甘肃省张掖市2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文科）试题

甘肃省张掖市2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文科）试题

张掖市2019—2020学年第一学期期末高二年级学业水平质量检测 数学（文科）试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.请将答案填在答题卡上）‎ ‎1.以下命题正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用不等式的基本性质求解.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，故A错误.‎ 当时，，故B错误.‎ 因为，‎ 所以，故C正确.‎ ‎ 当时，，故D错误.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，还考查了转化化归的思想和理解辨析的能力，属于基础题.‎ ‎2.在等差数列中，，则（ ）‎ A. 18 B. ‎22 ‎C. 23 D. 26‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等差数列的公差为，根据，求得：‎ ‎，再代入等差数列通项公式求解.‎ ‎【详解】设等差数列的公差为，‎ 因为，‎ 所以，‎ 解得：，‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎3.下列命题中为真命题的是（ ）‎ A. 命题“若数列的前项和，则数列是等差数列”‎ B. 命题“若，则”的否命题 C. 命题“若，则”的逆命题 D. 命题“若，则且”的逆否命题 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A根据等差数列的等差中项判断.B. 根据其逆命题，利用等价命题判断.C. 根据其否命题，利用等价命题判断D. 利用等价命题判断原命题真假即可.‎ ‎【详解】由，得，，所以数列不是等差数列，故A错误.‎ 命题“若，则”的逆命题是：“若，则”为真命题，因为逆命题与否命题是等价命题，故B正确.‎ 命题“若，则”的否命题是：“若，则”为假命题，因为逆命题与否命题是等价命题，故C错误.‎ 命题“若，则且”为假命题，因为原命题与逆否命题是等价命题，故D错误.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查命题及其关系和判断命题的真假，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.‎ ‎4.设，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意得，不等式，解得或，‎ 所以“”是“”的充分而不必要条件，‎ 故选A．‎ 考点：充分不必要条件的判定．‎ ‎5.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）‎ A. 5 B. ‎6 ‎C. 7 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据变量满足约束条件，画出可行域，平移目标函数，所在的直线，找到最小值点求解.‎ ‎【详解】由变量满足约束条件，画出可行域，如图所示：‎ 平移目标函数，所在的直线，找到最小值点A（2，1），‎ 所以 故选：C ‎【点睛】本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.‎ ‎6.椭圆的长轴长，离心率依次是（ ）‎ A. 16， B. 8， C. 8， D. 4，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将方程，化为标准方程，求得 ，再求解.‎ ‎【详解】椭圆，‎ 化为标准方程为：，‎ 所以，‎ 所以长轴长8，离心率是.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎7.设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.‎ 详解：因为函数是奇函数，所以，解得，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 所以曲线在点处的切线方程为，‎ 化简可得，故选D.‎ 点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.‎ ‎8.在中，已知，，，则角等于（ ）‎ A. 30° B. 60°或120° C. 60° D. 120°‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在中，根据，，，由余弦定理 求得，再利用边角关系求解.‎ ‎【详解】因为在中，已知，，，‎ 所以由余弦定理得：，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎9.若等比数列中，有，数列是等差数列，且，则等于（ ）‎ A. 4 B. ‎8 ‎C. 16 D. 24‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在等比数列中，由，根据等比中项得，再利用等差中项由求解.‎ ‎【详解】在等比数列中，因，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查等差中项、等比中项的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎10.已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，的图象大致是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图象：分，，，，四种情况讨论的单调性.‎ ‎【详解】根据图象：当，所以递增，‎ 当，所以递减，‎ 当，所以递减，‎ 当，所以递增，‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查导数与函数的图象间的关系，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于常考题.‎ ‎11.已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵y2=2px的焦点坐标为,‎ ‎∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,将其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2p,∴=p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.故选B.‎ ‎12.已知，，对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，，将对一切恒成立，转化为对一切恒成立，令，求其最小值即可.‎ ‎【详解】因为，，‎ 所以对一切恒成立，‎ 可转化为对一切恒成立，‎ 令，‎ ‎，‎ 当时，，递减，‎ 当时，，递增，‎ 所以当时，取得最小值：4，‎ 所以 .‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.