2017-2018学年江苏省南京市六校联合体高二下学期期末考试 数学（理） Word版

2017-2018学年江苏省南京市六校联合体高二下学期期末考试 数学（理） Word版

‎2017-2018学年江苏省南京市六校联合体高二下学期期末考试 ‎ 数学（理科） 2018.6‎ 参考公式：方差 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1．设为虚数单位，复数，则的模 ▲ .‎ ‎2．一根木棍长为5米，若将其任意锯为两段，则锯成的两段木棍的长度都大于2米的概率为 ▲ .‎ ‎3．命题“若，则复数为纯虚数”的逆命题是 ▲ 命题.（填“真”或“假”）‎ ‎4．已知一组数据为2，3，4，5，6，则这组数据的方差为 ▲ .‎ ‎5．将一颗骰子抛掷两次，用表示向上点数之和，则的概率为 ▲ .‎ ‎6．用分层抽样的方法从某校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人.已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数为 ▲ .‎ ‎7．函数在点处切线方程为，则= ▲ .‎ ‎8．若的展开式中所有二项式系数和为64，则展开式中的常数项是 ▲ .‎ i←1‎ S←0‎ While i<8‎ ‎ S←3i+S ‎ i←i+2‎ End While Print S 第9题 ‎9．根据如图所示的伪代码可知,输出的结果为 ▲ .‎ ‎10．若，‎ 则= ▲ .‎ ‎11．已知∈R，设命题P：；‎ 命题Q：函数只有一个零点.‎ 则使“PQ”为假命题的实数的取值范围为 ▲ .‎ ‎12．有编号分别为1，2，3，4，5的5个黑色小球和编号分别为1，2，3，4，5的5个白色小球，若选取的4个小球中既有1号球又有白色小球，则有 ▲ 种不同的选法.‎ ‎13．‎……‎ ‎……‎ 观察下列等式：‎ 请你归纳出一般性结论 ▲ .‎ ‎14．乒乓球比赛,三局二胜制.任一局甲胜的概率是,甲赢得比赛的概率是,则的最大值为 ▲ .‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎15.（本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系中，以为极点，为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是(为参数)．求直线被曲线截得的弦长.‎ ‎16.（本小题满分14分）‎ A1‎ BA DCBA O ‎（第16题）‎ EBA B1‎ A1‎ CBA C1‎ D1‎ 在棱长为的正方体中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1E＝λEO. ‎ ‎（1）若λ=1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值;‎ ‎（2）若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值.‎ ‎17.（本小题满分14分）‎ 已知，‎ ‎（1）求的值;‎ ‎（2）若且，求的值;‎ ‎（3）求证：.‎ ‎18.（本小题满分16分）‎ 某抛掷骰子游戏中，规定游戏者可以有三次机会抛掷一颗骰子，若游戏者在前两次抛掷中至少成功一次才可以进行第三次抛掷，其中抛掷骰子不成功得0分，第1次成功得3分，第2次成功得3分，第3次成功得4分.游戏规则如下：抛掷1枚骰子，第1次抛掷骰子向上的点数为奇数则记为成功，第2次抛掷骰子向上的点数为3的倍数则记为成功，第3次抛掷骰子向上的点数为6则记为成功.用随机变量表示该游戏者所得分数.‎ ‎（1）求该游戏者有机会抛掷第3次骰子的概率;‎ ‎（2）求随机变量的分布列和数学期望．‎ ‎19.（本小题满分16分）‎ 已知函数 ‎（1）若在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围;‎ ‎（2）若在处有极值10，求的值;‎ ‎（3）若对任意的，有恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎20.