【数学】2020届江苏一轮复习通用版22-2坐标系与参数方程作业
22.2 坐标系与参数方程
挖命题
【考情探究】
考点
内容解读
5年考情
预测热度
考题示例
考向
关联考点
坐标系与参数方程
1.坐标系的有关概念
2.简单图形的极坐标方程
3.极坐标方程与直角坐标方程的互化
4.参数方程
5.直线、圆及椭圆的参数方程
6.参数方程与普通方程的互化
7.参数方程的简单应用
2018江苏,21C
1.极坐标方程
2.极坐标方程与直角坐标方程的互化
直线与圆的位置关系
★★★
2017江苏,21C
1.参数方程与普通方程的互化
2.参数方程的应用
2016江苏,21C
1.参数方程与普通方程的互化
2.参数方程的应用
直线与椭圆的位置关系
2015江苏,21C
极坐标方程与直角坐标方程的互化
圆的半径
2014江苏,21C
参数方程与普通方程的互化
直线与抛物线的位置关系
分析解读 坐标系与参数方程是江苏卷附加题中三选二的内容之一,主要考查参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程的应用、直线与椭圆、圆、抛物线的简单的位置关系问题.均属于容易题.
破考点
【考点集训】
考点一 坐标系、极坐标与直角坐标的互化
1.(2018江苏太仓中学月考)在极坐标系中,求曲线ρ=2cos θ关于直线θ=π4(ρ∈R)对称的曲线的极坐标方程.
解析 解法一:以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,
则曲线ρ=2cos θ的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,且圆心C为(1,0).
直线θ=π4的直角坐标方程为y=x.
因为圆心C(1,0)关于y=x的对称点为(0,1),
所以圆C关于y=x的对称曲线为x2+(y-1)2=1.
所以曲线ρ=2cos θ关于直线θ=π4(ρ∈R)对称的曲线的极坐标方程为ρ=2sin θ.
解法二:设曲线ρ=2cos θ上任意一点为(ρ',θ'),其关于直线θ=π4对称的点为(ρ,θ),
则ρ'=ρ,θ'=2kπ+π2-θ(k∈Z),
将(ρ',θ')代入ρ=2cos θ,
得ρ=2cosπ2-θ,即ρ=2sin θ.
所以曲线ρ=2cos θ关于直线θ=π4(ρ∈R)对称的曲线的极坐标方程为ρ=2sin θ.
2.(2018江苏前黄中学月考)在极坐标系中,已知点A2,π4,圆C的方程为ρ=42sin θ(圆心为点C),求直线AC的极坐标方程.
解析 解法一:以极点为原点,极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.
圆C的直角坐标方程为x2+y2=42y,
即x2+(y-22)2=8,圆心C(0,22).
点A的直角坐标为(2,2).
直线AC的斜率kAC=22-20-2=-1.
所以直线AC的直角坐标方程为y=-x+22,
极坐标方程为ρ(cos θ+sin θ)=22,
即ρsinθ+π4=2.
解法二:在直线AC上任取一点M(ρ,θ),不妨设点M在线段AC上.
由于圆心为C22,π2,S△OAC=S△OAM+S△OCM,
所以12×22×2sinπ4=12×2×ρsinθ-π4+12×ρ×22×sinπ2-θ,即ρ(cos θ+sin θ)=22,
化简得AC的极坐标方程为ρsinθ+π4=2.
3.(2019届江苏太湖中学月考)在极坐标系中,求圆ρ=4sin θ上的点到直线ρcosθ+π4=32的距离的最大值.
解析 在圆的极坐标方程两边同时乘ρ得ρ2=4ρsin θ,化为直角坐标方程为x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4.
故圆的圆心坐标为(0,2),半径为2.
将直线的极坐标方程ρcosθ+π4=32化为直角坐标方程为x-y-6=0.
所以圆的圆心到直线的距离d=|0-2-6|12+(-1)2=42>2,故直线与圆相离.
