【推荐】专题5-3+平面向量的数量积及平面向量的应用-2018年高三数学（文）一轮总复习名师伴学

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‎【真题回放】‎ ‎1.【2017课标II文4】设非零向量，满足则（ ）‎ A. ⊥ B. C. ∥ D. ‎【答案】A ‎【解析】由平方得，即，则，故选A.‎ ‎【考点解读】本题考查了向量数量积，由向量数量积的性质可推断出向量垂直。‎ ‎2.【2017课标1文13】已知向量a=（–1，2），b=（m，1）．若向量a+b与a垂直，则m=________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】由题得，因为，所以 ‎【考点解读】本题考查了平面向量的坐标运算及垂直向量的充要条件，为基础题。‎ ‎3.【2017课标3文13】已知向量，且，则m= .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由题意可得：.‎ ‎【考点解读】本题考查了平面向量垂直的充要条件及方程思想，为基础题。‎ ‎4.【2017北京高考文12】已知点P在圆上，点A的坐标为(-2,0)，O为原点，则的最 大值为_________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【考点解读】本题考查了转化与化归能力，因为是确定的，所以根据向量数量积的几何意义若 最大，即向量在方向上的投影最大，根据数形结合分析可得当点在圆与轴的右侧交点处时最大，根据几何意义直接得到运算结果.‎ ‎5.【2017天津高考文14】在△ABC中，，AB=3，AC=2.若，（），‎ 且，则的值为 . .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由题 ,则；‎ .‎ ‎【考点解读】本题综合考查了向量的加法与数量积运算。需要考生以方程思想为指引，综合分析题目条件，‎ ‎ 利用平面向量基本定理选好基底向量，从而建立关于的方程求解。‎ ‎6.【2017浙江高考文10】如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC， AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记，，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎【答案】C ‎【考点解读】本题以几何图形为背景，通过所给条件结合数量积运算，易得；，‎ 由AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，可求，，进而解得．考查 了平面向量数量积运算的实际运用。‎ 考点分析 考点 了解A 掌握B 灵活运用C 平面向量的数量积 C 数量积的坐标表示 C 用数量积表示两个向量的夹角 B 用数量积判断两个平面向量的垂直关系 C 用向量方法解决简单的问题 B 向量作为高中阶段新学习的概念，它兼具数与形的双重特征。学习中应注意既联系代数，又联系几何，感悟数形结合思想。在高考中平面向量数量积及其应用的考查为高频考点，重点考查向量数量积的定义，运算、求模求夹角求投影、向量的垂直关系、向量与平面几何相结合的综合问题等， 题目以中档题为主。复习中应立足对基本概念的理解。‎ 融会贯通 题型一　平面向量数量积的运算 典例1.（1）(2017陕西省黄陵中学高一月考) 已知‎|a|=3,|b|=4‎，且a与b的夹角θ=‎‎150‎‎0‎，‎ 则a‎⋅‎b等于（ ）‎ A．-6 B.6 C.‎-6‎‎3‎ D.‎‎6‎‎3‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】由平面向量数量积的定义可得：a‎⋅b=3×4×cos‎150‎‎∘‎=3×4×(-‎3‎‎2‎)=-6‎‎3‎ 。‎ ‎（2）(2017银川一中高一期末)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(　　)‎ A．－1 B．0 C．1 D．2‎ ‎【答案】　C ‎ ‎ ‎（3）(2017烟台三中月考)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝(　　)‎ A．－a2 B．－a2 C.a2 D.a2‎ ‎【答案】　D ‎【解析】　由已知条件得·＝·＝a·acos 30°＝a2，故选D.‎ ‎（4）(2017四川南充模拟)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4.若点M，N满足＝3，‎ ＝2，则·＝(　　)‎ A．20 B．15 C．9 D．