- 2021-06-15 发布 |
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文档介绍
2020届二轮复习数列模型的应用学案（全国通用）
数列模型的应用 在日常生活中，经常遇到存款利息，购房贷款等实际计算问题，都需要用有关数列的知识来解决． 精选例题 数列模型的应用 1. 某城市2014年底人口为 500 万，人均住房面积为 6 平方米，如果该城市的人口平均增长率为 1%，为使2024年底该城市人均住房面积增加到至少 7 平方米，则平均每年新增住房面积至少万 平方米（保留到整数，其中 1+1％10≈1.105）． 【答案】 87 【分析】 设该城市平均每年新增住房面积为 x 万平方米，由题意，6×500+10x5001+1%10⩾7，化简得，x⩾3501+1%10-300≈87， 故平均每年新增住房面积至少 87 万平方米． 2. 某厂去年产值为 a，计划在 5 年内每年比上一年产值增长 10%，从今年起 5 年内，该厂的总产值为 ． 【答案】 11a1.15-1 3. 流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病．某市去年11月份曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有 20 人，以后每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加 50 人，那么到11月7日该市新感染者共有 人． 【答案】 1190 【分析】 设从11月1日起，第 n 天的新感染者有 an 人， 则 an+1-an=50， 则每天的新感染者构成以 a1=20，d=50 的等差数列 an，所以到11月7日该市新感染者共有 S7=7a1+7×62d=7×20+7×62×50=1190 人． 4. 一牧羊人赶着一群羊通过 36 个关口，每过一个关口，守关人将拿走当时羊的一半，然后退还一只，过完这些关口后，牧羊人只剩 2 只羊，牧羊人原来有 只羊． 【答案】 2 【分析】 过最后一个关口有两只羊，则过第 35 个关口也是 2 只羊，依次类推，原来有 2 只羊． 其他方法：设原来有羊 x 只，过第 n 个关口有 an 只羊，则 a1=x2+1，an=12an-1+1，所以 an-2=12an-1-2，所以 an=2+x2-112n-1，依题意，2+x2-11235=2，得 x=2． 5. 某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘心直径 40 mm，满盘时直径 120 mm，已知卫生纸的厚度为 0.1 mm，则满盘时卫生纸的长度大约是 m（精确到 1 m，π取3.14）． 【答案】 100 m 【分析】 依题意可知卫生纸的厚度是以首项为 40 mm，公差为 0.1×2，末项为 120 mm 的等差数列，总共项数为 120-400.1×2=400，所以满盘时卫生纸的总长度为 π×120+π×402×400=32000πmm=32π m≈100.48 m≈100 m． 6. 从盛满 a 升酒精的容器里倒出 b 升，然后再用水加满，再倒出 b 升，再用水加满；这样倒了 n 次，则容器中有纯酒精 升． 【答案】 a1-ban 7. 某工厂去年产值为 a ，计划在今后 5 年内每年比上年产值增加 10% ，则从今年起到第 5 年，这个厂的总产值为 ． 【答案】 11×1.15-1a 【分析】 每年的总产值构成以 1.1a 为首项，公比为 1.1 的等比数列，∴ S5= 1.1a1-1.151-1.1 =11×1.15-1a ． 8. 有 200 根相同的圆钢，将其中一些堆放成横截面为正三角形的垛，要求剩余的根数尽可能的少，这时剩余的圆钢有 根． 【答案】 10 【分析】 由 1+2+3+⋯+n⩽200，得 nn+12⩽200． 解得 n=19 时，剩余的圆钢根数最少，为 10 根． 9. 夏季某高山上的温度从山脚起，每升高 100 米降低 0.7 ∘C ，已知山顶处的温度是 14.8 ∘C ，山脚温度是 26 ∘C ，则该山的山顶相对于山脚处的高度是 ． 【答案】 1600 米 10. 已知某厂的月平均增长率为 a a>0，则该厂年平均增长率为 ． 【答案】 1+a12-1 【分析】 年平均增长率=第二年总产量-第一年总产量第一年总产量 11. 某家用电器的单价为 2000 元，现用分期付款的方式购买一件该家用电器，购买后 1 个月第 1 次还款，以后每月还款 1 次，每次还款数额相同，12 个月还清，月利率为 0.8%．若按复利计算，那么每月还款大约为多少远？（参考数据：1.00812≈1.1） 【解】 设每月还款 x 元，到款还清时，各月本利之和组成数列 an 1⩽n⩽12,n∈N+． 则 a1=1+0.000811x，a2=1+0.00810x，⋯，a11=1+0.008x，a12=x，a1+a2+⋯+a12=1+0.00811x+1+0.00810x+⋯+x=1.00812-10.008x． 