【数学】2019届一轮复习人教A版（文）第五章第三节等比数列及其前n项和学案

【数学】2019届一轮复习人教A版（文）第五章第三节等比数列及其前n项和学案

第三节等比数列及其前n项和 ‎1．等比数列的有关概念 ‎(1)定义：‎ 如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q.‎ ‎(2)等比中项：‎ 如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.‎ ‎2．等比数列的有关公式 ‎(1)通项公式：an＝a1qn－1.‎ ‎(2)前n项和公式：Sn＝ ‎3．等比数列的常用性质 ‎(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．‎ ‎(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，‎ 则am·an＝ap·aq＝；‎ ‎(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列；‎ ‎(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.‎ ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　)‎ ‎(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　)‎ ‎(3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　　)‎ ‎(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2．在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5等于(　　)‎ A．5　　　　　　　　　　 B．±5‎ C．4 D．±4‎ 解析：选C　a＝a‎3a7＝2×8＝16，∴a5＝±4.‎ 又∵a5＝a3q2>0，∴a5＝4.‎ ‎3．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋‎10a1，a5＝9，则a1＝(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 解析：选C　由已知条件及S3＝a1＋a2＋a3，得a3＝‎9a1，设数列{an}的公比为q，则q2＝9，所以a5＝9＝a1·q4＝‎81a1，得a1＝.‎ ‎4．已知Sn是各项均为正数的等比数列{an}的前n项和，若a2·a4＝16，S3＝7，则a8＝(　　)‎ A．32 B．64‎ C．128 D．256‎ 解析：选C　∵a2·a4＝a＝16，∴a3＝4(负值舍去)，①‎ 又S3＝a1＋a2＋a3＝＋＋a3＝7，②‎ 联立①②，得3q2－4q－4＝0，解得q＝－或q＝2，‎ ‎∵an>0，∴q＝2，∴a8＝a3·q5＝27＝128.‎ ‎5．(2017·北京高考)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝________.‎ 解析：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，‎ 则a4＝－1＋3d＝8，解得d＝3；‎ b4＝－1·q3＝8，解得q＝－2.‎ 所以a2＝－1＋3＝2，b2＝－1×(－2)＝2，‎ 所以＝1.‎ 答案：1‎ ‎6．设{an}是公比为正数的等比数列，Sn为{an}的前n项和，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前7项和为________．‎ 解析：设等比数列{an}的公比为q(q>0)，‎ 由a5＝a1q4＝16，a1＝1，得q4＝16，解得q＝2，‎ 所以S7＝＝＝127.‎ 答案：127‎ 　　　　 ‎[考什么·怎么考]‎ 等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，属中低档题.‎ 考法(一)　求首项或公比 ‎1．已知等比数列{an}单调递减，若a3＝1，a2＋a4＝，则a1＝(　　)‎ A．2　　　　　　　　　 B．4‎ C. D．2 解析：选B　由题意，设等比数列{an}的公比为q，q>0，则a＝a‎2a4＝1，又a2＋a4＝，且{an}单调递减，所以a2＝2，a4＝，则q2＝，q＝，所以a1＝＝4.‎ ‎2．已知等比数列{an}满足a1＝，a‎3a5＝4(a4－1)，则q＝________.‎ 解析：设等比数列{an}的公比为q，a1＝，a‎3a5＝4(a4－1)，由题可知q≠1，则a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，‎ ‎∴q6＝4，‎ ‎∴q6－16q3＋64＝0，‎ ‎∴(q3－8)2＝0，∴q3＝8，∴q＝2.‎ 答案：2‎ 考法(二)　求通项公式或特定项 ‎3．设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________.‎ 解析：因为3S1,2S2，S3成等差数列，‎ 所以2×2(a1＋a2)＝‎3a1＋a1＋a2＋a3⇒a3＝‎3a2⇒q＝3，所以an＝a1qn－1＝3n－1.‎ 答案：3n－1‎ ‎4．