2018-2019学年辽宁省沈阳市郊联体高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年辽宁省沈阳市郊联体高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年辽宁省沈阳市郊联体高二上学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．抛物线的准线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】抛物线可化为，焦点在轴上，抛物线的准线方程是，故选D.‎ ‎2．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为12，18，则输出的a的值为（ ）‎ A．2 B．4 C．6 D．12‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据程序框图所示代入a,b分别为12,18运行即可.‎ ‎【详解】‎ 输入a,b,运行到判断框“”处结果为“是”,‎ 进而运行到判断框“”处结果为“否”.‎ 执行“”.此时.‎ 运行到判断框“”处结果为“是”,‎ 进而运行到判断框“”处结果为“是”.‎ 执行“”.此时 运行到判断框“”处结果为“否”,‎ 输出 “”.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了程序框图的运用,属于基础题型.‎ ‎3．有下列说法：‎ ‎①一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男、女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是12人；‎ ‎②在某项测量中，测量结果X服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若X在（0，1）内取值的概率为0.4，则X在（0，2）内取值的概率为0.8．‎ ‎③废品率x%和每吨生铁成本y（元）之间的回归直线方程为2x+256，这表明废品率每增加1%，生铁成本大约增加258元；‎ ‎④为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名未使用血清和使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防作用”，利用2×2列联表计算得K2的观测值k≈3.918，经查对临界值表知P（K2≥3841）≈0.05，由此，得出以下判断：在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“这种血清能起到预防的作用”，‎ 正确的有（ ）‎ A．①②④ B．①②③ C．①③ D．③④‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据统计与案例的方法逐个选项判断即可.‎ ‎【详解】‎ ‎①∵田径队有男女运动员98人,其中男运动员有56人, ∴这支田径队有女运动员98-56=42人, 用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为28的样本, ∴每个个体被抽到的概率是 , ∵田径队有女运动员42人, ∴女运动员要抽取.‎ 故①正确； ②根据正态分布的规律,测量结果X服从正态分布N（1,σ2）（σ＞0）,若X在（0,1）内取值的概率为0.4,则X在（0,2）内取值的概率为.‎ 故②正确； ③废品率和每吨生铁成本（元）之间的回归直线方程为 这表明废品率每增加,生铁成本每吨大约增加2元,‎ 故③不正确； ④根据独立性检验的方法与结论可知,④正确． 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分层抽样,正态分布与线性回归方程和独立性检验的基础知识,属于基础题型.‎ ‎4．下列命题中正确的是（ ）‎ A．若（x﹣3）（x﹣7）≠0，则x≠3或x≠7‎ B．以y轴为对称轴的等腰三角形，这个三角形底边的中线方程是x＝0‎ C．“若|x|+y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是“若x，y全不为0，则|x|+y2≠0”‎ D．命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“∀x∈R，2x≤0”‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据对应知识点逐个选项判断即可.‎ ‎【详解】‎ 对A,“若,则或”的逆否命题为“若且,则”正确.故原命题正确.‎ 对B, 三角形底边的中线为线段,纵坐标有取值范围,故B错误.‎ 对C, “若,则全为0”的逆否命题是“若不全为0,则”,‎ 故C错误.