山东省淄博市桓台县桓台第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试卷

山东省淄博市桓台县桓台第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试卷

数学期中考试试卷 一、选择题 ‎1.设集合，，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解一元二次不等式，可得集合A，再根据交集运算即可得解.‎ ‎【详解】集合，解一元二次不等式可得，‎ 集合，即，‎ 由集合交集运算可知，‎ 即，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了一元二次不等式解法，集合交集的简单运算，属于基础题.‎ ‎2.如果集合满足，则这样的集合的个数为（ ）.‎ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可知集合中必含有元素和，由可知集合为的真子集，由列举法求得集合，即可确定集合的个数.‎ ‎【详解】集合满足，‎ 则集合中必含有元素和，且集合为的真子集，‎ 所以集合可以是，，.‎ 即满足的集合的个数为3个.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了集合与集合关系的简单应用，属于基础题.‎ ‎3.命题“且的否定形式是（ ）‎ A. 且 B. 或 C. 且 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】根据全称命题的否定是特称命题，可知命题“且的否定形式是或 故选D.‎ 考点：命题的否定 ‎4.在下列命题中，正确命题个数是（ ）.‎ ‎①两个复数不能比较大小；‎ ‎②复数对应的点在第四象限；‎ ‎③若是纯虚数，则实数；‎ ‎④若，则.‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数，可得①是错误的；根据复数的表示，可得②是错误的；根据复数的分类，列出方程组，可得③是正确的；根据，可得④错误的.‎ ‎【详解】对于①中，例如复数，此时，所以①是错误的；‎ 对于②中，复数对应的点坐标为位于第二象限，所以②是错误的；‎ 对于③中，若是纯虚数，则满足，解得，‎ 所以③是正确的；‎ 对于④中，例如，则，所以④错误的.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，以及复数的表示与复数的运算的综合应用，其中解答中熟记复数的概念与运算，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与运算能力.‎ ‎5.某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，则在刮风天里，下雨的概率为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用条件概型概率计算公式，计算出所求概率.‎ ‎【详解】“下雨”，“刮风”，“刮风又下雨”，‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查条件概型概率计算，属于基础题.‎ ‎6.为了规定工时定额，需要确定加工某种零件所需的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：，，，，，由最小二乘法求得回归直线方程为.若已知，则（ ）.‎ A. 75 B. C. 375 D. 442‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用回归直线方程过样本中心点，求得的值.‎ ‎【详解】因，回归直线方程为，‎ 所以，则.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查回归直线方程过样本中心点，属于基础题.‎ ‎7.某校开设类选修课3门，类选择课5门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ）.‎ A. 30种 B. 35种 C. 45种 D. 48种 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分成“选门，选门”和“选门，选门”两种情况，计算出不同的选法数.‎ ‎【详解】当“选门，选门”时，方法数有种，‎ 当“选门，选门”时，方法数有种，‎ 故总的方法数有种.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查简单的排列组合问题，属于基础题.‎ ‎8.设随机变量等可能取值1，2，3，…，，如果，那么（ ）.‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】，解得.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查随机变量分布列的性质，属于基础题.‎ ‎9.（多选）对任意实数，，，给出下列命题：‎ ‎①“”是“”的充要条件；‎ ‎②“是无理数”是“是无理数”的充要条件；‎ ‎③“”是“”的必要条件；‎ ‎④“”是“”的充分条件.‎ 其中真命题是（ ）.‎ A. ① B. ② C. ③ D. ④‎ ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充要条件的判断方法，判断①②的真假性.根据必要条件的判断方法，判断③的真假性.根据充分条件的判断方法，判断④的真假性.‎ ‎【详解】①由“”可得，但当时，不能得到，故“”是“”的充分不必要条件，故①错误；‎ ‎②因为5是有理数，所以当是无理数时，必为无理数，反之也成立，故②正确；‎ ‎③当时，不能推出；当时，有成立，故“”是“”的必要不充分条件，故③正确.‎ ‎④取，，此时，故④错误；‎ 故答案为：BC ‎【点睛】本小题主要考查充分、必要、充要条件的判断，属于基础题.‎ ‎10.（多选）现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图.根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是正确的（ ）.