6‎ ‎【答案】　C ‎【解析】　如图所示，由题设知：‎ ＝＋＝＋，＝－，‎ ‎∴·＝·＝||2－||2＋·－· ‎＝×36－×16＝9. ‎ 解题技巧与方法总结 ‎1．向量数量积的两种计算方法 ‎(1)当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ.‎ ‎(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.‎ ‎2．转化法求数量积 若向量的模与夹角不能确定，则应把向量用已知模或夹角的向量表示，然后再求数量积．‎ ‎【变式训练】‎ ‎（1）（2017南昌中学高一期末）已知向量a，b，则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，故选C。‎ ‎（2）(2016武汉模拟)设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　C ‎（3）（2017宁夏石嘴山中学月考）在菱形ABCD中，若AC＝4，则·＝________.‎ ‎【答案】　－8‎ ‎ ‎ ‎（4）（2017江苏张家港市崇真中学模拟）如图，在四边形ABCD中，‎|AC|=4‎，BA‎⋅BC=12‎，E为AC的 中点．若BE‎=2‎ED，则DA‎⋅‎DC=_______．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】BA‎⋅BC=BE‎2‎-AE‎2‎=BE‎2‎-‎2‎‎2‎=12⇒BE‎2‎=16⇒DE‎2‎=4‎ ‎ 所以DA‎⋅DC=DE‎2‎-AE‎2‎=4-4=0‎ 知识链接：‎ 知识点　平面向量的数量积 ‎1．向量的夹角 定义 图示 范围 共线与垂直 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是a与b的夹角 ‎[0°，180°]‎ ‎∠AOB＝0°或180°⇔a∥b；∠AOB＝90°⇔a⊥b ‎2.平面向量的数量积 定义 ‎ 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a|·|b|·cos θ叫做a与b 的数量积，记作a·b 投影 ‎|a|·cos θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|·cos θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|·cos θ的乘积 ‎3.平面向量数量积的运算律 ‎(1)a·b＝b·a(交换律)． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)．‎ ‎(3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．‎ 题型二　平面向量数量积的性质 ‎●命题角度1　平面向量的模 典例2. （1）（2017江西玉山县一中期末）已知a与b均为单位间向量，它们夹角为‎120‎‎∘‎，则‎|a+2b|=‎（ ）‎ A. ‎7‎ B. ‎10‎ C. ‎4‎ D. ‎‎3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎(a+2b)‎‎2‎‎=‎|a|‎‎2‎+4‎|b|‎‎2‎+4a⋅b=5+4×(-‎1‎‎2‎)=3，|a+2b|=‎‎3‎，选D ‎（2） (2017绍兴一模)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足 b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.‎ ‎【答案】　 ‎ ‎ ‎（3）(2017宝鸡模拟)已知平面向量a·b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，‎ ＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC的中点，则||＝________.‎ ‎【答案】　2‎ ‎【解析】　＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)‎ ‎＝4×＝4， 所以||＝2.‎ ‎●命题角度2　平面向量的夹角 典例3.（4）(2017四川泸州联考)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D．π ‎【答案】　A ‎【解析】 由(a－b)⊥(3a＋2b)得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.