2017-2018学年湖南省醴陵二中、四中高二上学期期末数学文试题（解析版）

2017-2018学年湖南省醴陵二中、四中高二上学期期末数学文试题（解析版）

‎2017-2018学年湖南省醴陵二中、四中高二上学期期末数学文试题（解析版）‎ ‎（时间120分钟，满分150分）‎ 一、选择题：（每小题5分，共计60分）‎ ‎1. 若将复数表示为，是虚数单位)的形式,则的值为( )‎ A. -2 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】,故选.‎ ‎2. 给出如下四个命题：‎ ‎①若“或”为假命题，则，均为假命题；‎ ‎②命题“若且，则”的否命题为“若，则”； ‎ ‎③在中，“”是“”的充要条件；‎ ‎④命题“若”的逆否命题为真命题。其中正确命题的个数是（ ）‎ A. 3 B. 2 C. 1 D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据或命题的真假性可知①正确.否命题要否定条件和结论,且的否定要改为或,故②错误.当,故③错误. ④的原命题为真命题,故逆否命题为真命题,所以正确.综上所述,正确的命题个数为,故选.‎ ‎3. 已知变量之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由图可知,故选.‎ ‎4. 已知双曲线 的离心率为，则的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：，所以选C.‎ 考点：双曲线的离心率及渐近线方程.‎ ‎5. 下面四个条件中,使成立的充分不必要的条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】求充分不必要条件,即是求范围比本身小的,由于,范围比它小的就是,故选.‎ ‎6. 已知，则函数是( )‎ A. 仅有最小值的奇函数 B. 既有最大值又有最小值的偶函数 C. 仅有最大值的偶函数 D. 既有最大值又有最小值的奇函数 ‎【答案】D ‎7. 某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )‎ A. 21 B. 34 C. 52 D. 55‎ ‎【答案】D ‎【解析】从第三项起,每一项是前面两项的和,即,故选.‎ ‎8. 如图所示的工序流程图中，设备采购的下一道工序是( )‎ A. 设备安装 B. 土建设计 C. 厂房土建 D. 工程设计 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：工序流程图反映的是从开始到结束的全部步骤，根据流程图的流向即可确定设备采购的下一道工序．‎ 解：由流程图可知设备采购的下一道工序是设备安装．‎ 故选：A．‎ 点评：本题主要考察简单实际问题的流程图，属于基础题．‎ ‎9. 若，则双曲线的离心率的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】,由于,所以,即.‎ ‎10. 若关于x的方程在区间上仅有一个实根，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】原方程可化为,令,故函数在上递减,在上递增,画出函数的图像如下图所示,.由图可知,的取值范围为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数零点问题,求出参数的取值范围. 解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．‎ ‎11. 下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )‎ A. 大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数 B. 大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数 C. 大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数 D. 大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数 ‎【答案】B 考点：合情推理与演绎推理．‎ ‎12. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】当时,不等式成立,当时,原不等式可化为,令其在 上为增函数,最大值为.当时, 不等式可化为,令其在上为减函数,在上为增函数,最小值为.故选.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数求解不等式恒成立问题.主要采用的是分离常数法.分离常数后借助导数求得函数的最值,由此来求的范围.求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图像，然后借助图像观察得到函数的最值．‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由题意得 考点：命题真假 ‎【方法点睛】(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M中的一个特殊值x0，使p(x0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则就是假命题.‎ ‎14. 函数的图象在点处的切线方程为,为的导函数，则_____________‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】当,,故.‎ ‎15. 已知椭圆的中心在坐标原点，离心率为，的右焦点与抛物线的焦点重合，是的准线与椭圆的两个交点，则___________.