于是圆ρ=4sin θ上的点到直线ρcosθ+π4=32的距离的最大值为42+2.
考点二 参数方程
1.(2018江苏南京十三中月考)在极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=π3(ρ∈R),以极点为原点,极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系,曲线C的参数方程为x=2sinα,y=1-cos2α(α为参数),求直线l与曲线C交点P的直角坐标.
解析 直线l的直角坐标方程为y=3x,①
曲线C的普通方程为y=12x2(x∈[-2,2]),②
联立①②解得x=0,y=0或x=23,y=6(舍去).
故P点的直角坐标为(0,0).
2.(2019届江苏盛泽中学月考)在平面直角坐标系xOy中,已知直线的参数方程为x=-1+55t,y=-1+255t(t为参数)与曲线的参数方程为x=sinθ,y=cos2θ(θ为参数)相交于A,B两点,求线段AB的长.
解析 将直线的参数方程化为普通方程,得y=2x+1.①
将曲线的参数方程化为普通方程,
得y=1-2x2(-1≤x≤1).②
由①②得x=-1,y=-1或x=0,y=1,
所以A(-1,-1),B(0,1),
从而AB=(-1-0)2+(-1-1)2=5.
3.(2019届江苏苏州五中月考)在平面直角坐标系xOy中,求圆x=2cosα,y=2sinα(α为参数)上的点到直线x=2-t,y=2+3t(t为参数)的最小距离.
解析 圆的方程是x2+y2=4,直线方程是3x+y-8=0,
则圆心到直线的距离d=832+12=4105>r=2,
所以所求最小距离是d-r=4105-2.
炼技法
【方法集训】
方法一 极坐标方程与直角坐标方程的互化方法
1.(2018江苏海门中学月考)在极坐标系中,求圆ρ=2cos θ的圆心到直线2ρsinθ+π3=1的距离.
解析 将圆ρ=2cos θ化为直角坐标方程为x2+y2-2x=0,
即(x-1)2+y2=1,所以圆心为(1,0).
又2ρsinθ+π3=1,
即2ρ12sinθ+32cosθ=1,
所以直线的直角坐标方程为3x+y-1=0,
所以所求的圆心到直线的距离d=3-12.
2.(2018江苏盐城一中月考)在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ=22cosθ-π4,以极点O为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为x=-1+3t,y=-1+4t(t为参数),试判断直线l与曲线C的位置关系,并说明理由.
解析 由题意知直线l的普通方程为4x-3y+1=0,曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y=0,
所以曲线C是以(1,1)为圆心,2为半径的圆,
所以圆心到直线l的距离d=25<2,
因此,直线l与曲线C相交.
方法二 参数方程与普通方程的互化方法
1.(2019届江苏南菁中学月考)已知直线l的参数方程为x=-1+22t,y=22t(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ-2cos θ,若直线l与曲线C交于A,B两点,求线段AB的长.
解析 由ρ=2sin θ-2cos θ,
可得ρ2=2ρsin θ-2ρcos θ,
所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y-2x,
即(x+1)2+(y-1)2=2,
则圆心为(-1,1),半径为2.
将直线l的参数方程化成普通方程为x-y+1=0.
则圆心到直线l的距离d=|-1-1+1|2=22.
所以所求弦长AB=22-222=6.
2.(2019届江苏宜兴中学月考)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为x=m+2cosα,y=2sinα(α为参数,m为常数).在以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为ρcosθ-π4=2.若直线l与圆C有两个公共点,求实数m的取值范围.
解析 圆C的普通方程为(x-m)2+y2=4.
直线l的极坐标方程化为ρ22cosθ+22sinθ=2,
即22x+22y=2,
化简得x+y-2=0.
因为圆C的圆心为C(m,0),半径为2,
所以圆心C到直线l的距离d=|m-2|2,
因为直线l与圆C有两个公共点,
所以d=|m-2|2<2,
解得2-22
0)与圆ρ=2cos θ相切,则a= .
