2018-2019学年内蒙古第一机械制造（集团）有限公司第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年内蒙古第一机械制造（集团）有限公司第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年内蒙古第一机械制造（集团）有限公司第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知则复数 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：利用复数的乘法法则化简复数，再利用共轭复数的定义求解即.‎ 详解：因为，‎ 所以，‎ ‎，故选A.‎ 点睛：本题主要考查的是复数的乘法、共轭复数的定义，属于中档题．解答复数运算问题时一定要注意和以及 运算的准确性，否则很容易出现错误.‎ ‎2．已知集合则为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题，先分别求得集合A、B，再求其交集即可.‎ ‎【详解】‎ 由题，因为集合 集合 所以为 故选C ‎【点睛】‎ 本题考查的集合的交集，属于基础题.‎ ‎3．函数的单调递减区间是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题，先求得的导函数，再令导函数小于0，解集就是函数的减区间.‎ ‎【详解】‎ 由题 ‎ 令，解得 ‎ 所以在区间函数单调递减 故选B ‎【点睛】‎ 本题考查了导函数的应用，利用导函数求解原函数的单调性，求导是关键，属于基础题.‎ ‎4．函数的图象的大致形状是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】令x=0可得，则排除C、D；,‎ 当时，，‎ 当时，，故排除B，‎ 本题选择A选项.‎ ‎5．双曲线的离心率恰为它一条渐近线斜率的倍，则离心率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题，先表示出离心率，在表示出斜率，根据题，可求得的值，代入公式求得离心率即可.‎ ‎【详解】‎ 由题，双曲线的离心率 一条渐近线方程为： ，其斜率 ‎ 由题，离心率恰为它一条渐近线斜率的倍，所以 解得 或(舍)‎ 所以离心率 故选C ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的离心率，掌握好性质，以及离心率和渐近线方程是解题的关键，属于较为基础题.‎ ‎6．函数的导数为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题，直接根据导函数的乘法运算法则求得结果即可.‎ ‎【详解】‎ 由题，函数的导数 ‎ ‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题考查了求导数，掌握好运算法则，以及熟记导数的公式是解题的关键，属于基础题.‎ ‎7．已知圆和点，是圆上一点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹方程是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：因为M是线段BP的垂直平分线上的点，所以，因为P是圆上一点，所以，所以M点的轨迹为以B,C为焦点的椭圆，所以，所以轨迹方程为.‎ ‎【考点】本小题主要考查轨迹方程的求解.‎ 点评：求轨迹方程时，经常用到圆锥曲线的定义，根据定义判断出动点的轨迹是什么图形，再根据标准方程求解即可.‎ ‎8．已知函数，则的极大值点为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先对函数求导，求出，再由导数的方法研究函数的单调性，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，所以，‎ 因此，所以，由得：；由得：；‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减，因此的极大值点.‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的应用，根据导数判断出函数的单调性，进而可确定其极值，属于常考题型.‎ ‎9．已知与曲线相切，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：设切点坐标为，∵曲线，∴，∴①，又∵切点在切线上，∴②，由①②，解得，∴实数的值为．故选C．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎10．已知，（是自然对数的底数），，则的大小关系是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题，易知，构造函数，利用导函数求单调性，即可判断出a、b、c的大小.‎ ‎【详解】‎ 由题，，，‎ 所以构造函数 ‎ 当时，，所以函数在是递增的，所以 所以 故选A ‎【点睛】‎ 本题考查了比较数的大小，解题的关键是能否构造出新的函数，再利用导数求单调性，属于中档题.‎ ‎11．设分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线的右支上存在点，满足，且原点到直线的距离等于双曲线的实半轴长，则该双曲线的渐近线方程为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先根据题意，分析易知，再根据双曲线的定义可得a、b的比值，即可求得渐近线方程.‎ ‎【详解】‎ 由题，可知三角形是一个等腰三角形，点在直线的投影为中点，由勾股定理可得 ‎ 再根据双曲线的定义可知： ‎ 又因为，再将代入整理可得 ‎ 所以双曲线的渐近线方程为： ‎ 即 故选D ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的渐近线方程，熟悉双曲线的图像，性质，定义等知识是解题的关键，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎12．在复平面上，复数对应的点到原点的距离为_________ .‎ ‎【答案】 .‎ ‎【解析】由题,先对复数进行化简,可得在复平面中对应的点,可求得到原点的距离.‎ ‎【详解】‎ 因为在复平面中对应的点为 ‎ 所以到原点的距离为 ‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的知识，化简复数是解题的关键，属于基础题.‎ ‎13．已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点P，若，则△POF的面积为________ ．‎ ‎【答案】2.‎ ‎【解析】由题，先求得焦点F的坐标，根据抛物线定义可得P的横坐标，代入方程求得纵坐标，再利用面积公式可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题，因为抛物线的焦点为F，所以焦点 ‎ 又因为，根据抛物线的定义可得点P的横坐标 ‎ 代入可得纵坐标 ‎ 所以△POF的面积 ‎ 故答案为2‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的知识，熟悉抛物线的定义是解题的关键，属于基础题.‎ ‎14．