2020届江苏省淮安六校联盟高三年级第三次学情调查数学（理）试题（解析版）

2020届江苏省淮安六校联盟高三年级第三次学情调查数学（理）试题（解析版）

‎2020届江苏省淮安六校联盟高三年级第三次学情调查数学（理）试题 一、填空题 ‎1．已知集合，，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：求两集合的交集，就是求它们共同元素的集合.集合A为无限集，集合B为有限集，所以将集合B中元素逐一代入集合A验证，得 .‎ ‎【考点】集合基本运算．‎ ‎2．已知复数z满（i为虚数单位）,则z的实部为________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】运用完全平方和公式化简复数z,最后根据复数实部的定义写出复数z的实部即可.‎ ‎【详解】‎ ‎,复数z的实部为3.‎ 故答案为：3‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的实部的判断,考查了复数的乘方运算,考查了数学运算能力.‎ ‎3．函数的最小正周期是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据正弦型三角函数的最小正周期公式求出函数的最小正周期.‎ ‎【详解】‎ 函数的最小正周期.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦型三角函数最小正周期公式,考查了数学运算能力.‎ ‎4．已知数列是等差数列,且,则的值为____________.‎ ‎【答案】135‎ ‎【解析】根据等差数列前项和公式和等差数列下标的性质可以直接求出的值.‎ ‎【详解】‎ 因为数列是等差数列,所以.‎ 故答案为：135‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的前前项和公式,考查了等差数列的下标性质,考查了数学运算能力.‎ ‎5．已知是双曲线：的一个焦点，则的渐近线方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本道题结合焦点坐标,计算出m，即可。‎ ‎【详解】‎ ‎,解得,所以双曲线方程为 ‎,所以渐近线方程为 ‎【点睛】‎ 本道题考查了双曲线的基本性质，难度较小。‎ ‎6．定义在R上的奇函数，当时，，则＝ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：因为为定义在R上的奇函数，所以，，因此 ‎【考点】奇函数性质 ‎7．若命题“存在”为假命题，则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析： 因为命题“存在”的否定是“对任意”。命题的否定是真命题，则 ‎【考点】复合命题 ‎8．若函数在区间上有极值,则实数a的取值范围为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】对函数进行求导,判断函数的单调性,结合极值的定义和所给定的区间,得到不等式,解不等式即可求出实数a的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 当时, ,所以函数单调递减；‎ 当时, ,所以函数单调递增,要想函数在区间上有极值,只需,所以实数a的取值范围为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数有区间有极值求参数问题，考查了函数极值的判断方法.‎ ‎9．设等比数列的前n项和为．若成等差数列，且，则的值为____．‎ ‎【答案】-6‎ ‎【解析】设等比数列的公比为.‎ ‎∵成等差数列 ‎∴，且.‎ ‎∴，即.‎ ‎∴或（舍去）‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 故答案为.‎ ‎10．若,,,则的最小值为________.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】由对数的运算法则,可以化简等式,用的代数式表示,最后利用基本不等式求出的最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ 所以(当且仅当 时取等号,即时取等号）.‎ 故答案为：9‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对数的运算公式,考查了基本不等式,考查了代数式恒等变形能力.‎ ‎11．如图，已知椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，若，则该椭圆的离心率是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意可得， ‎ 因为，所以 所以 所以，即，故 解得， ‎ 因为，所以，则 ‎12．