因为按复利计算所购电器的款额及利息之和为 2000×1.00812， 所以 1.00812-10.008x=2000×1.00812， 解得 x≈176， 即每月还款大约为 176 元． 12. 已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 a（单位：m2），其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的 10% 建设新住房，同时也拆除面积为 b（单位：m2）的旧住房． (1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式： 【解】 第 1 年末的住房面积 a⋅1110-b=1.1a-bm2, 第 2 年末的住房面积 a⋅1110-b⋅1110-b=a⋅11102-b1+1110=1.21a-2.1bm2. (2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了 30%，则每年拆除的旧住房面积 b 是多少？（计算时取 1.15=1.6） 【解】 第 3 年末的住房面积 a⋅11102-b1+11101110-b=a⋅11103-b1+1110+11102, 第 4 年末的住房面积 a⋅11104-b1+1110+11102+11103, 第 5 年末的住房面积 a⋅11105-b1+1110+11102+11102+11104=1.15a-1-1.151-1.1b=1.6a-6b, 依题意可知 1.6a-6b=1.3a，解得 b=a20，所以每年拆除的旧房面积为 a20m2． 13. 一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在每年生日这一天到银行储蓄 a 元一年定期，若年利率为 r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子 18 岁上学时（18 岁的生日不再存入）将所有存款（含利息）全部取出，请你为这对夫妇算一算，能取回的钱的总数是多少？ 【解】 不妨从每年存入的 a 元到 18 岁时产生的本息入手考虑，出生时的 a 元到 18 岁时变成了 a1=a1+r18，1 岁生日的 a 元到 18 岁时变成了 a2=a1+r17，2 岁生日的 a 元到 18 岁时变成了 a3=a1+r16，⋯；17 岁生日的 a 元到 18 岁时变成了 a18=a1+r． ∴ 由数列可知，18 岁时取出的钱的总数为：a1+r18+a1+r17+a1+r16+⋯+a1+r=ar1+r19-1+r． 14. 某厂生产微机，原计划第一季度每月增产台数相同，在生产过程中，实际一月份产量与原计划相同，二月份比原计划多生产 10 台，三月份比原计划多生产 25 台，这样三个月成等比数列，而第三个月的产量比原计划第一季度总产量的一半少 10 台．问该厂第一季度实际生产微机多少台？ 【解】 设原计划第一季度三个月的产量分别为 x-d，x，x+d，则由题意得： x+102=x-dx+d+25,x+d+25=3x2-10. 解得 d=10，d=-25（舍去），所以 x=90． 所以，第一季度实际产量为 80+90+100+10+25=305（台）． 15. 某生产流水线，由于改进了设备，预计第一年产量的增长率为 160%，以后每年的增长率是前一年的一半，设原产量为 a． (1)写出改进设备后的第一年，第二年，第三年的产量，并写出第 n 年与第 n-1 年（n⩾2）的产量之间的关系式； 【解】 设第 n 年的产量为 an，则 a1=a1+160%，a2=a1+160%1+80%，a3=a1+160%1+80%1+40% 即 a1=135a，a2=11725a，a3=819a125． 由于 a2=a11+80%=a11+12⋅160%， a3=a21+40%=a21+122⋅160%， ∴an=an-11+12n-1⋅160%=an-11+15⋅2n-4（n⩾2，n∈N*）． (2)由于设备不断老化，估计每年将损失产量的 5%，如此下去，以后每年的产量是否始终是逐年提高？若是，请给予证明；若不是，请说明从第几年起，产量将比上一年减少． 【解】 由题意 an=an-11+15⋅2n-41-5%，若以后每年的产量减少，则 an<an-1，也即 1+15⋅2n-41-5%<1． 即 2n-4>195， ∴n-4⩾2，也就是 n⩾6 时，an<an-1． 故从第 6 年起，每年的产量比上一年减少． 16. 某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第 2 年到第 6 年，每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元；从第 7 年开始，每年初 M 的价值为上年初的 75%． (1)求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式； 【解】 当 n⩽6 时，数列 an 是首项为 120，公差为 -10 的等差数列． an=120-10n-1=130-10n; 当 n⩾6 时，数列 an 是以 a6 为首项，公比为 34 的等比数列，又 a6=70，所以 an=70×34n-6. 