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文档介绍
【数学】2019届一轮复习（文）人教A版推理与证明、算法、复数第1节学案
第1节 合情推理与演绎推理 最新考纲 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. 知 识 梳 理 1.合情推理 类型 定义 特点 归纳推理 根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的全部对象都具有这种性质的推理 由部分到整体、由个别到一般 类比推理 根据两类事物之间具有某些类似(一致)性，推测一类事物具有另一类事物类似(或相同)的性质的推理 由特殊到特殊 2.演绎推理 (1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.( ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.( ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.( ) (4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.( ) 解析 (1)类比推理的结论不一定正确. (3)平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适. (4)演绎推理是在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2.数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于( ) A.28 B.32 C.33 D.27 解析 5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9， 推出x－20＝12，所以x＝32. 答案 B 3.正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理( ) A.结论正确 B.大前提不正确 C.小前提不正确 D.全不正确 解析 f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确. 答案 C 4.(2018·咸阳模拟)观察下列式子：<2，＋<，＋＋<8，＋＋＋<，…，根据以上规律，第n(n∈N )个不等式是 . 解析 根据所给不等式可得第n个不等式是＋＋…＋<. 答案 ＋＋…＋< 5.(选修1－2P35A6改编)在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n＜19，n∈N )成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则b1b2b3…bn＝ . 答案 b1b2b3…b17－n(n＜17，n∈N ) 考点一 归纳推理 【例1】 (1)(2018·佛山一模)所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫做完全数(也称为完备数、完美数)，如6＝1＋2＋3；28＝1＋2＋4＋7＋14；496＝1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248，…，此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和，如6＝21＋22，28＝22＋23＋24，…，按此规律，8 128可表示为 . (2)(2018·济宁模拟)已知ai>0(i＝1，2，3，…，n)，观察下列不等式： ≥； ≥； ≥； …… 照此规律，当n∈N ，n≥2时，≥ . 解析 (1)由题意，如果2n－1是质数，则2n－1(2n－1)是完全数，例如：6＝21＋22＝21(22－1)，28＝22＋23＋24＝22(23－1)，…；若2n－1(2n－1)＝8 128，解得n＝7，所以8 128可表示为26(27－1)＝26＋27＋…＋212. (2)根据题意有≥(n∈N ，n≥2). 答案 (1)26＋27＋…＋212 (2) 规律方法 归纳推理问题的常见类型及解题策略 (1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解. (2)与不等式有关的推理.观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解. (3)与数列有关的推理.通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可. (4)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性. 【训练1】 (1)(2018·郑州一模)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如： 他们研究过图中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数，由以上规律，知这些三角形数从小到大形成一个数列{an}，那么a10的值为( ) A.45 B.55 C.65 D.66 (2)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为＝n2＋n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式： 三角形数 N(n，3)＝n2＋n， 正方形数 N(n，4)＝n2， 五边形数 N(n，5)＝n2－n， 六边形数 N(n，6)＝2n2－n …… 可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝ . 解析 (1)第1个图中，小石子有1个， 第2个图中，小石子有3＝1＋2个， 第3个图中，小石子有6＝1＋2＋3个， 第4个图中，小石子有10＝1＋2＋3＋4个， …… 故第10个图中，小石子有1＋2＋3＋…＋10＝＝55个，即a10＝55. (2)三角形数 N(n，3)＝n2＋n＝， 正方形数 N(n，4)＝n2＝， 五边形数 N(n，5)＝n2－n＝， 六边形数 N(n，6)＝2n2－n＝， k边形数 N(n，k)＝， 所以N(10，24)＝＝＝1 000. 答案 (1)B (2)1 000 考点二 类比推理 【例2】 (1)(一题多解)若数列{an}是等差数列，则数列{bn}也为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为( ) A.dn＝ B.dn＝ C.dn＝ D.dn＝ (2)(2018·湖北八校联考)祖暅是我国南北朝时代的数学家，是祖冲之的儿子.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.设由椭圆＋＝1(a>b>0)所围成的平面图形绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(称为椭球体)(如图)，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于 . 解析 (1)法一 从商类比开方，从和类比积，则算术平均数可以类比几何平均数，故dn的表达式为dn＝. 法二 若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}为等差数列；若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝c·q1＋2＋…＋(n－1)＝c·q，∴dn＝＝c1·q，即{dn}为等比数列，故选D. (2)椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，现构造两个底面半径为b，高为a的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球体的体积V＝2(V圆柱－V圆锥)＝2＝πb2a. 答案 (1)D (2)πb2a 规律方法 1.进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键. 2.类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等. 【训练2】 (1)(2017·安徽江南十校联考)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程＝x确定出来x＝2，类似地不难得到1＋＝( ) A. B. C. D. (2)如图(1)所示，点O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO，并延长交对边于A1，B1，C1，则＋＋＝1，类比猜想：点O是空间四面体VBCD内的任意一点，如图(2)所示，连接VO，BO，CO，DO并延长分别交面BCD，VCD，VBD，VBC于点V1，B1，C1，D1，则有 . 解析 (1)令1＋＝x(x>0)，即1＋＝x，即x2－x－1＝0，解得x＝(x＝舍)，故1＋＝，故选C. (2)利用类比推理，猜想应有＋＋＋＝1. 用“体积法”证明如下： ＋＋＋＝＋＋＋＝＝1. 答案 (1)C (2)＋＋＋＝1 考点三 演绎推理 【例3】 数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N ).证明： (1)数列是等比数列； (2)Sn＋1＝4an. 