广西南宁市马山县金伦中学4 N高中联合体2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

广西南宁市马山县金伦中学4 N高中联合体2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

广西南宁市马山县金伦中学高中联合体2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 设S={x|2x+1＞0}，T={x|3x-5＜0}，则S∩T=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 在平面直角坐标系xOy中，设角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，若角α终边过点P（2，-1），则sin（π-α）的值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 3. 在△ABC中，AB=4，BC=3，CA=2，则△ABC为（　　）‎ A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 4. ‎《张丘建算经》卷上有“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布6尺，30天共织布540尺，则该女子织布每天增加（　　）‎ A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 5. 正方体ABCD-A1B‎1C1D1中，直线BD1与直线AC所成的角是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 6. 某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y（单位：度）与气温x（单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程：=-2x+，则由此估计：当气温为‎2℃‎时，用电量约为（　　）‎ x（单位：℃）‎ ‎17‎ ‎14‎ ‎10‎ ‎-1‎ y（单位：度）‎ ‎24‎ ‎34‎ ‎38‎ ‎64‎ A. 56度 B. 62度 C. 64度 D. 68度 7. ‎△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（　　）‎ A. ,, B. ,, C. ,, D. ,,‎ 8. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（　　） ‎ A. B. C. 2 D. ‎ 9. 函数y=在[-6，6]的图象大致为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 1. 等差数列{an}前n项和为Sn，a4+a6=-6．则当Sn取最小值时，n=（　　）‎ A. 6 B. ‎7 ‎C. 8 D. 9‎ 2. 设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，+∞)单调递减，则（）‎ A. B. C. D. ‎ 3. 数列{an}满足，则a‎1a2a3…a10=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 4. 已知向量，向量=（x，3），且，则x=______．‎ 5. 已sinα+cosα=，则sin2α= ______ ．‎ 6. 已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1，那么它的通项公式为an=______．‎ 7. 如图，为测量坡高MN，选择A和另一个山坡的坡顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°．已知坡高BC=‎50米，则坡高MN=______米．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 8. ‎5G网络是第五代移动通信网络，其峰值理论传输速度可达每8秒1GB，比4G网络的传输速度快数百倍．举例来说，一部1G的电影可在8秒之内下载完成．随着5G技术的诞生，用智能终端分享3D电影、游戏以及超高画质（UHD）节目的时代正向我们走来．某手机网络研发公司成立一个专业技术研发团队解决各种技术问题，其中有数学专业毕业，物理专业毕业，其它专业毕业的各类研发人员共计1200人．现在公司为提高研发水平，采用分层抽样抽取400人按分数对工作成绩进行考核，并整理得如上频率分布直方图（每组的频率视为概率）． （1）从总体的1200名学生中随机抽取1人，估计其分数小于50的概率； （2）研发公司决定对达到某分数以上的研发人员进行奖励，要求奖励研发人员的人数达到30%，请你估计这个分数的值； （3）已知样本中有三分之二的数学专业毕业的研发人员分数不低于70分，样本中不低于70分的数学专业毕业的研发人员人数与物理及其它专业毕业的研发人员的人数和相等，估计总体中数学专业毕业的研发人员的人数．