‎ 又∵|a|＝|b|，设〈a，b〉＝θ，即3|a|2－|a|·|b|·cos θ－2|b|2＝0，‎ ‎∴|b|2－|b|2·cos θ－2|b|2＝0.∴cos θ＝.又∵0≤θ≤π，∴θ＝ ‎.‎ ‎（5）(2016扬州模拟)设向量a、b的夹角为θ，a＝(2,1)，a＋3b＝(5,4)，则sin θ＝________.‎ ‎【答案】　 ‎●命题角度3　平面向量的垂直 典例4.（6）(2017福建莆田一模)设a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎【答案】　A ‎【解析】　c＝a＋kb＝(1＋k,2＋k)，又b⊥c，所以1×(1＋k)＋1×(2＋k)＝0，解得k＝－.‎ ‎（7）(2017湖北黄石联考)已知向量⊥，||＝3，则·＝________.‎ ‎【答案】　9‎ ‎【解析】　因为⊥，所以·＝·(－)＝·－||2＝0，所以·＝||2＝9，‎ 即·＝9.‎ 解题技巧与方法总结 平面向量数量积求解问题的策略 ‎1．求两向量的夹角：cos θ＝，要注意θ∈[0，π]．‎ ‎2．两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.‎ ‎3．求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：‎ ‎(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.‎ ‎(2)|a±b|＝＝.‎ ‎(3)若a＝(x，y)，则|a|＝.‎ ‎【变式训练】‎ ‎(1)（2017贵州省贵阳市高三适应性考试）已知向量a,b满足‎|a+b|=2‎‎3‎，a·b=2‎，则‎|a-b|=‎（ ）‎ A. 8 B. 4 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可知：‎|a-b|=‎|a+b|‎‎2‎‎-4a⋅‎b=‎12-4×2‎=2‎ .选C ‎（2）（2017江西省玉山中学月考）已知‎|a|=3,|b|=5,‎且a‎⋅b=12‎，则b在a方向上投影为（ ）‎ A. 4 B. ‎2‎‎15‎ C. 3 D. 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】cos〈a,b〉=a‎⋅‎b‎|a|⋅|b|‎=‎‎4‎‎5‎ ， b在a方向上投影为‎|b|cos〈a,b〉=5×‎4‎‎5‎=4‎，选A ‎（3）(2017四川南充模拟)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b 的夹角为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　C ‎（4）（2017银川一中模拟）已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b⊥c，则t＝________.‎ ‎【答案】　2‎ ‎【解析】　|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°.∵c＝ta＋(1－t)b，∴b·c＝ta·b＋(1－t)b2＝t×1×1×＋(1－t)×1＝＋1－t＝1－. 又∵b·c＝0，∴1－＝0，∴t＝2.‎ ‎（5）(2017山东泰安模拟)设单位向量e1，e2的夹角是60°，a＝e1＋e2，b＝e1＋te2，若向量a，b的夹角为锐角，则实数t的取值范围是________．‎ ‎【答案】　(－1,1)∪(1，＋∞)‎ ‎【解析】由题意知a·b>0，即(e1＋e2)·(e1＋te2)>0，化简得t＋>0，解得t>－1，由向量a，b的夹角为锐角，得b≠λa，即t≠1. 综上知，t>－1且t≠1.‎ ‎（6）(2017青岛模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1,2)，又点A(8,0)，B(n，t)，C(ksin θ，t).‎ ‎(1)若⊥a，且||＝||，求向量；‎ ‎(2)若向量与向量a共线，当k>4，且tsin θ取最大值4时，求·.‎ ‎【答案】　（1）＝(24,8)或 (－8，－8)．（2）32.‎ ‎ ‎ 知识链接：‎ 平面向量数量积的性质及其坐标表示；设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．‎ 结论 几何表示 坐标表示 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2‎ 模 ‎|a|＝ ‎|a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b a·b＝0‎ x1x2＋y1y2＝0‎ ‎|a·b|与|a||b|的关系 ‎|a·b|≤|a||b|‎ ‎|x1x2＋y1y2|≤· ‎1．