答案 1+2
2.(2017北京理,11,5分)在极坐标系中,点A在圆ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0上,点P的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为 .
答案 1
3.(2017天津理,11,5分)在极坐标系中,直线4ρcosθ-π6+1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数为 .
答案 2
4.(2018课标全国Ⅰ文,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0.
(1)求C2的直角坐标方程;
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.
解析 (1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.
(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.
由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.
记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.
由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.
当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以|-k+2|k2+1=2,故k=-43或k=0.
经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;
当k=-43时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.
当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以|k+2|k2+1=2,故k=0或k=43.
经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;
当k=43时,l2与C2没有公共点.
综上,所求C1的方程为y=-43|x|+2.
方法技巧 极坐标方程与直角坐标方程互化的技巧:
(1)巧用极坐标方程两边同乘ρ或同时平方的技巧,将极坐标方程构造成含有ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,然后利用公式代入化简得到直角坐标方程.
(2)巧借两角和、差公式转化成ρsin(θ±α)或ρcos(θ±α)的结构形式,进而利用互化公式得到直角坐标方程.
(3)将直角坐标方程中的x转化为ρcos θ,将y转化为ρsin θ,即可得到其极坐标方程.
5.(2017课标全国Ⅱ理,22,10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4.
(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;
(2)设点A的极坐标为2,π3,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.
解析 本题考查极坐标方程及其应用.
(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=4cosθ.
由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程ρ=4cos θ(ρ>0).
因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).
(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB面积S=12|OA|·ρB·sin∠AOB
=4cos α·sinα-π3=2sin2α-π3-32≤2+3.
当α=-π12时,S取得最大值2+3.
所以△OAB面积的最大值为2+3.
6.(2016课标全国Ⅰ,23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=acost,y=1+asint(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.
(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;
(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.
解析 (1)消去参数t得到C1的普通方程:x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.(2分)
将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.(4分)
(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组
ρ2-2ρsinθ+1-a2=0,ρ=4cosθ.(6分)
若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,(8分)
由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a2=0,
解得a=-1(舍去)或a=1.
a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上.
所以a=1.(10分)
易错警示 对“互化”过程不熟悉,对参数和极坐标的几何意义理解不透彻是失分的主要原因.
评析 本题考查了圆的极坐标方程和参数方程.熟练掌握极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的互化是求解的关键.
考点二 参数方程与普通方程的互化
1.(2018天津理,12,5分)已知圆x2+y2-2x=0的圆心为C,直线x=-1+22t,y=3-22t(t为参数)与该圆相交于A,B两点,则△ABC的面积为 .
答案 12
2.(2018课标全国Ⅱ理,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2cosθ,y=4sinθ(θ为参数),直线l的参数方程为x=1+tcosα,y=2+tsinα(t为参数).
(1)求C和l的直角坐标方程;
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.
解析 (1)曲线C的直角坐标方程为x24+y216=1.
当cos α≠0时,l的直角坐标方程为y=tan α·x+2-tan α,
当cos α=0时,l的直角坐标方程为x=1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cos α+sin α)t-8=0.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,
所以①有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.
又由①得t1+t2=-4(2cosα+sinα)1+3cos2α,
故2cos α+sin α=0,于是直线l的斜率k=tan α=-2.
注:因为在教材中,参数方程与普通方程对应,极坐标方程与直角坐标方程对应,所以本题中的“直角坐标方程”更改为“普通方程”更合适.
方法总结 以角θ为参数的参数方程,一般利用三角函数的平方关系:sin2θ+cos2θ=1将参数方程化为普通方程;而弦的中点问题常用根与系数的关系或点差法进行整体运算求解.
3.(2018课标全国Ⅲ理,22,10分)在平面直角坐标系xOy中,☉O的参数方程为x=cosθ,y=sinθ(θ为参数),过点(0,-2)且倾斜角为α的直线l与☉O交于A,B两点.
(1)求α的取值范围;
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.
解析 本题考查参数方程与普通方程的互化、直线与圆的位置关系.