‎ ‎ ‎ 1. 设等差数列{an}中，a2=-8，a6=0． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若等比数列{bn}满足b1=-8，b2=a1+a2+a3，求数列{bn}的前n项和Sn． ‎ 2. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA=（2c+a）cos（π-B）． （1）求角B的大小； （2）若b=4，△ABC的面积为，求△ABC的周长． ‎ 3. 如图，四棱锥P-ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=AD，E，F分别为线段AD，PC的中点． （Ⅰ）求证：AP∥平面BEF； （Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC． ‎ ‎ ‎ 1. 如图，CM，CN为某公园景观湖胖的两条木栈道，∠MCN=120°，现拟在两条木栈道的A，B处设置观景台，记BC=a，AC=b，AB=c（单位：百米） （1）若a，b，c成等差数列，且公差为4，求b的值； （2）已知AB=12，记∠ABC=θ，试用θ表示观景路线A-C-B的长，并求观景路线A-C-B长的最大值．‎ ‎ ‎ 2. 已知点P（0，5）及圆C：x2+y2+4x-12y+24=0． （1）若直线l过点P，且被圆C截得的线段长为4，求l的方程； （2）求过P点的圆C弦的中点的轨迹方程． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】D ‎ ‎【解析】解：S={x|2x+1＞0}={x|x＞-}，T={x|3x-5＜0}={x|x＜}， 则S∩T=， 故选：D． 集合S、T是一次不等式的解集，分别求出再求交集． 本题考查一次不等式的解集及集合的交集问题，较简单． 2.【答案】A ‎ ‎【解析】解：∵角α终边过点P（2，-1）， ∴r=|OP|=， ∴sin（π-α）=sinα=． 故选：A． 由已知利用任意角的三角函数的定义求得sinα，再由诱导公式得答案． 本题考查任意角的三角函数的定义，考查诱导公式的应用，是基础题． 3.【答案】C ‎ ‎【解析】解：在△ABC中，由AB=4，BC=3，CA=2，可知∠C为最大角， ∵cosC=＜0， ∴△ABC为钝角三角形． 故选：C． 由三角形中大边对大角及余弦定理判断． 本题考查三角形形状的判断，考查余弦定理的应用，是基础题． 4.【答案】C ‎ ‎【解析】解：由于某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同． 所以织布的数据构成等差数列， 设公差为d，第一天织的数据为a1，第30天织的数据为a30， 则：， 解得：a30=30， 则：a30=a1+（30-1）d， 解得：d=， 故选：C． 利用数学文化知识，首先判定数列为等差数列，进一步利用等差数列的通项公式的前n项和公式求出结果． 本题考查的知识要点：数学文化知识的应用，等差数列的通项公式的应用和前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 5.【答案】D ‎ ‎【解析】解：如图，连接BD1 则BD是BD在平面ABCD上的射影， 又AC⊥BD，由三垂线定理可得： BD1⊥AC， BD1与直线AC所求的角是直角， 故答案为90°‎ ‎． 故选D． 先通过证明直线BD1与直线AC互相垂直，得到异面直线所成的角是直角，从而求出直线BD1与直线AC所成的角即可． 本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题． 6.【答案】A ‎ ‎【解析】解：根据题意，计算=×（17+14+10-1）=10， =×（24+34+38+64）=40， 代入线性回归方程=-2x+中， 求出=40+2×10=60， ∴线性回归方程为=-2x+60； 当x=2时，=-2×2+60=56， 由此估计当气温为2℃时，用电量约为56度． 故选：A． 根据题意计算、，代入线性回归方程求出的值， 写出线性回归方程，再计算x=2时的值． 本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题． 7.【答案】D ‎ ‎【解析】解：对于A，∵a＜b，而B＜A=1200，故无解 对于B，如图，可得有一解， 对于C，如图，可得有一解， 对于D，如图，可得有两解， ‎ ‎ 故选：D． 根据已知画图判定． 本题考查了三角形解的个数判定，属于中档题． 8.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由主视图和侧视图可知棱锥的高h=2， 结合侧视图和俯视图可知三棱锥的底面ABC为直角三角形，BC=1，AB=2，AB⊥BC， ∴三棱锥的体积V==， 故选：A． 根据三视图判断三棱锥的底面形状和高，代入体积公式计算即可． 