‎ A. 样本中的女生数量少于男生数量 B. 样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量 C. 样本中的女生偏爱文科 D. 样本中的男生偏爱理科 ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等高堆积条形图所给信息进行分析，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】由图1知，样本中的女生数量多于男生数量，由图2知，样本中的男生、女生均偏爱理科；由图2知，样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量.‎ 故选：BD ‎【点睛】本小题主要考查等高堆积条形图，属于基础题.‎ ‎11.（多选）二项式的展开式中，系数最大的项为（ ）.‎ A. 第五项 B. 第六项 C. 第七项 D. 第八项 ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 二项式的展开式中，每项的系数与二项式系数相等，然后用二项式系数的性质求解即可.‎ ‎【详解】二项式的展开式中，每项的系数与二项式系数相等，共有12项 所以系数最大的项为第六项和第七项 故选：BC ‎【点睛】本题考查的是二项式系数的性质，较简单.‎ ‎12.（多选）已知，函数在上是单调增函数，则的可能取值是（ ）.‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】ABC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数进行求导，根据函数在上是单调增函数，可以得到在上，恒成立，结合二次函数的最值求出的取值范围，最后选出正确答案即可.‎ ‎【详解】由题意得，‎ 因为函数在上是单调增函数，‎ 所以在上，恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ 因为当时，二次函数的最小值为 所以.‎ 故选：ABC ‎【点睛】本题考查了已知函数的单调区间求参数取值范围问题，考查了导数的应用，考查了数学运算能力.‎ 二、填空题 ‎13.若复数z满足，其中i为虚数单位，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设复数，、b是实数，则，代入已知等式，再根据复数相等的含义可得a、b的值，从而得到复数z的值．‎ ‎【详解】解：设，、b是实数，则，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 解得，，‎ 则 故答案为．‎ ‎【点睛】本题着重考查了复数四则运算和复数相等的含义，属于基础题．‎ ‎14.展开式的的系数是______.‎ ‎【答案】61‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据多项式乘法展开，即可知的系数由两部分组成，分别求得后求和即可得解.‎ ‎【详解】，‎ 二项式的通项为.‎ 所以当时，的系数为.‎ 当时，的系数为.‎ 所以展开式的的系数为.‎ 故答案为：61.‎ ‎【点睛】本题考查了二项展开式中指定项系数的求法，多项式乘积的系数求法，属于基础题.‎ ‎15.已知的分布列 ‎0‎ ‎1‎ 且，，则______.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出，根据可得与的关系，即可求解.‎ ‎【详解】,‎ 且，‎ ‎，‎ 即，‎ 解得，‎ 故答案为：4‎ ‎【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的期望，期望的性质，考查了基本运算的能力，属于容易题．‎ ‎16.定义在上的函数满足，，则不等式的解集为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，解不等式，即解，则，结合条件，得出的单调性，且，可解出不等式得出答案.‎ ‎【详解】由，‎ 设，则.‎ 故函数在上单调递增，‎ 又，故的解集为，‎ 即的解集为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查根据条件构造函数，根据函数单调性解不等式，由条件构造出函数是本题的关键，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：‎ 支付金额 支付方式 不大于2000元 大于2000元 仅使用A ‎27人 ‎3人 仅使用B ‎24人 ‎1人 ‎（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；‎ ‎（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；‎ ‎（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）400人；‎ ‎（Ⅱ）；‎ ‎（Ⅲ）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由题意利用频率近似概率可得满足题意的人数；‎ ‎(Ⅱ)利用古典概型计算公式可得上个月支付金额大于2000元的概率；‎ ‎(Ⅲ)结合概率统计相关定义给出结论即可.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由图表可知仅使用A的人数有30人，仅使用B的人数有25人，‎ 由题意知A,B两种支付方式都不使用的有5人，‎ 所以样本中两种支付方式都使用的有，‎ 所以全校学生中两种支付方式都使用的有（人）.‎ ‎（Ⅱ）因为样本中仅使用B的学生共有25人，只有1人支付金额大于2000元，‎ 所以该学生上个月支付金额大于2000元的概率为.‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知支付金额大于2000元的概率为，‎ 因为从仅使用B的学生中随机调查1人，发现他本月的支付金额大于2000元，‎ 依据小概率事件它在一次试验中是几乎不可能发生的，所以可以认为仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，且比上个月多.