(1)☉O的直角坐标方程为x2+y2=1.
当α=π2时,l与☉O交于两点.
当α≠π2时,记tan α=k,则l的方程为y=kx-2.l与☉O交于两点当且仅当21+k2<1,解得k<-1或k>1,即α∈π4,π2或α∈π2,3π4.
综上,α的取值范围是π4,3π4.
(2)l的参数方程为x=tcosα,y=-2+tsinαt为参数,π4<α<3π4.
设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP=tA+tB2,且tA,tB满足t2-22tsin α+1=0.
于是tA+tB=22sin α,tP=2sin α.
又点P的坐标(x,y)满足x=tPcosα,y=-2+tPsinα.
所以点P的轨迹的参数方程是
x=22sin2α,y=-22-22cos2αα为参数,π4<α<3π4.
易错警示 容易忽略直线斜率不存在的情形.
求倾斜角时要注意斜率是否存在.求其取值范围的一般步骤:
(1)求出斜率k=tan α的取值范围;
(2)利用三角函数的单调性,借助图象,确定倾斜角α的取值范围.
4.(2017课标全国Ⅲ理,22,10分)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为x=2+t,y=kt(t为参数),直线l2的参数方程为x=-2+m,y=mk(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos θ+sin θ)-2=0,M为l3与C的交点,求M的极径.
解析 本题考查参数方程与普通方程的互化,极坐标方程.
(1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程l2:y=1k(x+2).
设P(x,y),由题设得y=k(x-2),y=1k(x+2).
消去k得x2-y2=4(y≠0).
所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0).
(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π).
联立ρ2(cos2θ-sin2θ)=4,ρ(cosθ+sinθ)-2=0
得cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ).
故tan θ=-13,从而cos2θ=910,sin2θ=110.
代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5,
所以交点M的极径为5.
思路分析 (1)由参数方程直接消去参数t、m、k,即得C的普通方程.(2)将C的直角坐标方程化为极坐标方程,与直线l3的参数方程联立,从而求得点M的极径.
方法总结 极坐标问题既可以化为直角坐标处理,也可以直接用极坐标求解.但要注意极径、极角的取值范围,避免漏根或增根.
5.(2017课标全国Ⅰ,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=3cosθ,y=sinθ(θ为参数),直线l的参数方程为x=a+4t,y=1-t(t为参数).
(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;
(2)若C上的点到l距离的最大值为17,求a.
解析 本题考查参数方程与普通方程的互化,考查学生的运算求解能力.
(1)曲线C的普通方程为x29+y2=1.
当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.
由x+4y-3=0,x29+y2=1解得x=3,y=0或x=-2125,y=2425.
从而C与l的交点坐标为(3,0),-2125,2425.
(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos θ,sin θ)到l的距离d=|3cosθ+4sinθ-a-4|17.
当a≥-4时,d的最大值为a+917.
由题设得a+917=17,所以a=8;
当a<-4时,d的最大值为-a+117.
由题设得-a+117=17,所以a=-16.
综上,a=8或a=-16.
思路分析 (1)利用同角三角函数的平方关系将曲线C的参数方程化成普通方程,利用加减消元法将直线的参数方程化成普通方程,将这两个普通方程联立即可求出交点坐标;(2)利用点到直线的距离公式求出距离,再利用三角函数的相关知识表示出其最大值,进而列方程求解.
方法总结 将参数方程转化为普通方程的方法:消去参数,若参数为“θ”,一般利用sin2θ+cos2θ=1消去;若参数为“t”,一般直接代入消参即可.
6.(2016课标全国Ⅲ理,23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=3cosα,y=sinα(α为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsinθ+π4=22.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.
解析 (1)C1的普通方程为x23+y2=1.
C2的直角坐标方程为x+y-4=0.(5分)
(2)由题意,可设点P的直角坐标为(3cos α,sin α).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,d(α)=|3cosα+sinα-4|2=2sinα+π3-2.(8分)
当且仅当α=2kπ+π6(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为2,此时P的直角坐标为32,12.(10分)
方法总结 利用圆的参数方程表示出圆上的动点,从而利用三角函数求其最值,这样可以简化运算过程.
