浙江专版2020届高考数学一轮复习 单元检测二不等式
单元检测二 不等式
(时间：120分钟 满分：150分)
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2018·宁波九校联考)已知a>b，则下列不等式成立的是( )
A.< B．2－a<2－b
C．a2>b2 D．ac≥bc
答案 B
解析 A中，当a＝2，b＝－3时，<不成立；B中，由a>b，得－a<－b，所以2－a<2－b，故B正确；C中，当a＝1，b＝－1时，a2>b2不成立；D中，当c<0时，ac≥bc不成立，故选B.
2．(2018·杭州质检)若关于x的不等式mx－2>0的解集是{x|x>2}，则实数m等于( )
A．－1B．－2C．1D．2
答案 C
解析 当m>0时，由mx－2>0得x>；
当m<0时，由mx－2>0得x<；
当m＝0时，不等式显然不成立，
因为不等式的解集为{x|x>2}，
所以m>0且＝2，解得m＝1，故选C.
3．(2019·诸暨模拟)已知|x－a|
0表示的区域在直线x－2y＋6＝0的( )
A．右上方B．右下方C．左上方D．左下方
答案 B
解析 点(0,0)满足x－2y＋6>0，且点(0,0)在直线x－2y＋6＝0的右下方，所以不等式x－2y＋6>0表示的平面区域在直线x－2y＋6＝0的右下方，故选B.
5．(2018·湖州、衢州、丽水三地市质检)已知实数x，y满足则2y－x的最大值是( )
A．－2B．－1C．1D．2
答案 C
解析 在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包含边界)，由图易得当目标函数z＝2y－x经过平面区域内的点A(1,1)时，z＝2y－x取得最大值，所以2y－x的最大值为2×1－1＝1，故选C.
6．已知集合M＝{(x，y)|x－y≤0，x＋y≥0，y≤a}，其中a>0，若平面点集N＝{(x＋y，x－y)|(x，y)∈M}所表示的平面区域的面积为2，则a的值为( )
A．1B．2C．3D．4
答案 A
解析 设x＋y＝X，x－y＝Y，所以平面点集N可化为{(X，Y)|Y≤0，X≥0，X－Y≤2a}，它所表示的平面区域如图所示，其为一个等腰直角三角形，腰长为2a(a>0)，故其面积S＝2＝×2a×2a，解得a＝1.
7．已知a>1，x，y满足约束条件若目标函数z＝的最大值小于1，则实数a的取值范围为( )
A．(1,2) B．(1,1＋)
C．(1＋，＋∞) D．(2，＋∞)
答案 B
解析 由已知约束条件作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，而目标函数z＝＝
eq f(y,x＋f(1,a))的几何意义为可行域内的点与C连线的斜率，连接AC，此时直线的斜率最大，可得A，由kAC＝＝<1，a>1，则10时，作出不等式组所表示的平面区域，如图(3)中的阴影部分所示，过A作AB垂直于直线x＋ay＝0，垂足为B，此时的最小值为|AB|，
根据题意，|AB|＝，
由点到直线的距离公式得，|AB|＝＝，所以a＝±2，
又a>0，所以a＝2.故选D.
10．已知实数x>0，y>0，x＋4y＝2，若＋(m>0)的最小值为1，则m等于( )
A．1B.C．2D．2
答案 C
解析 ∵x＋4y＝2，x＋4y＝(x＋1)＋(my＋1)－，
∴(x＋1)＋(my＋1)＝2＋>0，
∴由[(x＋1)＋(my＋1)]
＝1＋＋＋·≥1＋＋2
(当且仅当m(x＋1)2＝4(my＋1)2时取等号)，
得＋≥.
根据题意，知＝1，得m＝2.
第Ⅱ卷(非选择题 共110分)
二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)
11．不等式组的解集为________．
答案 {x|10等价于(|x|＋2)(|x|－1)>0等价于|x|>1，
根据绝对值不等式以及二次不等式，可知14的解集为{x|x<1或x>b}．
(1)求a，b；
(2)解不等式>0(c为常数)．
解 (1)由题意知1，b为方程ax2－3x＋2＝0的两根，
即∴a＝1，b＝2.
(2)不等式等价于(x－c)(x－2)>0，
当c>2时，解集为{x|x>c或x<2}；
当c<2时，解集为{x|x>2或x0.
(1)当a＝3时，求不等式f(x)≥5x＋1的解集；
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．
解 (1)当a＝3时，f(x)≥5x＋1可化为|2x－3|≥1.
由此可得x≥2或x≤1.
故不等式f(x)≥5x＋1的解集为{x|x≤1或x≥2}．
(2)由f(x)≤0得|2x－a|＋5x≤0，
此不等式化为不等式组
或
即或
因为a>0，所以不等式组的解集为.
由题设可得－＝－1，故a＝3.
20．(15分)(2019·温州调研)已知函数f(x)＝x＋|x＋2|.
(1)求不等式f(x)≥6的解集M；
(2)记(1)中集合M中元素最小值为m，若a，b是正实数，且a＋b＝m，求的最小值．
解 (1)f(x)≥6，即为x＋|x＋2|≥6，
∴或
解得x≥2，∴M＝{x|x≥2}．
(2)由(1)知m＝2，即a＋b＝2，且a，b是正实数，
∴＝
＝＝＋
≥＋×2＝4，
当且仅当＝，即a＝b＝1时，取得最小值4.
21．(15分)已知函数f(x)＝(3x－1)a－2x＋b.
(1)若f＝，且a>0，b>0，求ab的最大值；
(2)当x∈[0,1]时，f(x)≤1恒成立，且2a＋3b≥3，求z＝的取值范围．
解 (1)因为f(x)＝(3a－2)x＋b－a，f＝，
所以a＋b－＝，即a＋b＝8.
因为a>0，b>0，
所以a＋b≥2，即4≥，所以ab≤16，
当且仅当a＝b＝4时等号成立，
所以ab的最大值为16.
(2)因为当x∈[0,1]时，f(x)≤1恒成立，且2a＋3b≥3，
所以且2a＋3b≥3，即
作出此不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示(含边界)．
由图可得经过可行域内的点(a，b)与点(－1，－1)的直线的斜率的取值范围是，
所以z＝＝＋1的取值范围是.
22．(15分)已知数列{xn}满足x1＝1，xn＋1＝2＋3，求证：
(1)00，所以2＋3>0，即xk＋1>0，
由xk＋1－9＝2－6＝2(－3)<0，得xk＋1<9，
所以00.
所以xn.
从而xn＋1＝2＋3>xn＋3.
所以xn＋1－9>(xn－9)，
即9－xn＋1<(9－xn)．
所以9－xn9－8·n－1(n≥2)．
当n＝1时，x1＝1＝9－8×0＝1，
综上，xn≥9－8·n－1.