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】抛物线的焦点为,准线方程为,故椭圆,由于,所以,椭圆方程为,将代入椭圆方程求得,故.‎ ‎【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和标准方程的求法,考查抛物线的定义与基本性质.由于抛物线的表达式是题目已经给出来的,故根据抛物线的定义可先求得抛物线的焦点和准线方程,抛物线的焦点为,准线方程为.再结合离心率即可求得椭圆的标准方程.‎ ‎16. 已知f (x)＝x3－6x2＋9x－abc，a＜b＜c，且f (a)＝f (b)＝f (c)＝0.现给出如下结论：①f(0)f(1)＞0; ②f(0)f(1)＜0； ③f(0)f(3)＞0; ④f(0)f(3)＜0.‎ 其中正确结论的序号是___________________．‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】∵f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，‎ 由f′(x)<0，得10，‎ 得x<1或x>3，‎ ‎∴f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数．‎ 又a0，‎ y极小值＝f(3)＝－abc<0.‎ ‎∴00.又x＝1，x＝3为函数f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图．‎ ‎∴f(0)<0.∴f(0)f(1)<0，f(0)f(3)>0.∴正确结论的序号是②③.‎ 三、解答题：（共70分）‎ ‎17. 设是实数,已知命题函数的最小值小于；已知命题： “方程表示焦点在轴上的椭圆”，若为真命题，为假命题，求实数的取值范围。‎ ‎【答案】或 ‎【解析】【试题分析】对于命题,二次函数的对称轴,函数在对称轴处有最小值,由此求得的取值范围.‎ 对于命题,根据不等式,可求得的取值范围.由于真,假,故一真一假,分别求得真假和假真时点的取值范围并取并集.‎ ‎【试题解析】‎ ‎ ‎ 真假 ‎ 假真 综上得的范围是或 ‎18. 已知抛物线，过点引一条弦使它恰好被点平分，求这条弦所在的直线方程及.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【试题分析】设出两点的坐标,利用点差法结合点的坐标可求得直线的斜率,根据点斜式写出直线方程.联立直线方程和抛物线方程,利用韦达定理和弦长公式可求得的值.‎ ‎【试题解析】‎ 设直线上任意一点坐标为(x，y)，弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．‎ ‎∵P1，P2在抛物线上，∴y＝6x1，y＝6x2.‎ 两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．‎ ‎∵y1＋y2＝2，∴k＝＝＝3.‎ ‎∴直线的方程为y－1＝3(x－2)，即3x－y－5＝0. ‎ ‎ ∴‎ ‎∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－10. ‎ ‎∴|P1P2|＝ ＝.‎ ‎19. 某学生对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查,并用如图所示的茎叶图表示他们的饮食指数(说明:图中饮食指数低于70的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数高于70的人,饮食以肉类为主). ‎ ‎(1)根据茎叶图,帮助这位同学说明这30位亲属的饮食习惯.‎ ‎(2)根据以上数据完成如下2×2列联表.‎ ‎(3)能否有99％的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关?‎ ‎ ‎ ‎【答案】(1) 30位亲属中50岁以上的人饮食多以蔬菜为主,50岁以下的人饮食多以肉类为主(2) 有99％的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关 ‎【解析】【试题分析】(1) 由茎叶图可知,30位亲属中50岁以上的人饮食多以蔬菜为主,50岁以下的人饮食多以肉类为主.(2)根据题目所给数据,计算,故有99％的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关.‎ ‎【试题解析】‎ ‎ (1)由茎叶图可知,30位亲属中50岁以上的人饮食多以蔬菜为主,50岁以下的人饮食多以肉类为主 ‎(2) 2×2列联表如下所示:‎ ‎(3)由题意,随机变量的观测值 故有99％的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关.‎ ‎20. 已知函数，当和时，取得极值．‎ ‎(1)求的值； ‎ ‎(2)若函数的极大值大于20，极小值小于5，试求的取值范围．‎ ‎【答案】(1) b＝3，c＝－9 (2) (－7,10)‎ ‎【解析】【试题分析】(1)求出函数的导数,利用列方程组,求得的值.(2)由(1)求得函数的表达式,利用函数的导数求得当时有极大值,当时有极小值,根据题目要求极大值大于和极小值小于列不等式,可求得的取值范围.‎ ‎【试题解析】‎ ‎ (1)f′(x)＝3x2＋2bx＋c，∵当x＝－3和x＝1时，f(x)取得极值，‎ ‎∴f′(－3)＝0，f′(1)＝0.‎ ‎∴解得b＝3，c＝－9. ‎ ‎(2)由(1)知：f(x)＝x3＋3x2－9x＋d， f′(x)＝3x2＋6x－9，‎ 令f′(x)>0，得3x2＋6x－9>0，解得x<－3，或x>1，‎ ‎∴当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ ‎∵函数f(x)的极大值大于20，极小值小于5，‎ ‎∴解得－7

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