已知函数在上为单调增函数，则的取值范围为________ .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】由题，先求得的导函数，由题在上为单调增函数，即导函数大于等于0恒成立，再参变分离可得a的取值.‎ ‎【详解】‎ 因为函数，所以 ‎ 因为在上为单调增函数，所以在恒成立 即在恒成立 所以 ‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查了导函数的应用，清楚知道导函数的正负和原函数单调性关系是解题的关键，技巧在于利用参变分离，属于中档题目.‎ ‎15．斜率为的直线l被椭圆截得的弦恰被点平分，则的离心率是______．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】由题，设出点A、B的坐标，由AB的中点为点M，可得 ‎，再利用点差法，和斜率为可求得a、b的比值，代入离心率公式即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 设直线l与椭圆的交点为 ‎ 因为弦恰被点 平分，所以 ‎ 由，两式相减可得： ‎ 化简可得：，因为直线l的斜率为，所以 即 所以离心率 ‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的离心率，解题的方法为点差法(一般题目是直线与圆锥曲线相交，出现斜率和中点时就用点差法)，属于中档题目.‎ 三、解答题 ‎16．已知函数 ‎(1)求函数的最小值；(2)解不等式.‎ ‎【答案】（1）5；（2）‎ ‎【解析】试题分析：⑴利用绝对值不等式的性质，求得函数的最小值；‎ ‎⑵方法一：去掉绝对值，写成分段函数的形式，然后求解；方法二：作出函数的图象，数形结合，解不等式 解析：(Ⅰ)因为f(x)＝|2x－1|＋2|x＋2|≥|(2x－1)－2(x＋2)|＝5，‎ 所以 ‎(Ⅱ)解法一：f(x)＝‎ 当x<－2时，由－4x－3<8，解得x>－，即－时，由4x＋3<8，解得x<，即0，∴此方程的两根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2.‎ 由根与系数的关系，得，，即t1，t2同正. ‎ 由直线方程参数的几何意义知,‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参数方程的应用，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.‎ ‎18．已知函数，‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若,求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）减 （2）‎ ‎【解析】（1）由题，先求得函数的导函数，利用导函数的正负求得函数的单调区间；‎ ‎（2）由题，易知的最大值大于等于0即可，由（1）易知的最大值，代入求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题，‎ 当递增；当递减；‎ 所以的单调增区间为，单调减区间为 ‎（2）由题，因为,，即 ‎ 由（1）可得 即 ‎【点睛】‎ 本题考查了导函数的应用，求导判别单调性求最值是解题的关键，属于中档题.‎ ‎19．已知曲线的极坐标方程为，直线，直线．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系．‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程以及曲线的参数方程；‎ ‎（2）已知直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，求的面积．‎ ‎【答案】（1） ； ； 为参数；（2）.‎ ‎【解析】（1）利用直角坐标和极坐标的互化原则直接转化即可；（2）根据极坐标的关系，求解出和，利用三角形面积公式直接求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）直线的直角坐标方程为：‎ 直线的直角坐标方程为：‎ ‎，且 曲线的直角坐标方程为：‎ 即 ‎（2）曲线的极坐标方程为：‎ 当时，‎ 当时，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查极坐标和直角坐标的互化、极坐标应用问题，关键在于能够利用极坐标的求解出三角形两邻边的长度，直接求得结果.‎ ‎20．已知椭圆：（）的离心率为，，，，的面积为1.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）根据离心率为，即，OAB的面积为1，即，椭圆中列方程组进行求解；（Ⅱ）根据已知条件分别求出的值，求其乘积为定值.‎ 试题解析：（Ⅰ）由题意得解得.‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，‎ 设，则.‎ 当时，直线的方程为.‎ 令，得，从而.‎ 直线的方程为.‎ 令，得，从而.‎ 所以 ‎.‎ 当时，，‎ 所以.‎ 综上，为定值.‎ ‎【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、运算求解能力 ‎【名师点睛】解决定值、定点的方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元思想的运用可有效地简化运算.‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）若，证明：当时，；‎ ‎（2）若在只有一个零点，求的值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】分析：(1)先构造函数，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根据单调性证得不等式，(2)研究零点，等价研究的零点，先求导数：，这里产生两个讨论点，一个是a与零，一个是x与2，当时，，没有零点；当时，先减后增，从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得a的值.‎ 详解：（1）当时，等价于．‎ 设函数，则．‎ 当时，，所以在单调递减．‎ 而，故当时，，即．‎ ‎（2）设函数．‎ 在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．‎ ‎（i）当时，，没有零点；‎ ‎（ii）当时，．‎ 当时，；当时，．‎ 所以在单调递减，在单调递增．‎ 故是在的最小值．‎ ‎①若，即，在没有零点；‎ ‎②若，即，在只有一个零点；‎ ‎③若，即，由于，所以在有一个零点，‎ 由（1）知，当时，，所以．‎ 故在有一个零点，因此在有两个零点．‎ 综上，在只有一个零点时，．‎ 点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 ‎(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.‎ ‎(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.‎ ‎(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.‎