在平面直角坐标系中，已知圆，是圆上的两个动点，，则的取值范围为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：‎ 圆，‎ ‎,‎ 由余弦定理可得，‎ 设为的中点，，‎ 设，，‎ 的取值范围为.‎ ‎【考点】向量的几何意义；向量的数量积；余弦定理.‎ ‎13．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝，则tan α的最大值是________．‎ ‎【答案】　‎ ‎【解析】由已知得sin α＝cos(α＋β)sin β＝cos αcos βsin β－sin αsin βsin β，两边同除以cos α，并整理得tan α＝＝＝，‎ ‎∵ α，β均为锐角，∴可以看成是单位圆的下半圆上的动点(cos 2β，－sin 2β)与定点(3，0)连线的斜率，其最大斜率为＝.‎ ‎14．已知函数若函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 当时，有无数个根；故，当时，如取，则当，方程不合题意；当，方程，即有三个不同实数根，不合题意。所以，如图，当时，结合图像可得，解之得，应填答案。‎ 点睛：解答本题的关键是借助题设中的分段函数的图像及导数知识，运用数形结合的数学思想进行分析推断，借助图像建立不等式，通过解不等式从而使得问题获解是本题的一大特色，当然本题的求解具有一定的难度。‎ 二、解答题 ‎15．已知向量,.‎ ‎(1)若,求的值；‎ ‎(2)若,求的值.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】(1)根据平面向量共线定理可得等式,利用同角三角函数的商关系求出的值；‎ ‎(2)对已知的等式平方得到,根据平面向量数量积的坐标表示可以得到等式,利用同角三角函数的平方和关系可以求出的值,最后利用二倍角的余弦公式求出的值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为,且 所以,‎ 即：‎ 当,则，不合题意（舍之）‎ 当,则；‎ ‎(2),所以，‎ 所以,‎ 所以得,‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了两个平面向量共线、垂直的坐标表示,考查了同角的三角函数关系式,考查了二倍角的余弦公式,考查了数学运算能力.‎ ‎16．如图，在中，边上的中线长为3，且，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求边的长．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4；‎ ‎【解析】（1）由同角三角函数的关系、三角形内角的范围和两角差的正弦公式即可求出.‎ ‎（2）在中，利用正弦定理得，在中利用余弦定理即可求出.‎ ‎【详解】‎ 解：因为，所以．‎ ‎ ‎ 又，所以，‎ 所以 ‎ ‎．‎ 在中，由得，‎ 解得．故，‎ 在中，由余弦定理得 ，‎ 得．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两角差的正弦公式，考查正弦定理、余弦定理的运用，属于中档题.‎ ‎17．如图，射线和均为笔直的公路，扇形区域（含边界）是一蔬菜种植园，其中、分别在射线和上.经测量得，扇形的圆心角（即）为、半径为1千米.为了方便菜农经营，打算在扇形区域外修建一条公路，分别与射线、交于、两点，并要求与扇形弧相切于点.设（单位：弧度），假设所有公路的宽度均忽略不计.‎ ‎（1）试将公路的长度表示为的函数，并写出的取值范围；‎ ‎（2）试确定的值，使得公路的长度最小，并求出其最小值.‎ ‎【答案】⑴，其中，⑵当时，长度的最小值为千米..‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎⑴由切线的性质可得OS⊥MN.则SM=，SN=， 据此可得，其中.‎ ‎⑵ 利用换元法，令，则， 由均值不等式的结论有：，当且仅当即时等号成立，即长度的最小值为千米.‎ 试题解析：‎ ‎⑴因为MN与扇形弧PQ相切于点S，所以OS⊥MN.‎ 在OSM中，因为OS=1，∠MOS=，所以SM=， ‎ 在OSN中，∠NOS=，所以SN=， ‎ 所以， ‎ 其中.‎ ‎⑵ 因为，所以，‎ 令，则，‎ 所以， ‎ 由基本不等式得，‎ 当且仅当即时取“=”. ‎ 此时，由于，故. ‎ 答：⑴，其中.‎ ‎⑵当时，长度的最小值为千米.‎ 点睛：(1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．‎ ‎(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．‎ ‎18．已知椭圆的离心率，且经过点，，，，为椭圆的四个顶点（如图），直线过右顶点且垂直于轴．‎ ‎（1）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（2）为上一点（轴上方），直线，分别交椭圆于，两点，若，求点的坐标．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）利用椭圆的离心率和经过的点，列方程组求解即可．