶分类，要分别研究奇数项和偶数项的最大值，从而利用恒成立求出参数的取值范围，由求也是本题的一个难点，一定要注意分析全面严谨.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字、证明过程或演算步骤．‎ ‎17. 已知圆内接四边形ABCD的边 ‎ ‎（Ⅰ）求角C的大小和BD的长；‎ ‎（Ⅱ）求四边形ABCD的面积及外接圆的半径.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ； (Ⅱ) 面积； 外接圆半径为 ‎ ‎【解析】试题分析：（1）连结BD，由于A+C=180°，则，在中，和在中分别应用余弦定理即可求得BD和角C； （2）由于A+C=180°，则sinA=sinC，由四边形ABCD的面积为S△ABD+S△BCD，应用面积公式可得面积，再由正弦定理，得到边与角的比值，即为外接圆的半径．‎ 试题解析：‎ ‎(1)如图，连结BD，由于，所以。‎ 由题设及余弦定理得 在中，①‎ 在中，②‎ 由①②得=，‎ 解得，‎ 又，‎ 故 则。‎ ‎(2) 因为，所以。‎ ‎∴四边形ABCD的面积 。 ‎ 由正弦定理可得四边形ABCD的外接圆半径。‎ 点睛：解三角形在平面几何中的应用是常见题型，解题时首先要把问题转化在三角形中，并明确给出的条件是角还是边、所求的问题是角还是边，然后确定是用正弦定理还是用余弦定理，解题中一定要注意平面几何知识在解题中的应用。‎ ‎18. （2016广东模拟改编）记为等差数列的前项和，已知， .‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令， ，若对一切成立，求实数的最大值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ； (Ⅱ) 实数的最大值为2‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据等差数列的通项公式，前n项和公式，列方程组求解即可；（2）采用裂项相消的方法求和，分析单调性即可求参数的范围.‎ 试题解析：（1）∵等差数列中，，，‎ ‎∴解得 ‎∴ ，‎ ‎∴（）．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵随着增大而增大，‎ ‎∴是递增数列，又，∴，‎ ‎∴，∴实数的最小值为5．‎ 点睛：本题考查了等差数列中基本量的计算，体现了方程思想，以及数列求和的方法，属于中档题.数列求和的方法主要有错位相减法、裂项相消法，公式法、分组求和等方法，注意根据数列特点选择合适的求和方法，求和后分离参数求出m的取值范围.‎ ‎19. 在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知 ，且a,b,c成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求 的值； ‎ ‎（Ⅱ）若求 及的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ； (Ⅱ) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据正弦定理与等比数列的定义，得到，然后利用三角恒等变换计算出 的值；（2）利用正弦、余弦定理求出三角形的面积及a+c的值。‎ 试题解析：（Ⅰ）∵成等比数列，∴，‎ 由正弦定理得。‎ ‎∴‎ ‎。‎ ‎（Ⅱ） 由得，‎ 又，所以。‎ ‎∴。‎ ‎∴。‎ 由余弦定理得 ，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴。‎ ‎20. （2015浙江改编）已知为数列前项和, ．‎ ‎（Ⅰ）求和（）；‎ ‎（Ⅱ）若，求的值．‎ ‎【答案】(Ⅰ) ， （）；(Ⅱ) ‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）根据已知条件，令，代入化简即可；（Ⅱ）利用数列的周期性，写出结合即可求解.‎ 试题解析：（Ⅰ）解：由已知：（） ,‎ 所以，（），‎ 又，‎ 所以，． ‎ ‎（Ⅱ）又由已知：，‎ 得：，‎ ‎，得：．‎ 所以，，‎ 解得：，，∴．‎ ‎21. （2017江西模拟改编）已知数列的前项和为， ， ．等差数列中， ，且公差．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）是否存在正整数，使得?．若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】(Ⅰ) ； ；(Ⅱ)的最小正整数为 ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由可得， 两式相减得，，数列是以为首项，为公比的等比数列，从而可得数列的通项公式，利用等差数列的定义可得的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出，利用错位相减法可得数列的前项和，解不等式即可得结果.‎ 试题解析：（Ⅰ），当时，两式相减得，，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，，又，.‎ ‎（Ⅱ）,令 ①‎ 则 ②‎ ‎①-②得：，，即，，的最小正整数为.‎ ‎【易错点晴】本题主要考查等比数列与等差数列的通项、“错位相减法”求数列的和，属于难题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.‎ ‎22. 如果函数在区间上单调递减，求mn的最大值．‎ ‎【答案】最大值为18‎ ‎【解析】试题分析：首先要分类讨论，当时，根据递减求出范围，当时，根据二次函数的对称轴分析即可求出关于的关系，结合均值不等式即可求出.‎ 试题解析：当时，函数若在区间上单调递减，则，．‎ 当时，抛物线的对称轴为.据题意，‎ ‎（ⅰ）若，抛物线开口向上，函数若在区间上单调递减，只需：‎ 即.‎ ‎，∴，‎ 当且仅当即时.等号成立．‎ ‎（ⅱ）时，抛物线开口向下，据题意得，即.由且得，故应舍去.‎ 要使得取得最大值，应有 .‎ 所以，‎ 综上所述，最大值为18.‎ 点睛：本题考查了二次函数单调性，以及均值不等式，分类讨论等。属于难题.首先通过分类确定函数的类型，当函数为一次函数时，通过斜率确定增减性，当函数为二次函数时，利用对称轴与区间的关系确定增减性，求积的最值时，注意构造和是定值才能使用均值不等式，并要注意等号是否成立.‎ ‎ ‎