必会结论；(1)当a与b同向时，a·b＝|a||b|.‎ ‎(2)当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. (3)a·a＝a2＝|a|2.‎ ‎2．必清误区；‎ ‎(1)数量积运算律要准确理解、应用，例如，由a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．‎ ‎(2)向量a，b的夹角为锐角，则有a·b>0，若a·b>0，则向量a，b的夹角为锐角或0°.‎ ‎(3)向量a，b的夹角为钝角，则有a·b<0，若a·b<0，则向量a，b的夹角为钝角或180°.‎ 题型三　平面向量的应用 ‎●命题角度1 向量在平面几何中的应用 典例6.（1）(2016桂林模拟)如图，在等腰三角形ABC中，底边BC＝2，＝，＝，若· ‎＝－，则·＝(　　)‎ A．－ B. C．－ D. ‎【答案】　A ‎ ‎ ‎（2）（2017北京石景山区一模）在直角梯形中，点为腰的中点，则．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】以点为原点，为轴，为轴建立直角坐标系，则 ‎,因为，，所以 为腰的中点，则点到的距离等于到的距离为，‎ 所以，所以.‎ 解题技巧与方法总结 向量与平面几何综合问题的解法 ‎1．坐标法；把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．‎ ‎2．基向量法；适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．‎ ‎●命题角度2 平面向量在三角函数中的应用 典例7. (3)(2017合肥模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若20a＋15b＋12c＝0，则△ABC最小角的正弦值等于(　　)‎ A.　　　　　　　　　　B. C. D. ‎【答案】　C ‎ ‎ ‎（4）（2017河北正定县中学模拟）设a＝(cos α，(λ－1)sin α)，b＝(cos β，sin β)λ＞0,0＜α＜β＜是平面上的两个向量，若向量a＋b与a－b互相垂直．‎ ‎①求实数λ的值；‎ ‎②若a·b＝，且tan β＝，求tan α的值．‎ ‎【答案】　①λ＝2 ② ‎【解析】① 由题设可得；(a＋b)·(a－b)＝0，即；|a|2－|b|2＝0，代入a，b坐标，‎ 得；cos2α＋(λ－1)2sin2α－cos2β－sin2β＝0，‎ ‎∴(λ－1)2sin2α－sin2α＝0，∴(λ2－2λ)sin2α＝0.‎ ‎∵0＜α＜，∴sin α≠0，∴λ2－2λ＝0，∴λ＝2(λ＞0)．‎ ‎② 由①知，a·b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝，‎ ‎∵0＜α＜β＜，∴－＜α－β＜0， ∴sin(α－β)＝－，tan(α－β)＝－，‎ ‎∴tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝，‎ ‎∴tan α＝.‎ 解题技巧与方法总结 利用向量求解三角函数问题的一般思路 ‎1．求三角函数值，一般利用已知条件将向量关系转化为三角函数关系式，利用同角三角函数关系式及三角函数中常用公式求解．‎ ‎2．求角时通常由向量转化为三角函数问题，先求值再求角．‎ ‎3．解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想，即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题．‎ ‎●命题角度3 平面向量在解析几何中的应用 典例8.（5）（2017陕西咸阳联考）在平面直角坐标系中，O为原点，已知两点A(1，－2)，B(－1,4)，若点C满足，其中0≤α≤1且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为________．‎ ‎【答案】3x＋y－1＝0(－1≤x≤1)‎ ‎（6）(2016杭州模拟)已知两定点M(4,0)，N(1,0)，动点P满足||＝2||.‎ ‎(1)求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎(2)若点G(a,0)是轨迹C内部一点，过点G的直线l交轨迹C于A、B两点，令f(a)＝·，求f(a)的取值范围．‎ ‎【答案】(1) x2＋y2＝4 （2）[－4,0)‎ ‎【解析】 (1)设P的坐标为(x，y)，则＝(4－x，－y)，＝(1－x，－y)，‎ ‎∵动点P满足||＝2||，∴＝2，整理得x2＋y2＝4.