‎ 对D, 命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“”,故D错误.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了命题真假的判断,属于基础题型.‎ ‎5．设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积等于（　　）‎ A．5 B．4 C．3 D．1‎ ‎【答案】B ‎【解析】依题意可设丨PF2丨＝x，则丨PF1丨＝2x ‎，利用椭圆的定义与其标准方程可求得x的值，从而可知丨PF1丨与丨PF2丨，并能判断△PF1F2的形状，从而可求得△PF1F2的面积．‎ ‎【详解】‎ 设丨PF2丨＝x，则丨PF1丨＝2x，依题意，丨PF1丨+丨PF2丨＝x+2x＝3x＝2a＝6，‎ ‎∴x＝2，2x＝4，‎ 即丨PF2丨＝2，丨PF1丨＝4，又|F1F2丨＝22，‎ ‎∴，‎ ‎∴△PF1F2为直角三角形，‎ ‎∴△PF1F2的面积为S丨PF1丨丨PF2丨2×4＝4．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆的定义与其标准方程，判断△PF1F2为直角三角形是关键，属于中档题．‎ ‎6．两枚均匀的骰子一起投掷，记事件A＝{至少有一枚骰子6点向上}，B＝{两枚骰子都是6点向上}，则P（B|A）＝（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据条件概率的方法,求出基本事件的总数与满足条件的基本事件数再求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由题,事件所有的基本事件一共有个,其中满足“两枚骰子都是6点向上”的基本事件一共只有两枚骰子均为6点一种情况.故 ‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了条件概率的计算,属于基础题型.‎ ‎7．已知一组数据1，3，5，7的方差为n，则在二项式（2x）n的展开式所有项中任取一项，取到有理项的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】求出方差n再代入 ,求得展开式中的项数,再求有理项的个数即可.‎ ‎【详解】‎ ‎1,3,5,7的平均数 ，故方差 ‎.‎ 故二项式的展开项共6项.‎ 其中通项公式 . ‎ 其中有理项满足 为整数,即满足.‎ 故展开式所有项中任取一项,取到有理项的概率为 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了方差的运算以及二项式展开式的应用,需要根据题意列出通项公式中某项满足的条件再求解即可.属于中等题型.‎ ‎8．过抛物线y2＝﹣8x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x＝1的距离之和等于5，则这样的直线（ ）‎ A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在 ‎【答案】D ‎【解析】抛物线焦点为,再设,则可得它们到直线x＝1的距离之和为,再联立方程利用韦达定理求是否有满足即可.‎ ‎【详解】‎ 设,焦点.‎ 则A,B两点到直线x＝1的距离之和为,即.‎ 当直线垂直于轴时, 显然不满足.‎ 设,联立.‎ 故.即无解.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与抛物线的位置关系,需要设直线联立方程进行求解分析,属于中等题型.‎ ‎9．已知F是双曲线1（a＞0，b＞0）的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，点E在以AB为直径的圆外，则该双曲线的离心率e的取值范围为（ ）‎ A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（1，1） D．（1，2）‎ ‎【答案】D ‎【解析】点E在以AB为直径的圆外可知到的距离大于通经长的一半,再列式求解不等式即可.‎ ‎【详解】‎ 由题得为通经,故,又点E在以AB为直径的圆外可知到的距离大于通经长的一半,即 故,又,故.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线离心率的问题,需要根据题意找出对应的不等式关系再求解即可.属于中等题型.‎ ‎10．设A，B是椭圆C：1长轴的两个端点，若C上存在点P满足∠APB＝120°，则k的取值范围是（ ）‎ A．（0，]∪[12，+∞） B．（0，]∪[6，+∞）‎ C．（）∪(4,12） D．（0，]∪[6，+∞）‎ ‎【答案】A ‎【解析】分焦点在轴与轴上两种情况进行讨论,再根据在短轴顶点处取得最大值进行分析即可.‎ ‎【详解】‎ 若C上存在点P满足∠APB＝120°,则只需当点P在短轴顶点时.‎ 故分析长半轴与短半轴的关系即可.‎ 当焦点在轴时,若则 ‎ 当焦点在轴时,若则.