因此，第 n 年初，M 的价值 an 的表达式为 an=130-10n,n⩽6,70×34n-6,n⩾7. (2)设 An=a1+a2+⋯+ann，若 An 大于 80 万元，则 M 继续使用，否则须在第 n 年初对 M 更新．证明：须在第 9 年初对 M 更新． 【解】 设 Sn 表示数列 an 的前 n 项和，由等差及等比数列的求和公式得： 当 1⩽n⩽6 时， Sn=120n-5nn-1,An=120-5n-1=125-5n; 当 n⩾7 时， Sn=S6+a7+a8+⋯+an=570+70×34×4×1-34n-6=780-210×34n-6,An=780-210×34n-6n. 因为 an 是递减数列，所以 An 是递减数列，又 A8=780-210×348-68=824764>80,A9=780-210×349-69=767996<80, 所以须在第 9 年初对 M 更新． 17. 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产，该企业第一年年初有资金 2000 万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了 50%．预计以后每年资金年增长率与第一年的相同，公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金 d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an 万元． (1)用 d 表示 a1 与 a2，并写出 an+1 与 an 的关系式． 【解】 由题意得 a1=20001+50%-d=3000-d， a2=a11+50%-d=32a1-d=4500-52d， an+1=an1+50%-d=32an-d． (2)如果企业的生产规模仅与投入的资金有关，为保证企业生产规模持续扩大，求 d 的取值范围． 【解】 一方面，企业生产规模扩大，需 an+1>an，a1>2000，即 an>2d 对任意正整数 n 恒成立． 将 n=1 代入上式，得 d<1000． 另一方面，由（1）得 an=32an-1-d=322an-2-32d-d=322an-2-d1+32=⋯=32n-1a1-d1+32+322+⋯+32n-2. 整理得 an=32n-13000-d-2d32n-1-1=32n-13000-3d+2d. 由题意可知，当 d<1000 时，an 随 n 的增大而增大． 所以 d 的取值范围是 0,1000． (3)当 d=500 万元时，公司经过多少年可使得剩余资金不少于 4000 万元？ 【解】 由题意得 an⩾4000,d=500, 所以 32n-13000-3×500+2×500⩾4000． 解得 n⩾3． 故当 d=500 万元时，公司经过 3 年可使得剩余资金不少于 4000 万元． 18. 小华准备买一台售价为 5000 元的电脑，采用分期付款的方式，并在一年内将款全部付清．商场提出的付款方式为：购买后 2 个月第一次付款，再过 2 个月第二次付款，⋯，购买后 12 个月第六次付款，每次付款金额相同，约定月利率为 0.8%，每月利息按复利计算．求小华每期付款的金额是多少？ 【解】 假定小华每期付款 x 元，第 k 个月末付款后的本利欠款数为 Ak 元，则 A2=5000×1+0.0082-x;A4=A21+0.0082-x=5000×1+0.0084-1.0082x-x;A6=A41+0.0082-x=5000×1+0.0086-1.0084x-1.0082x-x;⋮A12=5000×1.00812-1.00810+1.0088+1.0086+1.0084+1.0082+1x. 由题意年底还清，所以 A12=0．解得 x=5000×1.008121+1.0082+1.0084+1.0086+1.0088+1.00810≈880.8元. 答：小华每次付款的金额为 880.8 元． 19. 某村投资 128 万元建起了一处生态采摘园，预计在经营过程中，第一年支出 10 万元，以后每年支出都比上一年增加万元，从第一年起的销售收入都是 76 万元．设 y 表示前 nn∈N* 年的利润总和（利润总和 = 总销售收入 - 总经营支出 - 投资）． (1)该生态园从第几年开始盈利？ 【解】 每年的支出组成首项为 10，公差为 4 的等差数列，可得前 n 年的总支出为 10n+nn-12×4， 所以前 n 年的利润总和为 y=76n-10n+nn-12×4-128=-2n2+68n-128． 由 y>0，即 -2n2+68n-128>0， 解得 2查看更多