C组 教师专用题组
1.(2015北京,11,5分)在极坐标系中,点2,π3到直线ρ(cos θ+3sin θ)=6的距离为 .
答案 1
2.(2015重庆,15,5分)已知直线l的参数方程为x=-1+t,y=1+t(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2cos 2θ=4ρ>0,3π4<θ<5π4,则直线l与曲线C的交点的极坐标为 .
答案 (2,π)
3.(2015广东,14,5分)已知直线l的极坐标方程为2ρsinθ-π4=2,点A的极坐标为A22,7π4,则点A到直线l的距离为 .
答案 522
4.(2014天津,13,5分)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sin θ和直线ρsin θ=a相交于A,B两点.若△AOB是等边三角形,则a的值为 .
答案 3
5.(2014重庆,15,5分)已知直线l的参数方程为x=2+t,y=3+t(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-4cos θ=0(ρ≥0,0≤θ<2π),则直线l与曲线C的公共点的极径ρ= .
答案 5
6.(2016天津理,14,5分)设抛物线x=2pt2,y=2pt(t为参数,p>0)的焦点为F,准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设C72p,0,AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,且△ACE的面积为32,则p的值为 .
答案 6
7.(2015湖南,16(Ⅱ),6分)已知直线l:x=5+32t,y=3+12t(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ.
(i)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(ii)设点M的直角坐标为(5,3),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|·|MB|的值.
解析 (i)ρ=2cos θ等价于ρ2=2ρcos θ.①
将ρ2=x2+y2,ρcos θ=x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.②
(ii)将x=5+32t,y=3+12t代入②,得t2+53t+18=0.设这个方程的两个实根分别为t1,t2,则由参数t的几何意义即知,|MA|·|MB|=|t1t2|=18.
8.(2014课标全国Ⅱ,23,10分,0.387)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ,θ∈0,π2.
(1)求C的参数方程;
(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=3x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.
解析 (1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).
可得C的参数方程为x=1+cost,y=sint(t为参数,0≤t≤π).
(2)设D(1+cos t,sin t).由(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.
因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同,tan t=3,t=π3.
故D的直角坐标为1+cosπ 3,sinπ3,即32,32.
评析本题考查了极坐标化直角坐标,普通方程化参数方程的方法,考查了数形结合思想.
9.(2014辽宁,23,10分)将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.
(1)写出C的参数方程;
(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
解析 (1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上点(x,y),依题意,得x=x1,y=2y1,
由x12+y12=1得x2+y22=1,
即曲线C的方程为x2+y24=1.
故C的参数方程为x=cost,y=2sint(t为参数).
(2)由x2+y24=1,2x+y-2=0解得x=1,y=0或x=0,y=2.
不妨设P1(1,0),P2(0,2),
则线段P1P2的中点坐标为12,1,
所求直线斜率为k=12,
于是所求直线方程为y-1=12x-12,
化为极坐标方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3,
即ρ=34sinθ-2cosθ.
10.(2016课标全国Ⅱ,23,10分)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.
(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
(2)直线l的参数方程是x=tcosα,y=tsinα(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=10,求l的斜率.
解析 (1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcos θ+11=0.(3分)
(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).
设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0.(6分)
于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.
|AB|=|ρ1-ρ2|=(ρ1+ρ2)2-4ρ1ρ2=144cos2α-44.(8分)
由|AB|=10得cos2α=38,tan α=±153.(9分)
所以l的斜率为153或-153.(10分)
方法总结 利用整体运算的技巧可以大大提高解题效率.
评析本题考查了直线和圆的极坐标方程,考查了极坐标的几何意义的应用,利用方程的思想方法是求解的关键.