命题“”的否定是“ ”．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】因为全称命题的否定是特称命题，‎ 所以命题“”的否定是，‎ ‎14.已知数列中，，，，则______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用递推关系式依次求值.‎ ‎【详解】∵a1=1，a2=3，,∴ ，‎ ‎ ， .‎ ‎【点睛】已知递推关系式和初始值，可依次赋值，求出所求项的值.‎ ‎15.已知双曲线C1：＝1(a>0，b>0)离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________．‎ ‎【答案】x2＝16y ‎【解析】‎ ‎∵双曲线C1：＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴＝2，∴b＝a，∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0，∴抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.‎ ‎16.已知，且.则使恒成立的实数的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将，转化为，再利用“‎1”‎的代换，求最小值即可.‎ ‎【详解】因为，且，‎ 所以，‎ 所以，‎ 当且仅当，，即时，取等号.‎ 因为，对于，且恒成立，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.‎ 三、解答题（共6个小题，共计70分）‎ ‎17.已知，命题：“”，命题：“”.‎ ‎（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若命题“”为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将成立，转化为成立求解.‎ ‎（2）根据成立，则，解得或.再根据命题“”为假命题，分为真，为假， 为假，为真， 为假，为假三种情况讨论求解.‎ ‎【详解】（1）因为成立，‎ 所以成立，‎ 所以，‎ 所以若命题为真命题，实数的取值范围是.‎ ‎（2）因为成立，‎ 所以.，‎ 即，‎ 解得或.‎ 因为命题“”为假命题，‎ 当为真，为假时，且，解得.‎ 当为假，为真时，且或，解得.‎ 当为假，为假时，且，无解.‎ 综上：或 ‎【点睛】本题主要考查全称命题，特称命题及命题的真假，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于常考题.‎ ‎18.在锐角中，分别是角所对的边，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，且的面积为，求的值.‎ ‎【答案】（1）；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，利用正弦定理可得，结合是锐角可得结果；(2)由，可得，再利用余弦定理可得结果.‎ ‎【详解】（1）因为 所以由正弦定理得,因为，‎ 所以,‎ 因为是锐角，‎ 所以.‎ ‎(2)由于，，‎ 又由于 ‎，‎ ‎，‎ 所以.‎ ‎【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎ ‎19.已知数列的前项和为，且.等差数列中，，且公差.‎ ‎（1）求数列的前项和；‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等差数列，，且公差.求得，再代入等差数列的数列前项和公式求解.‎ ‎（2）当时，由，得：，两式相减得：，即，再由等比数列定义求解.‎ ‎（3）由（1）知，得到，再利用错位相减法求解.‎ ‎【详解】（1）因为等差数列，，且公差.‎ 所以，‎ 所以数列的前项和；‎ ‎（2）当时，由，‎ 得：，‎ 两式相减得：，‎ 即，‎ 又，‎ 所以数列是等比数列.‎ 所以.‎ ‎（3）由（1）知，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎，‎ 两式相减得：，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查数列的通项和前项和的关系，等比、等差数列的通项公式以及错位相减法求和，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的最小值及对应的实数的值；‎ ‎（2）若对任意恒成立，试求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）函数最小值为6，对应的实数的值为2；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，，利用基本不等式求解.‎ ‎（2）将对任意恒成立，转化为恒成立，利用二次函数的性质，分， ，两种情况讨论求解.‎ ‎【详解】（1）已知函数.‎ 当时，，‎ 当且仅当，即时，取等号.‎ 所以函数的最小值为6，对应的实数的值为2；‎ ‎（2）因为对任意恒成立，‎ 所以恒成立，‎ 即恒成立，‎ 当时，，解得 当时，，解得 综上： ‎ 实数的取值范围是 ‎【点睛】本题主要考查双勾函数求最值及不等式恒成立问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎21.已知椭圆C： (a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)当△AMN的面积为时，求k的值．‎ ‎【答案】（1） （2）1或－1.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）由题意得解得．所以椭圆C的方程为．‎ ‎（2）由得．‎ 设点M，N的坐标分别为，，则，，，．‎ 所以|MN|===．‎ 由因为点A（2,0）到直线的距离，‎ 所以△AMN的面积为． 由，解得，经检验，所以．‎ ‎22.设函数， ．‎ ‎（1）求单调区间和极值；‎ ‎（2）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点．‎ ‎【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是；极小值；（2）证明详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（Ⅰ）先对求导，令解出，将函数的定义域断开，列表，分析函数的单调性，所以由表格知当时，函数取得极小值，同时也是最小值；（Ⅱ）利用第一问的表，知为函数的最小值，如果函数有零点，只需最小值，从而解出，下面再分情况分析函数有几个零点.‎ 试题解析：（Ⅰ）由，（）得 ‎.‎ 由解得.‎ 与在区间上的情况如下：‎ 所以，单调递减区间是，单调递增区间是；‎ 在处取得极小值.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在区间上的最小值为.‎ 因为存在零点，所以，从而.‎ 当时，在区间上单调递减，且，‎ 所以是在区间上的唯一零点.‎ 当时，在区间上单调递减，且，，‎ 所以在区间上仅有一个零点.‎ 综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点.‎ 考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、函数零点问题.‎