(2017·江苏高考)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝________.‎ 解析：设等比数列{an}的公比为q，则由S6≠2S3，得q≠1，则解得 则a8＝a1q7＝×27＝32.‎ 答案：32‎ 考法(三)　求等比数列的前n项和 ‎5．(2018·东北四市高考模拟)已知等比数列{an}中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S3＝‎8a1＋‎3a2，a4＝16，则S4＝________.‎ 解析：由题意得，2(a1＋a2＋a3)＝‎8a1＋‎3a2，‎ 所以‎2a3－a2－‎6a1＝0.‎ 设{an}的公比为q(q>0)，‎ 则‎2a1q2－a1q－‎6a1＝0，即2q2－q－6＝0，‎ 解得q＝2或q＝－(舍去)．‎ 因为a4＝16，所以a1＝2，则S4＝＝30.‎ 答案：30‎ ‎6．(2017·全国卷Ⅰ节选)记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求Sn.‎ 解：(1)设{an}的公比为q.‎ 由题设可得 解得 故{an}的通项公式为an＝(－2)n.‎ ‎(2)由(1)可得Sn＝ ‎＝－＋(－1)n.‎ ‎[怎样快解·准解]‎ ‎1．等比数列基本运算中的2种常用数学思想 方程的思想 等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解 分类讨论的思想 等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝ ‎2．等比数列的基本运算方法 ‎(1)等比数列可以由首项a1和公比q确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕a1‎ 和q进行．‎ ‎(2)对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过列方程(组)求出a1，q.如果再给出第三个条件就可以完成a1，n，q，an，Sn的“知三求二”问题．‎ 　　　　 等比数列的判定与证明一直是高考的热点，一般在解答题第(1)问中出现，难度适中.对于判定与证明等比数列的常用方法，一定要熟练掌握.‎ ‎[典题领悟]‎ ‎(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.‎ ‎(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎(2)若S5＝，求λ.‎ 解：(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，‎ 故λ≠1，a1＝，故a1≠0.‎ 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，‎ 即an＋1(λ－1)＝λan.‎ 由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.‎ 因此{an}是首项为，公比为的等比数列，‎ 于是an＝n－1.‎ ‎(2)由(1)得Sn＝1－n.‎ 由S5＝得1－5＝，即5＝.‎ 解得λ＝－1.‎ ‎[解题师说]‎ ‎1．掌握等比数列的4种常用判定方法 定义法 若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列 中项公式法 若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列 通项 公式法 若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列 前n项和公式法 若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列 ‎2．等比数列判定与证明的2点注意 ‎(1)等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法、前n项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等比数列．‎ ‎(2)证明一个数列{an}不是等比数列，只需要说明前三项满足a≠a1·a3，或者是存在一个正整数m，使得a≠am·am＋2即可．‎ ‎[冲关演练]‎ ‎1．(2018·湖南五市十校高三联考)已知数列{an}的前n项和Sn＝Aqn＋B(q≠0)，则“A＝－B”是“数列{an}是等比数列”的(　　)‎ A．充分不必要条件　　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　若A＝B＝0，则Sn＝0，故数列{an}不是等比数列；若数列{an}是等比数列，则a1＝Aq＋B，a2＝Aq2－Aq，a3＝Aq3－Aq2，由＝，得A＝－B.‎ ‎2．数列{an}的前n项和为Sn，若an＋Sn＝n，cn＝an－1.求证：数列{cn}是等比数列．‎ 证明：当n＝1时，a1＝S1.‎ 由an＋Sn＝n，①‎ 得a1＋S1＝1，即‎2a1＝1，解得a1＝.‎ 又an＋1＋Sn＋1＝n＋1，②‎ ‎②－①得an＋1－an＋(Sn＋1－Sn)＝1，‎ 即2an＋1－an＝1，③‎ 因为cn＝an－1，‎ 所以an＝cn＋1，an＋1＝cn＋1＋1，‎ 代入③式，得2(cn＋1＋1)－(cn＋1)＝1，‎ 整理得2cn＋1＝cn，‎ 故＝(常数)．‎ 所以数列{cn}是一个首项c1＝a1－1＝－，公比为的等比数列．