11.(2015课标全国Ⅱ,23,10分,0.825)在直角坐标系xOy中,曲线C1:x=tcosα,y=tsinα(t为参数,t≠0),其中0≤α<π.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=23cos θ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标;
(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.
解析 (1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-23x=0.
联立x2+y2-2y=0,x2+y2-23x=0,
解得x=0,y=0,或x=32,y=32.
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和32,32.
(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.
因此A的极坐标为(2sin α,α),B的极坐标为(23cos α,α).
所以|AB|=|2sin α-23cos α|=4sinα-π3.
当α=5π6时,|AB|取得最大值,最大值为4.
12.(2014课标全国Ⅰ,23,10分,0.462)已知曲线C:x24+y29=1,直线l:x=2+t,y=2-2t(t为参数).
(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.
解析 (1)曲线C的参数方程为x=2cosθ,y=3sinθ(θ为参数).
直线l的普通方程为2x+y-6=0.
(2)曲线C上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l的距离为
d=55|4cos θ+3sin θ-6|.
则|PA|=dsin30°=255|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α=43.
当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为2255.
当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为255.
13.(2013江苏,21C,10分,0.926)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=t+1,y=2t(t为参数),曲线C的参数方程为x=2tan2θ,y=2tanθ(θ为参数).试求直线l和曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.
解析 因为直线l的参数方程为x=t+1,y=2t(t为参数),
由x=t+1得t=x-1,代入y=2t,
得到直线l的普通方程为2x-y-2=0.
同理得到曲线C的普通方程为y2=2x.
联立得方程组y=2(x-1),y2=2x,
解得公共点的坐标为(2,2),12,-1.
14.(2014江苏,21C,10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为x=1-22t,y=2+22t(t为参数),直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,求线段AB的长.
解析 将直线l的参数方程x=1-22t,y=2+22t(t为参数)代入抛物线方程y2=4x,得2+22t2=41-22t,
解得t1=0,t2=-82.
所以AB=|t1-t2|=82.
【三年模拟】
解答题(共80分)
1.(2018江苏扬州中学月考)在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程是x=cosα,y=1+sinα(α是参数),若以O为极点,x轴的正半轴为极轴,取与直角坐标系中相同的单位长度,建立极坐标系,求曲线C的极坐标方程.
解析 由x=cosα,y=1+sinα得x=cosα,y-1=sinα,
两式平方后相加得x2+(y-1)2=1.
因为曲线C是以(0,1)为圆心,1为半径的圆,所以ρ=2sin θ,
即曲线C的极坐标方程是ρ=2sin θ.
2.(2019届江苏常熟中学月考)在极坐标系中,设圆C:ρ=4cos θ与直线l:θ=π4(ρ∈R)交于A,B两点,求以AB为直径的圆的极坐标方程.
解析 由题意得圆C的直角坐标方程为x2+y2-4x=0,
直线l的直角坐标方程为y=x.
由x2+y2-4x=0,y=x解得x=0,y=0或x=2,y=2.
所以A(0,0),B(2,2).
从而以AB为直径的圆的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=2,
即x2+y2=2x+2y.
将其化为极坐标方程为ρ2-2ρ(cos θ+sin θ)=0,
即ρ=2(cos θ+sin θ).
3.(2018江苏南京学情调研)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=-1+t,y=t(t为参数),圆C的参数方程为x=a+cosθ,y=2a+sinθ(θ为参数).若直线l与圆C相切,求实数a的值.
解析 由直线l的参数方程为x=-1+t,y=t(t为参数),得直线l的普通方程为x-y+1=0.
由圆C的参数方程为x=a+cosθ,y=2a+sinθ(θ为参数),得圆C的普通方程为(x-a)2+(y-2a)2=1.
因为直线l与圆C相切,所以|a-2a+1|2=1,
解得a=1±2.所以实数a的值为1±2.
4.(2019届江苏海门中学月考)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=rcosα,y=rsinα(α为参数,r为常数,r>0).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρcosθ+π4+2=0.若直线l与曲线C交于A,B两点,且AB=22,求r的值.