（2）设P ‎（2，m），m＞0，得直线PC方程与椭圆联立，利用韦达定理，推出E的坐标， 同理求F点横坐标，由S△PCD＝2S△PEF，转化求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因的离心率，且经过点，‎ 所以 解得，．所以椭圆标准方程为．‎ ‎（2）由（1）知椭圆方程为，所以直线方程为，，． ‎ 设，，则直线的方程为， ‎ 联立方程组消得，‎ 所以点的横坐标为；‎ 又直线的方程为 联立方程组消得，‎ 所以点的横坐标为． ‎ 由得，‎ 则有，则，‎ 化简得，解得，因为，所以，‎ 所以点的坐标为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆标准方程的求法和直线与椭圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力和转化思想的应用.‎ ‎19．已知函数,.‎ ‎(1)若曲线在处的切线方程为,求的值；‎ ‎（2）在(1)的条件下,求函数零点的个数；‎ ‎（3）若不等式对任意都成立,求a的取值范围.‎ ‎【答案】(1)0；(2)两个；(3).‎ ‎【解析】(1)对函数求导,根据导数的几何意义,结合切线方程可以求出的值,最后计算即可；‎ ‎(2)由(1)求出函数的单调性,根据零点存在原理,可以判断出函数零点的个数；‎ ‎(3)设,对它进行求导,根据的不同取值,分类讨论判断出函数的单调调性,根据函数的最值情况求出a的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(1),‎ 由题意，,,解得，,,所以. ‎ ‎(2)由(1)知,,‎ 令，得,‎ 且当时,；当时,，‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增.‎ 因为,,，函数 在区间和上的图象是一条不间断的曲线,由零点存在性定理,‎ 所以函数有两个零点. ‎ ‎(3)设,即，，‎ ‎，‎ 当时，，所以函数在单调递减，‎ 所以最小值为，不合题意； ‎ 当时，，‎ 令，得.‎ 若，即时，函数在单调递减；‎ 所以最小值为，只需，即，‎ 所以符合； ‎ 若，即时，函数在上单调减，在上单调增，‎ 所以的最小值为，‎ 所以符合.‎ 综上,a的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的几何意义,考查了利用导数切线方程求参数的值,考查了利用导数研究函数零点个数问题,考查了利用导数研究不等式恒成立问题.‎ ‎20．对于若数列满足则称这个数列为“数列”.‎ ‎（1）已知数列1, 是“数列”,求实数的取值范围;‎ ‎（2）是否存在首项为的等差数列为“数列”,且其前项和使得 恒成立?若存在,求出的通项公式;若不存在,请说明理由;‎ ‎（3）已知各项均为正整数的等比数列是“数列”,数列不是“数列”,若试判断数列是否为“数列”,并说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据题目中所定义的“数列”，只需同时满足，解不等式可解m范围。（2）由题意可知，若存在只需等差数列的公差，即< ,代入n=1,n>1,矛盾。（3）设数列的公比为则， ，满足“数列”，即只需最小项即不是“数列”,且为最小项,‎ 所以即,所以只能只有解或分两类讨论数列。‎ 试题解析：（Ⅰ）由题意得 解得 所以实数的取值范围是 ‎（Ⅱ假设存在等差数列符合要求,设公差为则 由得 由题意,得对均成立,即 ‎①当时, ‎ ‎②当时, ‎ 因为 所以与矛盾,‎ 所以这样的等差数列不存在.‎ ‎（Ⅲ）设数列的公比为则 因为的每一项均为正整数,且 所以在中,“”为最小项.‎ 同理, 中,“”为最小项.‎ 由为“数列”,只需即 又因为不是“数列”,且为最小项,‎ 所以即,‎ 由数列的每一项均为正整数,可得 所以或 ‎①当时, 则 令则 又 所以为递增数列,即 所以 所以对于任意的都有 即数列为“数列”.‎ ‎②当时, 则 因为 所以数列不是“数列”.‎ 综上:当时,数列为“数列”,‎ 当时, 数列不是“数列”.‎ ‎【点睛】‎ 对于新定义的题型一定要紧扣题目中的定义并进行合理的转化，这是解决此类的问题的关键。另外题中有整数条件时一般都能通过因式分解，或夹逼在方程个数小于变量个数时，解出部分甚至全部参数。‎ ‎21．在平面直角坐标系xOy中,已知直线（为参数）与曲线（t为参数）相交于A,B两点,求线段AB的长.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】法一：将曲线（t为参数）化为普通方程,把直线（为参数）代入曲线普通方程中,利用参数的意义求出线段AB的长；‎ 法二：将曲线和直线的参数方程都化为普通方程,然后联立,求出交点为的坐标,最后利用两点间距离公式求出线段AB的长；‎ ‎【详解】‎ 法一：将曲线（t为参数）化为普通方程为. ‎ 将直线（为参数）代入得,‎ ‎, ‎ 解得,.