2018-2019学年贵州省遵义航天高级中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年贵州省遵义航天高级中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年贵州省遵义航天高级中学高一上学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．1．若集合，则集合（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：把x=-2，-1,0,1，2代入得y=0,1,2,3，故选C．‎ ‎【考点】求函数值．‎ ‎2．若集合中只有一个元素，则 A． 4 B． 2‎ C． 0 D． 0或4‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得方程只有一个实数解，当时，方程无实数解；‎ 当时，则，解得(不符合题意，舍去)．故选：A．‎ ‎3．将长度为2的一根铁丝折成长为的矩形，矩形的面积关于的函数关系式是，则函数的定义域为（）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 根据题意易得，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 将长度为2的一根铁丝折成长为的矩形，则宽为，‎ ‎∴，解得 ‎∴函数的定义域为 故选：D ‎【点睛】‎ 定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.‎ ‎4．已知函数，则 A． 3 B． 8 C． 9 D． 12‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 当时，,当时，，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ ‎(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．‎ ‎(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．‎ ‎5．已知函数是定义上的增函数，且，则的取值范围是（）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 根据f（x）的定义域以及单调性可得x﹣1，1﹣3x满足的条件，由此即可解得x的范围．‎ ‎【详解】‎ 由已知可得，解得0≤x．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的单调性以及抽象不等式的解法，解抽象不等式的关键是利用单调性把函数值关系转化为自变量关系．‎ ‎6．若函数分别是定义上的奇函数、偶函数，且满足，则有（）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），用﹣x代换x得：f（﹣x）﹣g（﹣x）=﹣f（x）﹣g（x）=2﹣x，又由f（x）﹣g（x）=2x联立方程组，可求出f（x），g（x）的解析式进而得到答案．‎ ‎【详解】‎ 用﹣x代换x得：f（﹣x）﹣g（﹣x）=2﹣x，即f（x）+g（x）=﹣2﹣x，‎ 又∵f（x）﹣g（x）=2x ‎∴解得：f（x）=，g（x）=﹣，‎ 故f（x）单调递增，又f（0）=0，g（0）=﹣1，有g（0）＜f（2）＜f（3）‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性性质的应用，以及指数函数的单调性，同时考查了运算求解的能力，属于基础题 ‎7．已知函数满足，则的值是（）‎ A． B． C． D． 与有关 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 根据﹣= 12a+6b=0，得到4a+2b=0，从而求出f（2）的值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵﹣= 12a+6b=0，‎ ‎∴4a+2b=0，‎ ‎∴f（2）=4a+2b+7=7，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二次函数的图象与性质，属于基础题.‎ ‎8．若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是(　　)‎ A． 1 B． 3 C． 7 D． 31‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据“伙伴关系集合”的定义可得具有伙伴关系的元素组是，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，则，就称是伙伴关系集合，集合，‎ 所以集合中具有伙伴关系的元素组是，‎ 所以具有伙伴关系的集合有个：，,故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合与元素、集合与集合之间的关系，以及新定义问题，属于中档题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.‎ ‎9．若函数，则（）‎ A． -2 B． -1 C． 0 D． 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 根据条件结合对数的运算法则得到f（-x）+f（x）=2，即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 易知函数f(x)的定义域为R，f(x)＋f(－x)＝ln(－3x)＋ln(＋3x)＋2＝ln(1＋9x2－9x2)＋2＝ln1＋2＝2，由上式关系知，f(1g2)＋f ＝f(lg2)＋f(－lg2)＝2.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数值的计算，根据条件结合对数的运算法则得到f（-x）+f（x）=2是解决本题的关键．‎ ‎10．若函数的值域为的函数，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 根据对数函数的值域便知，（0，+∞）是函数y=ax2+ax+1值域的子集，从而得到，解该不等式组即可得出实数a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 设y=ax2+ax+1，根据题意（0，+∞）⊆{y|y=ax2+ax+1}；‎ ‎∴；‎ 解得a≥4；‎ ‎∴实数a的取值范围为[4，+∞）．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数值域的概念，对数函数的值域，二次函数的取值和判别式△的关系，以及子集的概念．‎ ‎11．二次函数的二次项系数为正数，且对任意项都有成立，若，则的取值范围是（ ）‎ A． B．或 C． D．或 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：因为，所以二次函数的对称轴为，且开口向上，，所以 等价于，解得.‎ ‎【考点】二次函数图象与性质.‎ ‎12．若，函数表示中的最大一个，则函数的最小值是（ ）‎ A． 2 B． 3 C． 8 D． -1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分别作出三个函数的图象，利用数形结合求出f（x）的最小值．‎ ‎【详解】‎ 分别作出的图象如图：（阴影部分对应的曲线ABCDE），‎ 则由图象可知函数f（x）在C处取得最小值，‎ 由，得，即（x）的最小值为2．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数最值的判断，利用数形结合是解决本题的关键．‎ 二、填空题 ‎13．函数是幂函数，且当时， 是增函数，则__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由函数是幂函数，且当时， 是增函数可知，‎ ‎,解得： ‎ 故答案为： ‎ ‎14．