故 ‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆中的角度最值问题,需要根据考虑当角度最大时的点P位置,同时根据题意找到对应的不等式关系,属于中等题型.‎ ‎11．设椭圆的方程为1，直线AB不经过原点，而且与椭圆相交于A，B两点，M为AB的中点．若直线AB的斜率为1，则直线OM的斜率不可能是（ ）‎ A． B． C． D．﹣1‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求得为定值,再表达出的表达式分析即可.‎ ‎【详解】‎ 设,则,又 ,‎ 即.故.即 又,故,因为,故.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与椭圆相交的定值问题,需要根据进行求解,属于中等题型.‎ ‎12．点P为双曲线1上一点，且点P在第一象限．记点P到两条渐近线的距离分别为d1和d2，若d1∈[]，则d2的取值范围（ ）‎ A．（0，） B．[，+∞） C．[] D．[，+∞）‎ ‎【答案】C ‎【解析】先证明为定值,再根据求的范围即可.‎ ‎【详解】‎ 设,则.又渐近线为,即.‎ 故.即 又,故.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线中的定值问题,属于中等题型.‎ 二、填空题 ‎13．已知双曲线1（b＞0）的一条渐近线方程为3x+2y＝0，则b＝_____．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】根据渐近线方程求解即可.‎ ‎【详解】‎ 的渐近线方程为,又斜率为,故.‎ 故答案为：6‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的渐近线方程,属于基础题型.‎ ‎14．由命题“存在x∈R，使x2+4x+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求得否命题为真,再根据恒成立问题求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由命题“存在x∈R,使x2+4x+m≤0”是假命题知“对于任意的,”,故判别式.故实数m的取值范围为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了特称命题的否定与恒成立问题,属于基础题型.‎ ‎15．小明在书写英文单词“banana”时，只记得该单词由3个a，2个n，1个b组成，则小明书写正确的概率为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据排列组合的方法求得所有可能的情况总数即可.‎ ‎【详解】‎ 所有组合的可能情况：先排3个a,再排2个n,再排1个b.‎ 故共有.故小明书写正确的概率为 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了排列组合的基本问题,属于基础问题.‎ ‎16．已知为抛物线的焦点， 为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：∵|AF|=4，由抛物线的定义得，∴A到准线的距离为4，即A点的横坐标为-2，‎ 又点A在抛物线上，∴从而点A的坐标A（-2，4）；坐标原点关于准线的对称点的坐标为B（4，0）,则|PA|+|PO|的最小值为：|AB|=,故答案.‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ 三、解答题 ‎17．设命题p：实数m满足使方程1，其中a＞0为双曲线：命题q：实数m满足．‎ ‎（1）若a＝1且p∧q为真，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）2＜m＜3（2）{a|1＜a≤2}‎ ‎【解析】(1)分别求得命题对应的范围,再求交集即可.‎ ‎(2)求出对应的范围,再根据充分不必要条件的列出区间端点满足的关系求解不等式即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由方程1,其中a＞0为双曲线,得（3a﹣m）（a﹣m）＜0,又a＞0,所以a＜m＜3a,‎ 当a＝1时,1＜m＜3,即p为真时,实数m的取值范围是1＜m＜3；‎ q为真时实数m满足．‎ 即q为真时实数m的取值范围是2＜m≤3；‎ 若p∧q为真,则p真且q真,所以实数m的取值范围是2＜m＜3．‎ ‎（2）若￢p是￢q的的充分不必要条件,即q是p的的充分不必要条件,‎ 即等价于q⇒p,p推不出q；‎ 设A＝{m|a＜m＜3a},B＝{m|2＜m≤3},则B⫋A；‎ 则a≤2,且3a＞3,‎ 所以实数a的取值范围是：{a|1＜a≤2}．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了命题的真假与双曲线的标准方程和分式不等式的求解与集合间的基本关系等.