‎ 则,‎ 所以线段AB的长为. ‎ 法二：将曲线（t为参数）化为普通方程为. ‎ 将直线（为参数）化为普通方程为, ‎ 由得,，或,‎ 所以AB的长为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用参数的意义或解出交点坐标求相交弦长问题,考查了参数方程化为普通方程,考查了数学运算能力.‎ ‎22．在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）求圆的普通方程和圆的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）判断圆与圆的位置关系.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析 ‎【解析】（Ⅰ）消去参数，即可得到曲线的普通方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可化简得到曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）由圆心距，利用可得两圆相交.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）圆的参数方程为，(为参数)，‎ 可得， ‎ 平方相加转换为直角坐标方程为：．‎ 由圆的极坐标方程 可得 转换为直角坐标方程为：，‎ 即： ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆的的半径圆心坐标为．‎ 圆的的半径圆心坐标为 ‎ 则圆心距 ‎ ‎ ‎ 所以，圆与圆相交．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及圆与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。‎ ‎23．箱中装有4个白球和个黑球.规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等.记随机变量为取出的3个球所得分数之和.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）当时，求的分布列.‎ ‎【答案】（1）1；（2）分布列见解析.‎ ‎【解析】（1）通过分析可知时，取出的个球都是白球，根据超几何分布的概率公式构造方程可求得结果；（2）首先确定所有可能的取值为：；利用超几何分布的概率公式分别计算每个取值对应的概率，从而可得分布列.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得：取出的个球都是白球时，随机变量 ‎，即：，解得：‎ ‎（2）由题意得：所有可能的取值为：‎ 则；；；.‎ 的分布列为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查服从超几何分布的随机变量的概率及分布列的求解问题，关键是能够明确随机变量所服从的分布类型，从而利用对应的公式来进行求解.‎ ‎24．（本小题满分10分）‎ 甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为 ，三人各射击一次，击中目标的次数记为.‎ ‎（1）求的分布列及数学期望；‎ ‎（2）在概率(=0，1，2，3)中, 若的值最大, 求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），ξ的分布列为 ξ ‎ ‎0 ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ P ‎ ‎(1－a)2 ‎ ‎(1－a2) ‎ ‎(2a－a2) ‎ ‎ ‎ ‎（2）‎ ‎【解析】(1)P(ξ)是“ξ个人命中，3－ξ个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0、1、2、3.‎ P(ξ＝0)＝ (1－a)2＝(1－a)2；‎ P(ξ＝1)＝· (1－a)2＋ a(1－a)＝(1－a2)；‎ P(ξ＝2)＝· a(1－a)＋ a2＝(2a－a2)；‎ P(ξ＝3)＝· a2＝.‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎ ‎0 ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ P ‎ ‎(1－a)2 ‎ ‎(1－a2) ‎ ‎(2a－a2) ‎ ‎ ‎ ξ的数学期望为 E(ξ)＝0×(1－a)2＋1×(1－a2)＋2×(2a－a2)＋3×＝.‎ ‎(2)P(ξ＝1)－P(ξ＝0)＝[(1－a2)－(1－a)2]＝a(1－a)；‎ P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝[(1－a2)－(2a－a2)]＝；‎ P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝[(1－a2)－a2]＝.‎ 由和0＜a＜1，得0＜a≤，即a的取值范围是.‎