2018届二轮复习大思想提前看，渗透整本提时效学案（全国通用）
技法篇：4大思想提前看，渗透整本提时效
高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合；二是着眼于对数 思想方法、数 能力的考查．如果说数 知识是数 内容，可用文字和符号 记录与描述，那么数 思想方法则是数 意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用以对数 问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数 思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想．这些在一轮复习中都有所涉及，建议二轮复习前应先 习此部分．带着方法去复习，这样可以使理论指导实践，“一法一练”“一练一过”，既节省了复习时间又能起到事半功倍的效果，而市面上有些辅导书把方法集中放于最后，起不到”依法训练”的作用，也因时间紧造成 而不透、 而不深，在真正的高考中不能从容应对．不过也可根据自身情况选择 完后再复习此部分．
思想1 函数与方程思想
函数的思想，就是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的数 思想.
方程的思想，就是建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的数 思想.
【例1】 (1)设函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R都有f(x)＞f′(x)成立，则( ) 【导 号：68334003】
A．3f(ln 2)＜2f(ln 3)
B．3f(ln 2)＝2f(ln 3)
C．3f(ln 2)＞2f(ln 3)
D．3f(ln 2)与2f(ln 3)的大小不确定
(2)(名师押题)直线y＝kx＋2和椭圆＋＝1在y轴左侧部分交于A，B两点，直线l过点P(0，－2)和线段AB的中点M，则l在x轴上的截距a的取值范围为________．
(1)C (2) [(1)令F(x)＝，则F′(x)＝.
因为对∀x∈R都有f(x)＞f′(x)，所以F′(x)＜0，
即F(x)在R上单调递减．
又ln 2＜ln 3，所以F(ln 2)＞F(ln 3)，
即＞，
所以＞，即3f(ln 2)＞2f(ln 3)，故选C.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，直线l与x轴的交点为N(a,0)．
由得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0.
因为直线y＝kx＋2和椭圆＋＝1在y轴左侧部分交于A，B两点，所以
解得k＞.
又M为线段AB的中点，所以
由P(0，－2)，M(x0，y0)，N(a,0)三点共线，
所以＝，
所以－＝2k＋.
又因为k＞，所以2k＋≥2，当且仅当k＝时等号成立，所以－≥2，则－≤a≤0.]
[方法指津]
函数与方程思想在解题中的应用
1．函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y＞0时，就化为不等式f(x)＞0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．
2．数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．
3．解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数有关理论．
4．立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．
[变式训练1] 将函数y＝sin的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值为________. 【导 号：68334004】
[把y＝sin的图象上所有的点向左平移m个单位长度后，得到y＝sin＝sin的图象，
而此图象关于y轴对称，则4m－＝kπ＋(k∈Z)，
解得m＝kπ＋(k∈Z)．又m＞0，所以m的最小值为.]
思想2 数形结合思想
数形结合思想，就是通过数与形的相互转化 解决数 问题的思想.其应用包括以下两个方面：
(1)“以形助数”，把某些抽象的数 问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数 问题的本质，如应用函数的图象 直观地说明函数的性质.
(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确，如应用曲线的方程 精确地阐明曲线的几何性质.
【例2】 已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
(3，＋∞) [作出f(x)的图象如图所示．当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则4m－m2
0.又m>0，解得m>3.]
[方法指津]
数形结合思想在解题中的应用
1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围或解不等式．
2．构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数的零点的范围．
3．构建解析几何模型求最值或范围．
4．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系．
[变式训练2] (1)(2017·绍兴一中高考考前适应性考试)已知方程|ln x|＝kx＋1在(0，e3)上有三个不等的实根，则实数k的取值范围是( )
【导 号：68334005】
A. B.
C. D.
(2)若不等式4x2－logax<0对任意x∈恒成立，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
(1)C (2)B [(1)令f(x)＝kx＋1，g(x)＝ln x，而f(x)＝kx＋1与g(x)＝|ln x|的图象在(0,1)上一定有1个交点，那么根据题目条件只需f(x)＝kx＋1，g(x)＝ln x在(1，e3)上有2个交点即可，作函数f(x)＝kx＋1，g(x)＝ln x的图象如下，设两者相切于点(a，b)，则有解得k＝，且对数函数g(x)＝ln x的增长速度越 越慢，直线f(x)＝kx＋1过定点(0,1)，方程|ln x|＝kx＋1中取x＝e3得k＝，则＜k＜，故实数k的取值范围是，故选C.]