已知函数，则的值是________________.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ 由已知中函数f（x）=．可得f（x）+=1，进而可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵‎ ‎∴f（x）+=‎ ‎∴‎ ‎.‎ 故答案为：0‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数表达式的应用，解题关键根据目标结构抽象出f（x）+=0.‎ ‎15．已知函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围是 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：因为，函数是上的单调递增函数，所以，，解得，实数的取值范围是。‎ ‎【考点】本题主要考查分段函数的概念，指数函数、一次函数的单调性。‎ 点评：中档题，本题较为典型，综合考查指数函数、一次函数的单调性，处理方法是，数形结合，联想指数函数、一次函数的单调性。‎ ‎16．若不等式，当上恒成立，则实数的取值范围________________.‎ ‎【答案】≤a＜1‎ ‎【解析】‎ 要使不等式2x＜logax在x∈（0，）时恒成立等价于函数y=logax的图象在（0，）内恒在函数y=2x图象的上方，由此能求出a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 要使不等式2x＜logax在x∈（0，）时恒成立，‎ 即函数y=logax的图象在（0，）内恒在函数y=2x图象的上方，而y=2x图象过点（，）．‎ 由loga≥，知0＜a＜1，‎ ‎∴函数y=logax递减．‎ 又∵loga≥=logaa，‎ ‎∴a≥，‎ ‎∴a≥，‎ ‎∴所求的a的取值范围是≤a＜1．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数恒成立问题的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化与数形结合思想的合理运用．‎ 三、解答题 ‎17．已知集合，或.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）将 代入求集合 ，然后求 ；（2）对集合 是否是空集展开讨论，再根据子集的性质即可求出结果．‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，易得.‎ ‎∵或，∴. ‎ ‎（2）若，即时，，满足. ‎ 若，即时，要使，只需或，解得或.‎ 综上所述，的取值范围为或.‎ ‎18．求值 ‎（1） ‎ ‎（2）‎ ‎【答案】（1）69； （2）14.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）利用有理数指数幂的运算性质计算即可；（2）利用对数的运算性质即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎1）原式＝ .‎ ‎2）‎ ‎=，‎ ‎∴‎ ‎【点睛】‎ 第（1）题考查有理数指数幂的运算性质和运算法则，第（2）题考查对数的运算性质和运算法则，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．‎ ‎19．已知函数，求的最值及对应的值.‎ ‎【答案】当x＝3时，.当x＝1时，.‎ ‎【解析】‎ 利用二次函数的性质即可求解最值．‎ ‎【详解】‎ 求出定义域 ‎ ‎,‎ ‎∴当x＝3时，.当x＝1时，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数型复合函数的最值问题，易错点忽视函数的定义域，属于中档题.‎ ‎20．若二次函数（， ， ）满足 ‎，且．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析： （1）由，求出，根据，通过系数相等，从而求出的值,得到的解析式；‎ ‎（2）问题转化为，使不等式成立，令 ，求出的最大值即可．‎ 试题解析：（1）由，得，∴，‎ 又，‎ ‎∴，‎ 即，‎ ‎∴∴∴．‎ ‎（2）等价于，‎ 即在上恒成立，‎ 令， ，∴．‎ ‎【考点】二次函数的性质，函数恒成立问题 ‎21．函数 ‎（1）求证：在上是增函数.‎ ‎（2）若函数是关于的方程在有解，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）根据函数单调性的定义即可证明函数f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增；‎ ‎（2）将方程g（x）=m+f（x）转化为m=g（x）﹣f（x），然后求出函数g（x）﹣f（x）的表达式，即可求出m的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎1）（1）任设x1＜x2，，‎ ‎∵x1＜x2，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 即f（x1）＜f（x2），‎ 即函数的在定义域上单调递增．‎ ‎ 2）由g(x)=m＋f(x)，∴，‎ 当1≤x≤2时，，，‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数单调性的定义以及对数函数的图象和性质，考查逻辑推理能力与运算能力．‎ ‎22．已知函数对于任意的都有，当时，则且 ‎（1）判断的奇偶性；‎ ‎（2）求在上的最大值；‎ ‎（3）解关于的不等式.‎ ‎【答案】(1) 函数f(x)为奇函数．‎ ‎(2)6.‎ ‎(3)见解析.‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）取x=y=0可得f（0）=0；再取y=﹣x代入即可；‎ ‎（2）先判断函数的单调性，再求函数的最值；‎ ‎（3）由于f（x）为奇函数，整理原式得 f（ax2）+f（﹣2x）＜f（ax）+f（﹣2）；即f（ax2﹣2x）＜f（ax﹣2）；再由函数的单调性可得ax2﹣2x＞ax﹣2，从而求解．‎ 详解：（1）取x=y=0，‎ 则f（0+0）=f（0）+f（0）；‎ 则f（0）=0；‎ 取y=﹣x，则f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），‎ ‎∴f（﹣x）=﹣f（x）对任意x∈R恒成立 ‎∴f（x）为奇函数；‎ ‎（2）任取x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2，则x2﹣x1＞0；‎ ‎∴f（x2）+f（﹣x1）=f（x2﹣x1）＜0；‎ ‎∴f（x2）＜﹣f（﹣x1），‎ ‎ 又∵f（x）为奇函数 ‎∴f（x1）＞f（x2）；‎ ‎∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数；‎ ‎∴对任意x∈[﹣3，3]，恒有f（x）≤f（﹣3）‎ 而f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=3f（1）=﹣2×3=﹣6；‎ ‎∴f（﹣3）=﹣f（3）=6；‎ ‎∴f（x）在[﹣3，3]上的最大值为6；‎ ‎（3）∵f（x）为奇函数，‎ ‎∴整理原式得 f（ax2）+f（﹣2x）＜f（ax）+f（﹣2）；‎ 即f（ax2﹣2x）＜f（ax﹣2）；‎ 而f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，‎ ‎∴ax2﹣2x＞ax﹣2； ‎ ‎∴（ax﹣2）（x﹣1）＞0．‎ ‎∴当a=0时，x∈（﹣∞，1）；‎ 当a=2时，x∈{x|x≠1且x∈R}；‎ 当a＜0时，；‎ 当0＜a＜2时，‎ 当a＞2时，．‎ 点睛：根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成 后再利用单调性和定义域列不等式组.‎