属于中等题型 ‎18．某高校在2018年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，折合成标准分后，最高分是10分．按成绩共分成五组：第一组[0，2），第二组[2，4），第三组[4，6），第四组[6，8），第五组[8，10），得到的频率分布直方图如图所示：‎ ‎（1）分别求第三，四，五组的频率；‎ ‎（2）该学校在第三，四，五组中用分层抽样的方法抽取6名同学．‎ ‎①已知甲同学和乙同学均在第三组，求甲、乙同时被选中的概率 ‎②若在这6名同学中随机抽取2名，设第4组中有X名同学，求X的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（1）第三组的频率是0.3，第四组的频率是0.2，第五组的频率是0.1（2）①②详见解析 ‎【解析】(1)根据频率等于对应的矩形面积求解即可.‎ ‎(2)用分层抽样的方法求得在第三,四,五组中对应的人数,再利用排列组合的方法求解概率与分布列即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）第三组的频率是0.150×2＝0.3,‎ 第四组的频率是0.100×2＝0.2,‎ 第五组的频率是0.050×2＝0.1,‎ ‎（2）①由（I）可知,第三,四,五组所占的比例为3：2：1,在分层抽样的过程中第三组应抽到6×0.5＝3个,‎ 而第三组共有100×0.3＝30个,‎ 所以甲乙两名同学同时被选中的概率为,‎ ‎②第四组共有X名同学,所以X的取值为0,1,2‎ P（X＝0）；P（X＝1）；P（X＝2）；‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P E（X）＝0．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了频率分布直方图中概率的求法以及分布列与数学期望的求法,属于中等题型.‎ ‎19．“新车嗨翻天!首付3000元起开新车”这就是毛豆新车网打出来的广告语．某人看到广告，兴奋不已，计划于2019年1月在该网站购买一辆某品牌汽车，他从当地了解到近五个月该品牌汽车实际销量如表：‎ 月份 ‎2018.08‎ ‎2018.09‎ ‎2018.10‎ ‎2018.11‎ ‎2018.12‎ 月份编号t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 销量y（万辆）‎ ‎0.5‎ ‎0.6‎ ‎1‎ ‎1.4‎ ‎1.7‎ ‎（1）经分析，可用线性回归模型拟合当地该品牌汽车实际销量y（万辆）与月份编号t之间的相关关系．请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程，并估计2019年1月份该品牌汽车的销量：‎ ‎（2）为了增加销量，厂家和毛豆新车网联合推出对购该品牌车进行补贴．已知某地拟购买该品牌汽车的消费群体十分庞大，某调研机构对其中的200名消费者的购车补贴金额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：‎ 补贴金额预期值 ‎[1，2）‎ ‎[2，3）‎ ‎[3，4）‎ ‎[4，5）‎ ‎[5，6）‎ ‎[6，7）‎ 区间（万元）‎ 频数 ‎20‎ ‎60‎ ‎60‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎10‎ 将频率视为概率，现用随机抽样方法从该地区拟购买该品牌汽车的所有消费者中随机抽取3人，记被抽取3人中对补贴金额的心理预期值不低于3万元的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）‎ 参考公式及数据：①回归方程，其中，；②．‎ ‎【答案】（1）y关于t的线性回归方程为y＝0.32t+0.08，2019年1月份当地该品牌新能源汽车的销量约为2万辆（2）详见解析 ‎【解析】(1)分别求得,进而求得,再代入样本中心点求即可.‎ ‎(2)根据二项分布定理求解分布列与数学期望即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）,,‎ ‎,,‎ 则y关于t的线性回归方程为y＝0.32t+0.08,‎ 当t＝6时,y＝2.00,‎ 即2019年1月份当地该品牌新能源汽车的销量约为2万辆．‎ ‎（2）根据给定的频数表可知,任意抽取1名拟购买该品牌汽车的消费者,对补贴金额的心理预期值 不低于3万元的概率为0.6,‎ 由题意可知ξ～（3,0.6）,‎ P（ξ＝0）0.064,‎ P（ξ＝1）0.288,‎ P（ξ＝2）0.432,‎ P（ξ＝3）0.216,‎ 分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.064‎ ‎0.288‎ ‎0.432‎ ‎0.216‎ E（ξ）＝3×0.6＝1.8．