‎ ‎(2)(a)当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x＝a，不妨设A在B的上方，‎ 直线方程与x2＋y2＝4联立，可得A(a，)，B(a，－)，‎ ‎∴f(a)＝·＝(0，)·(0，－)＝a2－4；‎ ‎(b)当直线l的斜率存在时，设直线的方程为y＝k(x－a)，‎ 代入x2＋y2＝4，整理可得(1＋k2)x2－2ak2x＋(k2a2－4)＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，‎ ‎∴f(a)＝·＝(x1－a，y1)·(x2－a，y2)＝x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋k2(x1－a)(x2－a)＝a2－4.‎ 由(a)(b)得f(a)＝a2－4，∵点G(a,0)是轨迹C内部一点，‎ ‎∴－20)，因为＝＋，＝＋＝－，‎ 于是·＝(＋)·＝·－2＋2＝－a2＋a＋1，‎ 故－a2＋a＋1＝1，解得a＝，所以AB＝.‎ ‎10.（2017四川外语学院重庆第二外国语学校高三月考）已知向量，‎ 则__________．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】由题意可得： ，结合向量垂直的充要条件有： ，解得： .‎ 考点：向量坐标运算与垂直性质. ‎ ‎11．(2016武汉模拟)平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是______________．‎ ‎【答案】　x＋2y－4＝0‎ ‎【解析】　由·＝4，得(x，y)· (1,2)＝4，即x＋2y＝4.‎ 考点：向量坐标运算与解析几何.‎ ‎12.(2017银川模拟)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(，－1)，则|2a－b|的最大值为________．‎ ‎【答案】4‎ 考点：向量坐标运算与三角函数.‎ ‎13.(2017泰安模拟)如图在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·＝______________．‎ ‎【答案】　 ‎【解析】·＝||·||·cos∠CAD.∵||＝1，∴·＝||·cos∠CAD.‎ ‎∵∠BAC＝＋∠DAC，∴cos∠CAD＝sin∠BAC.在△ABC中，‎ 由正弦定理＝，得||·sin∠BAC＝||·sin B，‎ ‎∴·＝||·sin∠BAC＝||·sin B＝||·＝.‎ 考点：向量数量积与解三角形 ‎14.（2017上海市宝山区高三二模）如图，在同一平面内，点位于两平行直线同侧，且到 的距离分别为．点分别在上， ，则的最大值为_____________．‎ ‎【答案】 考点：向量数量积与解析几何 ‎15．(2017潍坊模拟)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(－cos x，cos x)，c＝(－1,0)．‎ ‎(1)若x＝，求向量a与c的夹角；‎ ‎(2)当x∈时，求函数f(x)＝2a·b＋1的最大值，并求此时x的值．‎ ‎【答案】（1） （2）x＝时，f(x)max＝1.‎ ‎【解析】(1)设a与c夹角为θ，当x＝时，a＝，‎ cos θ＝＝＝－.∵θ∈[0，π]，∴θ＝‎ .‎ ‎(2)f(x)＝2a·b＋1＝2(－cos2x＋sin xcos x)＋1＝2sin xcos x－(2cos2x－1)＝sin 2x－cos 2x＝sin，‎ ‎∵x∈，∴2x－∈，故sin∈，‎ ‎∴当2x－＝，即x＝时，f(x)max＝1.‎ 考点：向量数量积与三角函数 ‎16.（2016柳州模拟）已知向量m＝(3sin A，cos A)，n＝，m·n＝sin 2C，且A、B、C分别为△ABC三边a、b、c所对的角．‎ ‎(1)求角C的大小；‎ ‎(2)若sin A，sin C，sin B成等比数列，且·＝18，求c的值．‎ ‎【答案】（1） （2）x＝时，f(x)max＝1.‎ 考点：向量数量积与解三角形 ‎17.（2017衡水金卷）在直角坐标系中，已知点，，，点在三边围成的区域（含边界）上.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）设，用，表示，并求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2），．‎ 考点：向量的综合应用问题.‎ ‎18.（2017河北石家庄模拟）平面上的两个向量，满足，，且，.向量，且.‎ ‎（1）如果点为线段的中点，求证:；‎ ‎（2）求的最大值，并求此时四边形面积的最大值.‎ ‎【答案】 （1）证明见解析； （2），．‎ ‎ ‎ 考点：向量的综合应用问题.‎ ‎ ‎