（本小题满分16分）‎ 把圆分成个扇形，设用4种颜色给这些扇形染色，每个扇形恰染一种颜色，并且要求相邻扇形的颜色互不相同，设共有种方法.‎ ‎(1)写出，的值；‎ ‎(2)猜想，并用数学归纳法证明。‎ 南京市六校联合体高二期末试卷数学（理科）参考答案 一、填空题 ‎1. 2.. 3. 真 4. 5. 6. 7. ‎ ‎8. 9. 10. 11. 12.‎ ‎13. 14.‎ 二、解答题 ‎15.曲线的直角坐标方程是…………4分 ‎ 直线的普通方程是…………………8分 圆心到直线的距离……………………11分 弦长为…………………………………………14分 ‎16.解(1以为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 则A(1，0，0)，，，D1(0，0，1)，‎ E， ‎ 于是，.‎ 由cos＝＝.‎ 所以异面直线AE与CD1所成角的余弦值为. ………6分 ‎（2）设平面CD1O的向量为m=(x1，y1，z1)，由m·＝0，m·＝0‎ 得 取x1＝1，得y1＝z1＝1，即m=(1，1，1) . ………8分 由D1E＝λEO，则E，=.10分 又设平面CDE的法向量为n＝(x2，y2，z2)，由n·＝0，n·＝0.‎ 得 取x2=2，得z2＝－λ，即n＝(－2，0，λ) .12分 因为平面CDE⊥平面CD1F，所以m·n＝0，得λ＝2． ……14分 ‎17（1）令，则=0，又 ‎ 所以………………………………………………………………4分 ‎（2）由，解得，所以 ………………9分 ‎（3）‎ ‎………………………………………………………………14分 ‎18．⑴该游戏者抛掷骰子成功的概率分别为、、，该游戏者有机会抛掷第3次骰子为事件．‎ 则；‎ 答：该游戏者有机会抛掷第3次骰子的概率为………………………………6分 ‎(2)由题意可知，的可能取值为、、、、，‎ ‎， ，‎ ‎，‎ ‎， ‎ ‎ ，‎ 所以的分布列为 ‎………………………………………………14分 所以的数学期望…………………16分 ‎19解：(1) f＇(x)=3x2+2mx，由f(x)在区间[1，+∞)上是单调递增函数得，‎ 当x≥1时，3x2+2mx≥0恒成立，即m≥－x恒成立，‎ 解得m≥－；………………………………4分 ‎ （2），由题或 ‎ 当时，，无极值，舍去. ‎ ‎ 所以…………………………8分（没有舍扣2分）‎ ‎（3）由对任意的x1，x2∈[－1，1]，有| f(x1)－f(x2)|≤2恒成立，得fmax(x)－fmin(x)≤2．‎ 且| f(1)－f(0)|≤2，| f(－1)－f(0)|≤2，解得m∈[－1，1]，…………10分 ‎①当m=0时，f＇(x)≥0，f(x)在[－1，1]上单调递增，‎ fmax(x)－fmin(x)= | f(1)－f(－1)|≤2成立．……………………………11分 ‎②当m∈(0，1]时，令f＇(x)＜0，得x∈(－m，0)，则f(x)在(－m，0)上单调递减；‎ 同理f(x)在(－1，－m)，(0，1)上单调递增，‎ f(－m)= m3+m2，f(1)= m2+m+1，下面比较这两者的大小，‎ 令h(m)=f(－m)－f(1)= m3－m－1，m∈[0，1]，‎ h＇(m)= m2－1＜0，则h(m)在(0，1] 上为减函数，h(m)≤h(0)=－1＜0，‎ 故f(－m)＜f(1)，又f(－1)= m－1+m2≤m2=f(0)，仅当m=1时取等号.‎ 所以fmax(x)－fmin(x)= f(1)－f(－1)=2成立． ‎ ‎③同理当m∈[－1 ，0)时，fmax(x)－fmin(x)= f(1)－f(－1)=2成立． ‎ 综上得m∈[－1 ，1]．…………………………16分 ‎20.解：（1）…………2+4=6分 ‎（2）．当时，首先，对于第1个扇形，有4种不同的染法，由于第2个扇形的颜色与的颜色不同，所以，对于有3种不同的染法，类似地，对扇形，…，均有3种染法．对于扇形，用与不同的3种颜色染色，但是，这样也包括了它与扇形颜色相同的情况，而扇形与扇形颜色相同的不同染色方法数就是，于是可得 ‎…………………………10分 猜想…………………………12分 ① 当时，左边，右边，所以等式成立 ② 假设时，，‎ 则时，‎ 即时，等式也成立 综上…………………………16分