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线性回归方程与二项分布的分布列与数学期望,属于中等题型.‎ ‎20．已知动圆M经过点F（1，0），且与直线l：x＝﹣1相切，动圆圆心M的轨迹记为曲线C ‎（1）求曲线C的轨迹方程 ‎（2）若点P在y轴左侧（不含y轴）一点，曲线C上存在不同的两点A、B，满足PA，PB的中点都在曲线C上，设AB中点为E，证明：PE垂直于y轴．‎ ‎【答案】（1）y2＝4x（2）证明见解析 ‎【解析】(1)利用圆的半径相等列式化简方程即可.‎ ‎(2)设A（,y1）,B（,y2）,再求得中点,代入抛物线方程,再利用方程的根方法求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设圆心M的坐标（x,y）,由题意得：|MF|等于到直线l的距离,∴|x+1|整理得：y2＝4x,‎ 所以曲线C的轨迹方程为：y2＝4x；‎ ‎（2）设P（x0,y0）,由（1）设A（,y1）,B（,y2）,‎ AB的中点E（xE,yE）,则yE,‎ 因为PA的中点在抛物线上,‎ 所以（）2＝4•,即：y12﹣2y0y1+8x0﹣y02＝0；‎ 同理可得PB的中点也在抛物线上可得：y22﹣2y0y2+8x0﹣y02＝0,‎ 所以y1,y2是方程：y2﹣2y0y+8x0﹣y02＝0两个不同的根,‎ ‎∴y1+y2＝2y0,‎ 所以yE＝y0,‎ ‎∴P与E的纵坐标相同,‎ 所以PE垂直于y轴．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的定义以及抛物线中的综合问题,需要设抛物线上的点,利用方程化简求解,属于中等题型.‎ ‎21．已知点E（﹣4，0）和F（4，0），过点E的直线l与过点F的直线m相交于点M，设直线l的斜率为k1，直线m的斜率为k2，如果k1•k2．‎ ‎（1）记点M形成的轨迹为曲线C，求曲线C的轨迹方程．‎ ‎（2）已知P（2，m）、Q（2，﹣m）（m＞0）是曲线C上的两点，A，B是曲线C上位于直线PQ两侧的动点，当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）（x≠±4）（2）直线AB的斜率为定值，详见解析 ‎【解析】(1)设点,再利用k1•k2求得关于的方程即可.‎ ‎(2)由∠APQ＝∠BPQ可知设直线PA的斜率为k,则PB的斜率为﹣k,再设直线PA的直线方程与椭圆联立,求得的坐标,再同理求得的坐标,再表达直线AB的斜率进行化简求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设所求动点A（x,y）,由,,得,‎ 又,∴,即（x≠±4）．‎ 即点A的轨迹方程为（x≠±4）；‎ ‎（2）当∠APQ＝∠BPQ,则PA、PB的斜率之和为0,设直线PA的斜率为k,‎ 则PB的斜率为﹣k,‎ 直线PA的直线方程为y﹣3＝k（x﹣2）,‎ 由,整理得（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48＝0,‎ ‎∴,‎ 同理直线PB的直线方程为y﹣3＝﹣k（x﹣2）,‎ 可得．‎ ‎∴,,‎ ‎∴,‎ ‎∴直线AB的斜率为定值．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了轨迹方程的求法以及直线与椭圆的位置关系中的定值问题,需要根据题意设直线联立方程,将条件转化为斜率的关系,再求交点的坐标与斜率代入韦达定理等证明,属于难题.‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），将C上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的3倍，得曲线C1．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求C1的极坐标方程 ‎（2）设M，N为C1上两点，若OM⊥ON，求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】(1)根据线性变换求出曲线的参数方程,再化简成极坐标方程即可.‎ ‎(2)利用极坐标的几何意义, 设M（ρ1,θ）,N（）,再代入求的值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）曲线C的参数方程为（α为参数）,‎ 将C上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的3倍,得曲线C1．‎ 转化为,整理为,转换为极坐标方程为．‎ ‎（2）M,N为C1上两点,若OM⊥ON,‎ 设M（ρ1,θ）,N（）,‎ 所以,,‎ 所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了极坐标与参数方程和直角坐标的互化,同时也考查了极坐标的几何意义,属于中等题型.‎