(2)由已知4x21时，不成立，当0＜a<1时，如图，只需loga≥4×2⇒a≥⇒a≥，
又a<1，故a∈.故选B.]
思想3 分类讨论思想
分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数 思想.
【例3】 (1)设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是
( )
A. B．[0,1]
C. D．[1，＋∞)
(2)设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点．已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，则的值为________．
(1)C (2)2或 [(1)由f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1.当a<1时，有3a－1≥1，∴a≥，∴≤a<1.
当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.
综上，a≥，故选C.
(2)若∠PF2F1＝90°，
则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2.
∵|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2，
解得|PF1|＝，|PF2|＝，
∴＝.
若∠F2PF1＝90°，
则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2
＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2，
解得|PF1|＝4，|PF2|＝2，
∴＝2.
综上所述，＝2或.]
[方法指津]
分类讨论思想在解题中的应用
1．由数 概念引起的分类．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．
2．由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．
3．由数 运算和字母参数变化引起的分类．如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的限制，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．
4．由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类，如：角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．
[变式训练3] (1)(2017·台州市高三年级调考)某校在一天的8节课中安排语文、数 、英语、物理、化
、选修课与2节自修课，其中第1节只能安排语文、数 、英语三门中的一门，第8节只能安排选修课或自修课，且选修课与自修课、自修课与自修课均不能相邻，则所有不同的排法共有________种(结果用数字表示)．
(2)在等比数列{an}中，已知a3＝，S3＝，则a1＝________.
(1)1 296 (2)或6 [(1)若第8节课安排选修课，则第一节有3种方法，第7节有4种方法，两节自修课有6种方法，其余3节课有A＝6种方法，所以共有3×4×6×6＝432种方法，若第8节安排自修课，则排列方法在432的基础上再乘以A，结果为432×2＝864种方法，所以共有432＋864＝1 296.
(2)当q＝1时，a1＝a2＝a3＝，
S3＝3a1＝，显然成立；
当q≠1时，由题意，
得
所以
由①②，得＝3，即2q2－q－1＝0，所以q＝－或q＝1(舍去)．
当q＝－时，a1＝＝6.
综上可知，a1＝或a1＝6.]
思想4 转化与化归思想
转化与化归思想，就是在研究和解决有关数 问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.
【例4】 (1)抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，又点A(－1,0)，则的最小值是( ) 【导 号：68334006】
A. B.
C. D.
(2)(名师押题)已知函数f(x)＝3e|x|.若存在实数t∈[－1，＋∞)，使得对任意的x∈[1，m]，m∈Z且m>1，都有f(x＋t)≤3ex，则m的最大值为________．
[解题指导] (1)利用抛物线的定义把的最值问题等价转化成直线PA的斜率问题．
(2)f(x＋t)≤3exex＋t≤ext≤1＋ln x－xh(x)min≥－1.
(1)B (2)3 [(1)如图，作PH⊥l于H，由抛物线的定义可知，|PH|＝|PF|，从而的最小值等价于的最小值，等价于∠PAH最小，等价于∠PAF最大，即直线PA的斜率最大．此时直线PA与抛物线y2＝4x相切，由直线与抛物线的关系可知∠PAF＝45°，所以＝＝sin 45°＝.
(2)因为当t∈[－1，＋∞)且x∈[1，m]时，x＋t≥0，
所以f(x＋t)≤3ex⇔ex＋t≤ex⇔t≤1＋ln x－x.
所以原命题等价转化为：存在实数t∈[－1，＋∞)，使得不等式t≤1＋ln x－x对任意x∈[1，m]恒成立．
令h(x)＝1＋ln x－x(x≥1)．
因为h′(x)＝－1≤0，
所以函数h(x)在[1，＋∞)上为减函数．
又x∈[1，m]，所以h(x)min＝h(m)＝1＋ln m－m.
所以要使得对x∈[1，m]，t值恒存在，
只需1＋ln m－m≥－1.
因为h(3)＝ln 3－2＝ln>ln ＝－1，
h(4)＝ln 4－3＝ln
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