本题考查了棱锥的结构特征与三视图，体积计算，属于中档题． 9.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了函数的图象与奇偶性，解题关键是奇偶性和特殊值，属基础题． 由y=的解析式知该函数为奇函数可排除C，然后计算x=4时的函数值，根据其值即可排除A，D． 【解答】 解：由y=f（x）=在[-6，6]，知 f（-x）=， ∴f（x）是[-6，6]上的奇函数，因此排除C， 又f（4）=，因此排除A，D． 故选B． 10.【答案】A ‎ ‎【解析】【解答】由a4+a6=2a5=-6，解得a5=-3，又a1=-11， ∴a5=a1+4d=-11+4d=-3，解得d=2， 则an=-11+2（n-1）=2n-13， ∴Sn==n2-12n=（n-6）2-36， ∴当n=6时，Sn取最小值． 故选：A． 【分析】根据等差数列的性质化简a4+a6=-6，得到a5的值，然后根据a1的值，利用等差数列的通项公式即可求出公差d的值，根据a1和d的值写出等差数列的通项公式，进而写出等差数列的前n项和公式Sn，配方后即可得到Sn取最小值时n的值． 点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式化简求值，掌握等差数列的性质，是一道基础题． 11.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵f（x）是定义域为R的偶函数 ∴， ∵log34＞log33=1，， ∴0 ‎ f（x）在（0，+∞）上单调递减， ∴＞＞， 故选：C． 根据log34＞log33=1，，结合f（x）的奇偶和单调性即可判断． 本题考查了函数的奇偶性和单调性，关键是指对数函数单调性的灵活应用，属基础题． 12.【答案】A ‎ ‎【解析】解：n=1时，a1= ∵ ∴n≥2时， 两式相减可得2n-1an= ∴an= n=1时，也满足 ∴a1a2a3…a10=== 故选：A． 根据条件，再写一式，两式相减，确定数列的通项，即可求a1a2a3…a10的值． 本题考查数列递推式，考查数列的通项，解题的关键是确定数列的通项，属于基础题． 13.【答案】6 ‎ ‎【解析】解：因为向量，向量=（x，3），且，根据向量共线的充要条件得4×3=2x，x=6 故答案为：6． 根据所给的两个向量的坐标和两个向量平行的充要条件，得到关于x的方程，解方程即可得到要求的x的值． 本题考查两个向量平行的充要条件的坐标形式，是一个基础题． 14.【答案】- ‎ ‎【解析】解：∵sinα+cosα=， ∴（sinα+cosα）2=，即1+2sinαcosα=， 则sin2α=2sinαcosα=-． 故答案为：- 已知等式两边平方后，利用同角三角函数间的基本关系化简，再利用二倍角的正弦函数公式化简，即可求出值． 此题考查了运用诱导公式化简求值，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握诱导公式是解本题的关键． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：当n=1时，a1=S1=12+1=2； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+1-（n-1）2-1=2n-1， ∴an=， 故答案为：． 当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，an=Sn-Sn-1，验证可得通项公式． 本题考查等差数列的前n项和公式，属基础题． 16.【答案】75 ‎ ‎【解析】解：在RT△ABC中，∠CAB=45°，BC=150m，所以AC=50m． 在△AMC中，∠MAC=75°，∠MCA=60°，从而∠AMC=45°‎ ‎， 由正弦定理得，，因此AM=50m． 在RT△MNA中，AM=50m，∠MAN=60°，由 得MN=50×=75m． 故答案为：75． 由题意，可先求出AC的值，从而由正弦定理可求AM的值，在RT△MNA中，AM=50m，∠MAN=60°，从而可求得MN的值． 本题主要考查正弦定理的应用，考查解三角形的实际应用，属于中档题． 17.【答案】解：（1）由题意可知，样本中随机抽取一人， 分数小于50的概率是1-（0.01+0.02×2+0.04）×10=0.1， 所以估计总体中分数小于50的概率0.1． （2）根据频率分布直方图， 第六组的频率为0.04×10=0.4，第七组频率为0.02×10=0.2， 此分数为80-（0.3-0.2）÷0.04=77.5． （3）因为样本中不低于70分的研发人员人数为400×（0.4+0.2）=240人， 所以样本中不低于70分的数学专业毕业的研发人员为120人， 又因为样本中有三分之二的数学专业毕业的研发人员分数不低于70分， 所以样本中的是数学专业毕业的研发人员的人数120÷=180人， 故估计总体中数学专业毕业的研发人员的人数为：1200×=540人． ‎ ‎【解析】（1）由题意可知，样本中随机抽取一人，分数小于50的概率是0.1，由此能估计总体中分数小于50的概率． （2）根据频率分布直方图，第六组的频率为0.4，第七组频率为0.2，由此能求出这个分数． （3）样本中不低于70分的研发人员人数为240人，从而样本中不低于70分的数学专业毕业的研发人员为120人，样本中有三分之二的数学专业毕业的研发人员分数不低于70分，从而样本中的是数学专业毕业的研发人员的人数为180人，由此能估计总体中数学专业毕业的研发人员的人数． 