证明 (1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn， ∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)， 即nSn＋1＝2(n＋1)Sn. ∴＝2·，又＝1≠0，(小前提) 故是以1为首项，2为公比的等比数列.(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知＝4·(n≥2)， ∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1 ＝4an(n≥2)，(小前提) 又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提) ∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论) (第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件) 规律方法 演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略. 【训练3】 (2017·全国Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则( ) A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 解析 由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”.乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩、丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩. 答案 D 基础巩固题组 (建议用时：30分钟) 一、选择题 1.观察一列算式：1⊗1，1⊗2，2⊗1，1⊗3，2⊗2，3⊗1，1⊗4，2⊗3，3⊗2，4⊗1，…，则式子3⊗5是第( ) A.22项 B.23项 C.24项 D.25项 解析 两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5为和为8的第3项，所以为第24项，故选C. 答案 C 2.命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( ) A.使用了归纳推理 B.使用了类比推理 C.使用了“三段论”，但推理形式错误 D.使用了“三段论”，但小前提错误 解析 由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误. 答案 C 3.观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( ) A.f(x) B.－f(x) C.g(x) D.－g(x) 解析 由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(－x)＝－g(x). 答案 D 4.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于( ) A.28 B.76 C.123 D.199 解析 观察规律，归纳推理. 从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123. 答案 C 5.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”； ②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”； ③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”； ④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”； ⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”； ⑥“＝”类比得到“＝”. 以上式子中，类比得到的结论正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 ①②正确；③④⑤⑥错误. 答案 B 6.(2017·宜昌一中月考)老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下： 甲说：“我们四人都没考好”； 乙说：“我们四人中有人考的好”； 丙说：“乙和丁至少有一人没考好”； 丁说：“我没考好”. 结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对的两人是( ) A.甲，丙 B.乙，丁 C.丙，丁 D.乙，丙 解析 甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确.故答案为D. 答案 D 7.(2018·郑州调研)平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，以此类推，凸13边形对角线的条数为( ) A.42 B.65 C.143 D.169 解析 可以通过列表归纳分析得到. 凸多边形 4 5 6 7 8 … 对角线条数 2 2＋3 2＋3＋4 2＋3＋4＋5 2＋3＋4＋5＋6 … ∴凸13边形有2＋3＋4＋…＋11＝＝65条对角线. 答案 B 8.如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 解析 由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n(n≥2，n∈N )层的点数为6(n－1).设一个点阵有n(n≥2，n∈N )层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n－1)＝1＋×(n－1)＝3n2－3n＋1，由题意得3n2－3n＋1＝169，即(n＋7)·(n－8)＝0，所以n＝8，故共有8层. 答案 C 二、填空题 9.仔细观察下面○和●的排列规律：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●…，若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是 . 解析 进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|…， 则前n组两种圈的总数是f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝，易知f(14)＝119，f(15)＝135，故n＝14. 答案 14 10.观察下列等式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n个等式为 . 解析 观察所给等式左右两边的构成易得第n个等式为13＋23＋…＋n3＝＝. 答案 13＋23＋…＋n3＝ 11.(2018·重庆模拟)在等差数列{an}中，若公差为d，且a1＝d，那么有am＋an＝ am＋n，类比上述性质，写出在等比数列{an}中类似的性质： . 解析 等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积，故在等比数列中，类似的性质是“在等比数列{an}中，若公比为q，且a1＝q，则am·an＝am＋n.” 答案 在等比数列{an}中，若公比为q，且a1＝q，则am·an＝am＋n 12.已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数y＝ax(a＞1)的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论＞a成立.运用类比思想方法可知，若点A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)是函数y＝sin x(x∈(0，π))的图象上任意不同两点，则类似地有 成立. 解析 对于函数y＝ax(a＞1)的图象上任意不同两点A， B，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论＞a成立；对于函数y＝sin x(x∈(0，π))的图象上任意不同的两点A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的下方， 类比可知应有＜sin 成立. 答案 ＜sin 能力提升题组 (建议用时：15分钟) 13.(2017·湖北八校二联)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名.比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 解析 根据题意，6名选手比赛结果甲、乙、丙、丁猜测如下表： 1号 2号 3号 4号 5号 6号 甲 不可能 不可能 不可能 可能 可能 不可能 乙 可能 可能 不可能 可能 可能 可能 丙 可能 可能 不可能 不可能 不可能 可能 丁 可能 可能 可能 不可能 不可能 不可能 由表知，只有丁猜对了比赛结果，故选D. 答案 D 14.(2018·南昌调研)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项之积为 Tn，并且满足条件：a1>1，a2 016a2 017>1，<0，下列结论中正确的是( ) A.q<0 B.a2 016a2 018－1>0 C.T2 016是数列{Tn}中的最大项 D.S2 016>S2 017 解析 由a1>1，a2 016a2 017>1得q>0，由<0，a1>1得a2 016>1，a2 017<1，0查看更多