解析 由2ρcosθ+π4+2=0,
得ρcos θ-ρsin θ+2=0,
即直线l的直角坐标方程为x-y+2=0.
由x=rcosα,y=rsinα得曲线C的普通方程为x2+y2=r2,
则圆心坐标为(0,0),
所以圆心到直线的距离d=2,由于AB=2r2-d2=22,所以r=2.
5.(2018江苏苏州期末)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=1+t,y=t-3(t为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθsin2θ,若直线l与曲线C相交于A,B两点,求△AOB的面积.
解析 因为曲线C经过极点,
所以其极坐标方程也为ρ2sin2θ=2ρcos θ,
则在平面直角坐标系xOy中,曲线C的直角坐标方程为y2=2x.
把直线l的参数方程代入,得(t-3)2=2+2t,
解得t1=1,t2=7.
所以AB=|t2-t1|12+12=62.
由题意知直线l的普通方程为x-y-4=0,
则原点O到直线l的距离d=42=22.
所以S△AOB=12·AB·d=12.
易错警示 设直线l的参数方程为x=x0+at,y=y0+bt(t为参数),若直线l上两点A,B对应的参数分别为t1,t2,则AB=|t2-t1|·a2+b2,不要忘记了后面的a2+b2.只有当(a,b)=(cos α,sin α)时,才有AB=|t2-t1|.
6.(2018江苏扬州期末)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是x=m+22t,y=22t(t是参数,m是常数).以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=6cos θ.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)若直线l与曲线C相交于P,Q两点,且PQ=2,求实数m的值.
解析 (1)因为直线l的参数方程是x=m+22t,y=22t(t是参数),
所以直线l的普通方程为x-y-m=0.
因为曲线C的极坐标方程为ρ=6cos θ,
故ρ2=6ρcos θ,
所以x2+y2=6x,
所以曲线C的直角坐标方程是(x-3)2+y2=9.
(2)解法一:(公式法)设圆心到直线l的距离为d,
则d=32-12=22.
又d=|3-m|2=22,
所以|3-m|=4,
即m=-1或m=7.
解法二:(参数法)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程x2+y2=6x,
得t2+(m-3)2t+m2-6m=0,
设P,Q两点对应的参数为tP,tQ,
则tP+tQ=(3-m)2,tP·tQ=m2-6m.
由PQ=|tP-tQ|=(tP+tQ)2-4tPtQ=18+12m-2m2=2,
解得m=-1或m=7.
7.(2017江苏苏州期末)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=1-22t,y=2+22t(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-4cos θ=0,已知直线l与曲线C相交于A,B两点,求线段AB的长.
解析 因为曲线C经过极点,
所以其极坐标方程也为ρ2sin2θ-4ρcos θ=0,
所以在平面直角坐标系xOy中,曲线C的直角坐标方程为y2-4x=0.
把直线l的参数方程代入,得t2+82t=0,
解得t1=0,t2=-82.
所以AB=|t2-t1|=82.
易错警示 必须先说明“曲线C经过极点”,才能在方程ρsin2θ-4cos θ=0两边同乘ρ,否则新方程表示的曲线可能比曲线C多一个极点.
8.(2019届江苏南京金陵中学月考)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为x=3+32t,y=2+12t(t为参数),圆C的参数方程为x=3+cosθ,y=sinθ(θ为参数).
若点P是圆C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.
解析 解法一:直线l的普通方程为x-3y+3=0.
因为点P在圆C上,
故设P(3+cos θ,sin θ),
从而点P到直线l的距离
d=|3+cosθ-3sinθ+3|12+(-3)2=23-2sinθ-π62.
所以dmin=3-1,
即点P到直线l的距离的最小值为3-1.
解法二:直线l的普通方程为x-3y+3=0.
圆C的圆心坐标为(3,0),半径为1.
从而圆心C到直线l的距离d=|3-0+3|12+(-3)2=3.
所以点P到直线l的距离的最小值为3-1.