2021高考数学大一轮复习考点规范练37数学归纳法理新人教A版

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考点规范练37　数学归纳法 ‎　考点规范练A册第25页　 ‎ 基础巩固 ‎1.在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=n(2n+1)时,当n=1时的左边等于(　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 答案:C 解析:在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=n(2n+1)时,当n=1时的左边=1+2=3.‎ ‎2.欲用数学归纳法证明:对于足够大的正整数n,总有2n>n3,则验证不等式成立所取的第一个n的最小值应该是(　　)‎ A.1 B.9‎ C.10 D.n>10,且n∈N*‎ 答案:C 解析:210=1024>103.故选C.‎ ‎3.命题P(n)对于n=1成立,如果n=k成立,那么对于n=k+2也成立.下述结论正确的是(　　)‎ A.P(n)对于所有的自然数n都成立 B.P(n)对于所有的正奇数n都成立 C.P(n)对于所有的正偶数n都成立 D.P(n)对于所有大于3的自然数n都成立 答案:B 解析:由于若命题P(n)对n=k成立,则它对n=k+2也成立.‎ 又已知命题P(1)成立,可推出P(3),P(5),P(7),P(9),P(11)…均成立,即P(n)对所有的正奇数n都成立.‎ ‎4.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3,n∈N*,能被9整除”,要利用归纳假设证当n=k+1(k∈N*)时的情况,只需展开(　　)‎ A.(k+3)3 B.(k+2)3‎ 6‎ C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3‎ 答案:A 解析:假设n=k(k∈N*)时,k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,当n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3为了能用上面的归纳假设证明,只需将(k+3)3展开,让其出现k3即可.故选A.‎ ‎5.对于不等式n‎2‎‎+n‎1‎‎2‎,1+‎1‎‎2‎‎+‎‎1‎‎3‎>1,1+‎1‎‎2‎‎+‎‎1‎‎3‎+…+‎1‎‎7‎‎>‎‎3‎‎2‎,1+‎1‎‎2‎‎+‎‎1‎‎3‎+…+‎1‎‎15‎>2,……你能得到一个怎样的一般不等式?并加以证明.‎ 解:一般结论:1+‎1‎‎2‎‎+‎‎1‎‎3‎+…+‎1‎‎2‎n‎-1‎‎>‎n‎2‎(n∈N*),证明如下:‎ ‎(1)当n=1时,由题设条件知命题成立.‎ 6‎ ‎(2)假设当n=k(k∈N*)时猜想成立,‎ 即1+‎1‎‎2‎‎+‎‎1‎‎3‎+…+‎‎1‎‎2‎k‎-1‎‎>k‎2‎.‎ 当n=k+1时,1+‎1‎‎2‎‎+‎‎1‎‎3‎+…+‎1‎‎2‎k‎-1‎‎+‎‎1‎‎2‎k+…+‎1‎‎2‎k+1‎‎-1‎‎>k‎2‎+‎1‎‎2‎k+‎‎1‎‎2‎k‎+1‎+…+‎1‎‎2‎k+1‎‎-1‎‎>k‎2‎+‎1‎‎2‎k+1‎+‎‎1‎‎2‎k+1‎+…+‎‎1‎‎2‎k+1‎‎=k‎2‎+‎2‎k‎2‎k+1‎=k+1‎‎2‎.‎ ‎∴当n=k+1时不等式成立.‎ 根据(1)和(2)可知猜想对任何n∈N*都成立.‎ ‎8.观察下列等式:‎ ‎1=1,‎ ‎2+3+4=9,‎ ‎3+4+5+6+7=25,‎ ‎4+5+6+7+8+9+10=49,‎ ‎……‎ ‎(1)写出第5个等式;‎ ‎(2)你能作出什么一般性的猜想?请用数学归纳法证明你的猜想.‎ 解:(1)第5个等式为5+6+7+…+13=81.‎ ‎(2)猜测第n个等式为n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.‎ 证明:①当n=1时显然成立;‎ ‎②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时成立,‎ 即k+(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)=(2k-1)2.‎ 则当n=k+1时,(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)+(3k-1)+3k+(3k+1)‎ ‎=k+(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)+(2k-1)+3k+3k+1‎ ‎=(2k-1)2+(2k-1)+3k+(3k+1)‎ ‎=4k2-4k+1+8k ‎=(2k+1)2‎ ‎=[2(k+1)-1]2.‎ 6‎ 这就是说,当n=k+1时,等式也成立.‎ 根据①②知,等式对任何n∈N*都成立.‎ ‎9.设a>0,f(x)=axa+x,令a1=1,an+1=f(an),n∈N*.‎ ‎(1)写出a2,a3,a4的值,并猜想数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)用数学归纳法证明你的结论.‎ ‎(1)解∵a1=1,∴a2=f(a1)=f(1)=a‎1+a;a3=f(a2)=a‎2+a;a4=f(a3)=a‎3+a‎.‎猜想an=a‎(n-1)+a(n∈N*).‎ ‎(2)证明①易知当n=1时,猜想正确.‎ ‎②假设当n=k(k∈N*)时,猜想正确,即ak=a‎(k-1)+a,‎ 则ak+1=f(ak)=‎a·‎aka+‎ak‎=a·‎a‎(k-1)+aa+‎a‎(k-1)+a=a‎(k-1)+a+1‎=a‎[(k+1)-1]+a.‎ 故n=k+1时,猜想正确.‎ 由①②知,对于任何n∈N*,都有an=‎a‎(n-1)+a‎.‎ 能力提升 ‎10.利用数学归纳法证明不等式1+‎1‎‎2‎‎+‎‎1‎‎3‎+…+‎1‎‎2‎n‎-1‎2,f(8)>‎5‎‎2‎,f(16)>3,f(32)>‎7‎‎2‎,则其一般结论为　　　　　　　　　　　　　. ‎ 答案:f(2n)>n+2‎‎2‎(n≥2,n∈N*)‎ 解析:因为f(22)>‎4‎‎2‎,f(23)>‎5‎‎2‎,f(24)>‎6‎‎2‎,f(25)>‎7‎‎2‎,所以当n≥2时,有f(2n)>‎n+2‎‎2‎‎.‎ 故填f(2n)>n+2‎‎2‎(n≥2,n∈N*).‎ 6‎ 6‎