‎ 　　　　 等比数列的性质是高考考查的重点，以中低档题目居多，题型以选择题、填空题为主，突出“小、巧、活”的特点，主要以通项公式、前n项和公式为载体，结合等比数列的性质考查分类讨论、化归与方程思想.‎ ‎[典题领悟]‎ ‎1．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于(　　)‎ A．80　　　　　　　　　　 B．30‎ C．26 D．16‎ 解析：选B　由题意知公比大于0，由等比数列性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…仍为等比数列．‎ 设S2n＝x，则2，x－2,14－x成等比数列．‎ 由(x－2)2＝2×(14－x)，解得x＝6或x＝－4(舍去)．‎ ‎∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…是首项为2，公比为2的等比数列．‎ 又∵S3n＝14，∴S4n＝14＋2×23＝30.‎ ‎2．(2018·石家庄模拟)在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a‎8a9＝－，则＋＋＋＝________.‎ 解析：因为＋＝，＋＝，‎ 由等比数列的性质知a‎7a10＝a‎8a9，‎ 所以＋＋＋＝＝÷＝－.‎ 答案：－ ‎[解题师说]‎ ‎1．掌握运用等比数列性质解题的2个技巧 ‎(1)在等比数列的基本运算问题中，一般是列出a1，q满足的方程组求解，但有时运算量较大，如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题的速度，要注意挖掘已知和隐含的条件．‎ ‎(2)利用性质可以得到一些新数列仍为等比数列或为等差数列，例如：‎ ‎①若{an}是等比数列，且an>0，则{logaan}(a>0且a≠1)是以logaa1为首项，logaq为公差的等差数列．‎ ‎②若公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.‎ ‎2．牢记与等比数列前n项和Sn相关的几个结论 ‎(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，公比为q.‎ ‎①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q；‎ ‎②若共有2n＋1项，则S奇－S偶＝(q≠1且q≠－1)，＝q.‎ ‎(2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm⇔qn＝(q为公比)．‎ ‎[冲关演练]‎ ‎1．(2018·湖北华师一附中月考)在等比数列{an}中，a‎2a3a4＝8，a7＝8，则a1＝(　　)‎ A．1 B．±1‎ C．2 D．±2‎ 解析：选A　因为数列{an}是等比数列，所以a‎2a3a4＝a＝8，所以a3＝2，所以a7＝a3q4＝2q4＝8，所以q2＝2，则a1＝＝1，故选A.‎ ‎2．已知各项均为实数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S30＝70，则S40＝(　　)‎ A．150 B．140 ‎ C．130 D．120‎ 解析：选A　在等比数列{an}中，由S10＝10，S30＝70可知q≠－1，‎ 所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30构成公比为q′的等比数列．‎ 所以(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)，‎ 即(S20－10)2＝10·(70－S20)，‎ 解得S20＝30(负值舍去)．‎ 因为＝＝2＝q′，‎ 所以S40－S30＝2(S30－S20)＝80，S40＝S30＋80＝150.‎ ‎3．在正项等比数列{an}中，已知a‎1a2a3＝4，a‎4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝________.‎ 解析：设数列{an}的公比为q，由a‎1a2a3＝4＝aq3与a‎4a5a6＝12＝aq12，可得q9＝3，an－1anan＋1＝aq3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以3n－6＝36，即n＝14.‎ 答案：14‎ ‎(一)普通高中适用作业 A级——基础小题练熟练快 ‎1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)‎ A．a1，a3，a9成等比数列　 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列 解析：选D　由等比数列的性质得，a3·a9＝a≠0，因此a3，a6，a9一定成等比数列，选D.‎ ‎2．(2018·云南11校跨区调研)已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12＝(　　)‎ A．40 B．60‎ C．32 D．50‎ 解析：选B　由等比数列的性质可知，数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4,8，S9－S6，S12－S9是等比数列，因此S9－S6＝16，S6＝12，S12－S9＝32，S12＝32＋16＋12＝60.