2020届高三数学（理）“大题精练”5

2020届高三数学（理）“大题精练”5

‎2020届高三数学（理）“大题精练”5‎ ‎17．（12分）已知,数列、满足:,,记.‎ ‎（1）若，，求数列、的通项公式；‎ ‎（2）证明：数列是等差数列；‎ ‎（3）定义，在（1）的条件下，是否存在，使得有两个整数零点，如果存在，求出满足的集合，如果不存在，说明理由.‎ ‎18．（12分）如图，在四面体中，平面，.，.M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若二面角的大小为60°，求的大小.‎ ‎19．（12分）某工厂生产某种产品，为了控制质量，质量控制工程师要在产品出厂前对产品进行检验．现有（且）份产品，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验次；（2）混合检验，将这份产品混合在一起作为一组来检验．若检测通过，则这份产品全部为正品，因而这份产品只要检验一次就够了；若检测不通过，为了明确这份产品究竟哪几份是次品，就要对这份产品逐份检验，此时这份产品的检验次数总共为次．假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果是正品还是次品都是独立的，且每份样本是次品的概率为．‎ ‎（1）如果，采用逐份检验方式进行检验，求检测结果恰有两份次品的概率；‎ ‎（2）现对份产品进行检验，运用统计概率相关知识回答：当和满足什么关系时，用混合检验方式进行检验可以减少检验次数？‎ ‎（3）①当（且）时，将这份产品均分为两组，每组采用混合检验方式进行检验，求检验总次数的数学期望；‎ ‎②当（，且，）时，将这份产品均分为组，每组采用混合检验方式进行检验，写出检验总次数的数学期望（不需证明）．‎ ‎20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一动点，当的面积最大时，其内切圆半径为，设过点的直线被椭圆截得线段,‎ 当轴时，.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若点为椭圆的左顶点，是椭圆上异于左、右顶点的两点，设直线的斜率分别为，若，试问直线是否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.‎ ‎21．（12分）已知函数.‎ ‎（1）当时，不等式成立，求整数的最大值；（参考数据：）；‎ ‎（2）证明：当时，.‎ ‎22．（10分）在极坐标系中，已知圆的圆心，且圆经过点.‎ ‎（1）求圆的普通方程；‎ ‎（2）已知直线的参数方程为（为参数），，点，直线交圆于两点，求的取值范围.‎ ‎2020届高三数学（理）“大题精练”5‎ ‎17．（12分）已知,数列、满足:,,记 ‎.‎ ‎（1）若，，求数列、的通项公式；‎ ‎（2）证明：数列是等差数列；‎ ‎（3）定义，在（1）的条件下，是否存在，使得有两个整数零点，如果存在，求出满足的集合，如果不存在，说明理由.‎ 解：（1），，‎ 由累加法得 ‎ ‎.‎ ‎（2）‎ 是公差为1的等差数列. ‎ ‎(3)由（1）（2）得， ‎ 函数的零点为，要想为整数，则必为完全平方数，不妨设，此时，‎ 又因为是连续的两个整数 能被2整除，‎ 即函数的零点为整数， ‎ 所求的集合为.‎ ‎18．（12分）如图，在四面体中，平面，.，.M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若二面角的大小为60°，求的大小.‎ 解：（1）证明：如图，取的中点O，以O为原点，，所在射线y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.‎ 由题意知 设点C的坐标为，‎ 因为，‎ 所以 因为点M为的中点，故 又点P为的中点，故 所以，‎ 所以.‎ ‎（2）解：设为平面的一个法向量 由，‎ 知 取，得.‎ 又平面的一个法向量为，于是 即.①‎ 又，所以，‎ 故 即.②‎ 联立①②，解得（舍去）或.‎ 所以.‎ 又是锐角，所以.‎ ‎19．（12分）某工厂生产某种产品，为了控制质量，质量控制工程师要在产品出厂前对产品进行检验．现有（且）份产品，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验次；（2）混合检验，将这份产品混合在一起作为一组来检验．若检测通过，则这份产品全部为正品，因而这份产品只要检验一次就够了；若检测不通过，为了明确这份产品究竟哪几份是次品，就要对这份产品逐份检验，此时这份产品的检验次数总共为次．假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果是正品还是次品都是独立的，且每份样本是次品的概率为．‎ ‎（1）如果，采用逐份检验方式进行检验，求检测结果恰有两份次品的概率；‎ ‎（2）现对份产品进行检验，运用统计概率相关知识回答：当和满足什么关系时，用混合检验方式进行检验可以减少检验次数？‎ ‎（3）①当（且）时，将这份产品均分为两组，每组采用混合检验方式进行检验，求检验总次数的数学期望；‎ ‎②当（，且，）时，将这份产品均分为组，每组采用混合检验方式进行检验，写出检验总次数的数学期望（不需证明）．‎ 解：（1）如果,采用逐份检验方式,设检测结果恰有两份次品的概率为 检测结果恰有两份次品的概率．‎ ‎（2）记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为,由已知得,的所有可能取值为 ‎,‎ ‎=‎ 要减少检验次数,则,则 ‎∴,,即,‎ ‎（3）①两组采用混合检验的检验次数分别为,,则由（2）知,‎ ‎,,‎ ‎②设这组采用混合检验的检验次数分别为,,,,,,且检验总次数,‎ ‎,‎ ‎,‎ 所以检验总次数的数学期望．‎ ‎20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一动点，当的面积最大时，其内切圆半径为，设过点的直线被椭圆截得线段,‎ 当轴时，.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若点为椭圆的左顶点，是椭圆上异于左、右顶点的两点，设直线的斜率分别为，若，试问直线是否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.‎ 解：（1）由题意及三角形内切圆的性质可得，得①‎ 将代入，结合②，得，‎ 所以③，由①②③得 故椭圆的标准方程为 ‎（2）设点的坐标分别为，.‎ ‎①当直线的斜率不存在时，由题意得或，‎ 直线的方程为 ‎②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ 联立得，消去得，‎ 由，得 ‎）‎ 由可得，‎ 得，‎ 整理得 由（1）和（2）得，解得或 当时，直线的方程为，过定点，不合题意； ‎ 当时，直线的方程为，过定点，‎ 综上直线过定点，定点坐标为.‎ ‎21．（12分）已知函数.‎ ‎（1）当时，不等式成立，求整数的最大值；（参考数据：）；‎ ‎（2）证明：当时，.‎ 解：（1）当时,,‎ 令,则,‎ 因此在上为增函数,‎ 又,‎ ‎∴使得,即,‎ 当时,,为减函数；当时,,为增函数；‎ ‎∴,所以整数的最大值为3‎ ‎（2）法一：要证,即证,‎ 令,则,‎ 令,则,,‎ ‎∵,∴在上为增函数,又,∴,‎ ‎∴在上为增函数,又,∴,‎ ‎∴在上为增函数,又,∴,即,‎ ‎∴在上为增函数,∴,故.‎ ‎22．（10分）在极坐标系中，已知圆的圆心，且圆经过点.‎ ‎（1）求圆的普通方程；‎ ‎（2）已知直线的参数方程为（为参数），，点，直线交圆于两点，求的取值范围.‎ 解：（1）∵ 的直角坐标为， 的直角坐标为，‎ ‎∴ 圆C的半径为，∴ 圆C的直角坐标方程为.‎ ‎（2）将代入圆C的直角坐标方程，‎ 得，即，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ .‎ ‎∵ ，∴ ，∴ ，‎ 即弦长的取值范围是.‎