本题考查概率、分数、频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 18.【答案】解：（1）等差数列{an}的公差设为d，a2=-8，a6=0， 可得a1+d=8，a1+5d=0，解得a1=-10，d=2， 则an=-10+2（n-1）=2n-12，n∈N*； （2）等比数列{bn}的公比设为q，b1=-8，b2=a1+a2+a3=-10-8-6=-24， 可得q==3， 所以前n项和Sn==4（1-3n），n∈N*． ‎ ‎【解析】（1）等差数列{an}的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式； （2）等比数列{bn}的公比设为q，运用等比数列的定义和等差数列的通项公式，可得公比q，再由等比数列的求和公式，计算可得所求和． 本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 19.【答案】解：（1）∵bcosA=（2c+a）cos（π-B）， ∴bcosA=（2c+a）（-cosB）． 由正弦定理可得，sinBcosA=（-2sinC-sinA）cosB， 即sin（A+B）=-2sinCcosB=sinC， 又角C为△ABC内角，sinC＞0， ∴‎ ‎， 又B∈（0，π）， ∴． （2）有，得ac=4． 又b2=a2+c2+ac=（a+c）2-ac=16， ∴， ∴△ABC周长为． ‎ ‎【解析】（1）由已知及正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用可得-2sinCcosB=sinC，结合sinC＞0，可得，进而可求B的值． （2）利用三角形面积公式可求ac=4，利用余弦定理可求a+c的值，进而可求周长． 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 20.【答案】证明：（Ⅰ）如下图：连接CE， ∵AD∥BC，BC=AD，E为线段AD的中点， ∴四边形ABCE是平行四边形，四边形BCDE是平行四边形， 设AC∩BE=O，连接OF，则O是AC的中点， ∵F为线段PC的中点， ∴AP∥OF， ∵AP⊄平面BEF，OF⊂平面BEF， ∴AP∥平面BEF； （Ⅱ）∵四边形BCDE是平行四边形， ∴BE∥CD， ∵AP⊥平面PCD，CD⊂平面PCD， ∴AP⊥CD， ∴BE⊥AP， ∵AB=BC，四边形ABCE是平行四边形， ∴四边形ABCE是菱形， ∴BE⊥AC， ∵AP∩AC=A，AP、AC平面PAC, ∴BE⊥平面PAC． ‎ ‎【解析】​本题考查直线与平面平行、垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，正确运用直线与平面平行、垂直的判定是关键. （Ⅰ）证明四边形ABCE是平行四边形，可得O是AC的中点，利用F为线段PC的中点，可得PA∥OF，从而可证AP∥平面BEF； （Ⅱ）证明BE⊥AP、BE⊥AC，即可证明BE⊥平面PAC． 21.【答案】解：（1）∵a，b，c成等差数列，且公差为4，∴a=b-4，c=b+4， ∵∠MCN=120°， ∴（b+4）2=（b-4）2+b2-2b（b-4）cos120°， ∴b=10‎ ‎； （2）由题意，==， ∴AC=8sinθ，BC=8sin（60°-θ）， ∴观景路线A-C-B的长y=8sinθ+8sin（60°-θ）=8sin（60°+θ） ∴θ=30°时，观景路线A-C-B长的最大值为8． ‎ ‎【解析】（1）利用a，b，c成等差数列，且公差为4，结合余弦定理，即可求b的值； （2）利用正弦定理，求出AC，BC，再化简，即可求观景路线A-C-B长的最大值． 本题考查余弦定理、正弦定理的运用，考查三角函数知识，正确运用正弦、余弦定理是关键． 22.【答案】解：（1）圆的圆心为C（-2，6），半径r=4， ∵直线l被圆C截得弦长为4， ∴圆心C到直线l的距离d==2， 若直线l无斜率，则直线方程为x=0， 此时圆心到直线l的距离为2，符合题意； 若直线l有斜率，设斜率为k，则直线l的方程为y=kx+5，即kx-y+5=0， ∴，解得k=， ∴直线l的方程为y=x+5． 综上，直线l的方程为x=0或y=x+5． （2）设所求轨迹上任意一点为M（x，y）， ，即 则， 整理得x2+y2+2x-11y+30=0． ∴过P点的圆C弦的中点的轨迹方程为x2+y2+2x-11y+30=0． ‎ ‎【解析】本题考查了直线与圆的位置关系，轨迹方程的求解，属于中档题． （1）讨论直线l是否有斜率，就两种情况分别求出直线方程； （2）设弦的中点为M（x，y）根据CM⊥PM得出轨迹方程． ‎