‎ ‎3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·2n－1＋，则a的值为(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 解析：选A　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝a·2n－1－a·2n－2＝a·2n－2，当n＝1时，a1＝S1＝a＋，所以a＋＝，所以a＝－.‎ ‎4．(2018·新乡调研)已知各项均不为0的等差数列{an}满足a3－＋a11＝0，数列{bn}为等比数列，且b7＝a7，则b1·b13＝(　　)‎ A．25 B．16‎ C．8 D．4‎ 解析：选B　由a3－＋a11＝0，得‎2a7－＝0，a7＝4，所以b7＝4，b1·b13＝b＝16.‎ ‎5．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝(　　)‎ A．4n－1 B．4n－1‎ C．2n－1 D．2n－1‎ 解析：选D　设等比数列{an}的公比为q，‎ 则q＝＝＝，‎ 所以＝＝＝2n－1.‎ ‎6．(2018·漳州八校联考)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则等于(　　)‎ A．－3 B．5‎ C．－31 D．33‎ 解析：选D　设等比数列{an}的公比为q，则由已知得q≠1.∵S3＝2，S6＝18，∴＝，得q3＝8，∴q＝2，‎ ‎∴＝＝1＋q5＝33.‎ ‎7．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则数列{an}的通项公式an＝________.‎ 解析：设等比数列{an}的公比为q，‎ 则 ‎②÷①，得q7＝128，即q＝2，‎ 把q＝2代入①，得a1＝，‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝×2n－1＝3×2n－3.‎ 答案：3×2n－3‎ ‎8．在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．‎ 解析：设该数列的公比为q，由题意知，‎ ‎192＝3×q3，q3＝64，所以q＝4.‎ 所以插入的两个数分别为3×4＝12,12×4＝48.‎ 答案：12,48‎ ‎9．(2018·邢台摸底)若正项数列{an}满足a2＝，a6＝，且＝(n≥2，n∈N*)，则log‎2a4＝________.‎ 解析：由＝(n≥2，n∈N*)可得数列{an}是等比数列，所以a＝a‎2a6＝，又a4>0，则a4＝，故log‎2a4＝log2＝－3.‎ 答案：－3‎ ‎10．已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.‎ 解析：设公比为q，由a＝a10，得(a1q4)2＝a1·q9，即a1＝q.‎ 又由2(an＋an＋2)＝5an＋1，得2q2－5q＋2＝0，‎ 解得q＝2，所以an＝a1·qn－1＝2n.‎ 答案：2n B级——中档题目练通抓牢 ‎1．已知等比数列{an}的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85‎ ‎，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为(　　)‎ A．4 B．6‎ C．8 D．10‎ 解析：选C　由题意得a1＋a3＋…＝85，a2＋a4＋…＝170，所以数列{an}的公比q＝2，由数列{an}的前n项和Sn＝，得85＋170＝，解得n＝8.‎ ‎2．(2018·福建模拟)已知递增的等比数列{an}的公比为q，其前n项和Sn<0，则(　　)‎ A．a1<0,01‎ C．a1>0,00，q>1‎ 解析：选A　∵Sn<0，∴a1<0，‎ 又数列{an}为递增的等比数列，‎ ‎∴an＋1>an，且|an|>|an＋1|，‎ ‎∴－an>－an＋1>0，则q＝∈(0,1)，‎ ‎∴a1<0,00，∴an－3an－1＝0，即＝3，∴数列{an}是首项a1＝2，公比q＝3的等比数列，其前n项和Sn＝＝＝3n－1.‎ ‎4．在等比数列{an}中，an>0，a5－a1＝15，a4－a2＝6，则a3＝________.‎ 解析：∵a5－a1＝15，a4－a2＝6.‎ ‎∴(q≠1)‎ 两式相除得＝，‎ 即2q2－5q＋2＝0，‎ ‎∴q＝2或q＝，‎ 当q＝2时，a1＝1；‎ 当q＝时，a1＝－16(舍去)．‎ ‎∴a3＝1×22＝4.‎ 答案：4‎ ‎5．(2018·海口调研)设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋an＋1＝(n＝1,2,3，…)，则S2n＋3＝________.‎ 解析：依题意得S2n＋3＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2n＋2＋a2n＋3)＝1＋＋＋…＋＝＝.‎ 答案： ‎6．(2018·兰州诊断性测试)在公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，a2，a4，a8成等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝2an，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.