‎ ‎【点睛】本题主要考查古典概型概率公式及其应用，概率的定义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎18.一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片.‎ ‎（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;‎ ‎（2）表示所取3张卡片上的数字的中位数，求的分布列与数学期望.‎ ‎（注：若三个数满足，则称为这三个数的中位数）.‎ ‎【答案】（1）（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）‎ ‎（2）的所有可能值为1，2，3，且 故分布列为 ‎ ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 从而 ‎19.某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）.‎ ‎（1）应收集多少位女生样本数据？‎ ‎（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：，，，，，.估计该校学生每周平均体育运动时间超过6个小时的概率.‎ ‎（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有95％的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.‎ 附：.‎ ‎【答案】（1）90位（2）（3）填表见解析；有95％的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率分布直方图进行求解即可；‎ ‎（2）由频率分布直方图先求出对应的频率，即可估计对应的概率；‎ ‎（3）利用独立性检验进行求解即可.‎ ‎【详解】（1）.所以，应该收集90位女生的样本数据.‎ ‎（2）由频率分布直方图得 所以该校学生每周平均体育运动时间超过6小时的概率的估计值为.‎ ‎（3）每周平均运动时间超过4小时的频率为0.375×2=0.75，所以超过4小时的总人数为300×0.75=225，‎ 每周平均运动时间与性别列联表如下：‎ 男生超过4小时 运动不超过4小时 合计 男生 ‎165‎ ‎45‎ ‎210‎ 女生 ‎60‎ ‎30‎ ‎90‎ 合计 ‎225‎ ‎75‎ ‎300‎ ‎，‎ 所以，有95％的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.‎ ‎【点睛】本题主要考查了独立性检验，频率分布直方图，分层抽样，是统计和概率的综合应用，难度属于中档题.‎ ‎20.设函数 ‎（1）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若在上为减函数，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1），切线方程为；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：本题考查求复合函数的导数，导数与函数的关系，由求导法则可得，由已知得，可得，于是有，，，由点斜式可得切线方程；（2）由题意在上恒成立，即在上恒成立，利用二次函数的性质可很快得结论，由得．‎ 试题解析：（1）对求导得 因为在处取得极值，所以，即.‎ 当时，,故,从而在点处的切线方程为,化简得 ‎（2）由（1）得，,‎ 令 由，解得.‎ 当时，,故为减函数；‎ 当时，,故为增函数；‎ 当时，,故为减函数；‎ 由在上为减函数，知，解得 故a的取值范围为.‎ 考点：复合函数的导数，函数的极值，切线，单调性．考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力．‎ ‎21.为了解某市高三学生身高情况，对全市高三学生进行了测量，经分析，全市高三学生身高（单位：）服从正态分布，已知，.‎ ‎（1）现从该市高三学生中随机抽取一名学生，求该学生身高在区间的概率；‎ ‎（2）现从该市高三学生中随机抽取三名学生，记抽到的三名学生身高在区间的人数为，求随机变量的分布列和均值.‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据正态分布曲线的对称性和条件先求出，可求然后得值. （2）先求出，从而得到服从二项分布，得出分布列和期望.‎ ‎【详解】（1）由全市高三学生身高服从，，‎ 得.‎ 因为，‎ 所以.‎ 故从该市高三学生中随机抽取一名学生，该学生身高在区间的概率为.‎ ‎（2）因为 ‎，‎ 服从二项分布，‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查利用正态分布求概率和二项分布问题，将实际问题转化为二项分布问题时本题的难点，属于中档题.‎ ‎22.已知函数，.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）当时，在上是单调增函数；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意有，分和进行分类讨论得出函数的单调性. （2）不等式恒成立，即，（1）可得，当时，，即在时恒成立，令，，求出单调性，得出的最大值即可得出答案.‎ ‎【详解】（1），‎ ‎.‎ 当时，，在上是单调增函数；‎ 当时，.‎ 当时，；当时，，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减.‎ 综上，当时，在上是单调增函数；‎ 当时，在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（2）由（1）可得，当时，.‎ 由不等式恒成立，得恒成立，‎ 即在时恒成立.‎ 令，，则.‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减.‎ 所以的最大值为.得，所以实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查含参数的单调性的求解和恒成立求参数的问题，考查构造函数决绝问题的能力，考查等价转化的能力，属于中档题.‎