‎ 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，‎ 则依题意有 解得d＝1或d＝0(舍去)，‎ ‎∴an＝1＋(n－1)＝n.‎ ‎(2)由(1)知an＝n，‎ ‎∴bn＝2n，∴＝2，‎ ‎∴{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，‎ ‎∴Tn＝＝2n＋1－2.‎ ‎7．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝4an－p，其中p为非零常数．‎ ‎(1)求证：数列{an}为等比数列；‎ ‎(2)若a2＝，求{an}的通项公式．‎ 解：(1)证明：当n＝1时，S1＝‎4a1－p，得a1＝≠0.‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(4an－p)－(4an－1－p)＝4an－4an－1，‎ 得3an＝4an－1，即＝，‎ 所以数列{an}是首项为，公比为的等比数列．‎ ‎(2)由(1)知，数列{an}的通项公式为an＝×n－1，‎ 又a2＝，可知p＝3，于是an＝n－1.‎ C级——重难题目自主选做 ‎(2018·黄冈调研)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝·an(n∈N*)．‎ ‎(1)证明：数列是等比数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，若数列{bn}的前n项和是Tn，求证：Tn<2.‎ 证明：(1)由题设得＝·，‎ 又＝2，‎ 所以数列是首项为2，公比为的等比数列，‎ 所以＝2×n－1＝22－n，an＝n·22－n＝.‎ ‎(2)由(1)知bn＝＝＝，‎ 因为对任意n∈N*,2n－1≥2n－1，‎ 所以bn≤.‎ 所以Tn≤1＋＋＋＋…＋＝2<2.‎ ‎(二)重点高中适用作业 A级——保分题目巧做快做 ‎1.在等比数列{an}中，已知a3＝6，a3＋a5＋a7＝78，则a5＝(　　)‎ A．12　　　　　　　　　　 B．18‎ C．24 D．36‎ 解析：选B　a3＋a5＋a7＝a3(1＋q2＋q4)＝6(1＋q2＋q4)＝78⇒1＋q2＋q4＝13⇒q2＝3，所以a5＝a3q2＝6×3＝18.‎ ‎2.(2018·湖南师大附中月考)已知各项不为0的等差数列{an}满足a6－a＋a8＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b2b8b11＝(　　)‎ A．1 B．2‎ C．4 D．8‎ 解析：选D　由等差数列的性质，得a6＋a8＝‎2a7.由a6－a＋a8＝0，可得a7＝2，所以b7＝a7＝2.由等比数列的性质得b2b8b11＝b2b7b12＝b＝23＝8.‎ ‎3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·2n－1＋，则a的值为(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 解析：选A　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝a·2n－1－a·2n－2＝a·2n－2，当n＝1时，a1＝S1＝a＋，所以a＋＝，所以a＝－.‎ ‎4．(2018·云南11校跨区调研)已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12＝(　　)‎ A．40 B．60‎ C．32 D．50‎ 解析：选B　由等比数列的性质可知，数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4,8，S9－S6，S12－S9是等比数列，因此S9－S6＝16，S6＝12，S12－S9＝32，S12＝32＋16＋12＝60.‎ ‎5．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝(　　)‎ A．4n－1 B．4n－1‎ C．2n－1 D．2n－1‎ 解析：选D　设等比数列{an}的公比为q，‎ 则q＝＝＝，‎ 所以＝＝＝2n－1.‎ ‎6．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项公式an＝________.‎ 解析：设等比数列{an}的公比为q，‎ 则 ‎②÷①，得q7＝128，即q＝2，‎ 把q＝2代入①，得a1＝，‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝×2n－1＝3×2n－3.‎ 答案：3×2n－3‎ ‎7．在等比数列{an}中，an>0，a5－a1＝15，a4－a2＝6，则a3＝________.‎ 解析：∵a5－a1＝15，a4－a2＝6.‎ ‎∴(q≠1)‎ 两式相除得＝，即2q2－5q＋2＝0，‎ ‎∴q＝2或q＝，‎ 当q＝2时，a1＝1；‎ 当q＝时，a1＝－16(舍去)．‎ ‎∴a3＝1×22＝4.‎ 答案：4‎ ‎8.(2018·合肥质检)已知数列{an}中，a1＝2，且＝4(an＋1－an)(n∈N*)，则其前9项和S9＝________.‎ 解析：由已知，得a＝4anan＋1－‎4a，‎ 即a－4anan＋1＋‎4a＝(an＋1－2an)2＝0，‎ 所以an＋1＝2an，‎ 所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，‎ 故S9＝＝210－2＝1 022.‎ 答案：1 022‎ ‎9．(2018·兰州诊断性测试)在公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，a2，a4，a8成等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝2an，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.‎ 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，‎ 则依题意有 解得d＝1或d＝0(舍去)，∴an＝1＋(n－1)＝n.‎ ‎(2)由(1)得an＝n，‎ ‎∴bn＝2n，∴＝2，‎ ‎∴{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，‎ ‎∴Tn＝＝2n＋1－2.‎ ‎10.(2017·全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.‎ ‎(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；‎ ‎(2)若T3＝21，求S3.‎ 解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，‎ 则an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1.‎ 由a2＋b2＝2得d＋q＝3.　　　　①‎ 由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6. ②‎ 联立①②解得(舍去)或 因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.‎ ‎(2)由b1＝1，T3＝21，得q2＋q－20＝0，‎ 解得q＝－5或q＝4.‎ 当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21.‎ 当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6.‎ B级——拔高题目稳做准做 ‎1.(2018·天津实验中学月考)设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，则a3·a6·a9·…·a30＝(　　)‎ A．210 B．220‎ C．216 D．215‎ 解析：选B　因为a‎1a2a3＝a，a‎4a5a6＝a，a‎7a8a9＝a，…，a‎28a29a30＝a，所以a‎1a2a3a4a5a6a7a8a9…a‎28a29a30＝(a‎2a5a8…a29)3＝230.所以a‎2a5a8…a29＝210.则a‎3a6a9…a30＝(a2q)(a5q)(a8q)…(a29·q)＝(a‎2a5a8…a29)q10＝210×210＝220，故选B.‎ ‎2.(2018·郑州第一次质量预测)已知数列{an}满足a‎1a2a3…an＝2n2(n∈N*)，且对任意n∈N*都有＋＋…＋0，n∈N*，且a3·a2n－3＝22n(n≥2)，则当n≥1时，log‎2a1＋log‎2a2＋…＋log‎2a2n－1＝________.‎ 解析：由等比数列的性质，得a3·a2n－3＝a＝22n，‎ 从而得an＝2n.‎ ‎∴log‎2a1＋log‎2a2＋…＋log‎2a2n－1‎ ‎＝log2[(a‎1a2n－1)·(a‎2a2n－2)·…·(an－1an＋1)·an]‎ ‎＝log22n(2n－1)‎ ‎＝n(2n－1)＝2n2－n.‎ 答案：2n2－n ‎5.(2018·广州综合测试)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2(n∈N*)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.‎ 解：(1)当n＝1时，S1＝‎2a1－2，即a1＝‎2a1－2，解得a1＝2.‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－2)－(2an－1－2)＝2an－2an－1，即an＝2an－1，‎ 所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．‎ 所以an＝2×2n－1＝2n(n≥2)．‎ 又n＝1时也符合上式，所以an＝2n(n∈N*)．‎ ‎(2)由(1)，知Sn＝2an－2＝2n＋1－2，‎ 所以Tn＝S1＋S2＋…＋Sn＝22＋23＋…＋2n＋1－2n＝－2n＝2n＋2－4－2n.‎ ‎6．(2018·黄冈调研)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an(n∈N*)．‎ ‎(1)证明：数列是等比数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，若数列{bn}的前n项和是Tn，求证：Tn<2.‎ 证明：(1)由题设得＝·，‎ 又＝2，‎ 所以数列是首项为2，公比为的等比数列，‎ 所以＝2×n－1＝22－n，an＝n·22－n＝.‎ ‎(2)bn＝＝＝，‎ 因为对任意n∈N*,2n－1≥2n－1，‎ 所以bn≤.‎ 所以Tn≤1＋＋＋＋…＋＝2<2.‎