2021高考数学大一轮复习单元质检十算法初步统计与统计案例理新人教A版

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单元质检十　算法初步、统计与统计案例 ‎(时间:45分钟　满分:100分)‎ ‎　单元质检卷第20页　 ‎ 一、选择题(本大题共7小题,每小题7分,共49分)‎ ‎1.执行如图所示的程序框图,输出的s值为(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎‎5‎‎6‎ C.‎7‎‎6‎ D.‎‎7‎‎12‎ 答案:B 解析:第一步:s=1-‎1‎‎2‎‎=‎‎1‎‎2‎,‎ k=2,k<3;‎ 第二步:s=‎1‎‎2‎‎+‎1‎‎3‎=‎‎5‎‎6‎,k=3,‎ 输出s.‎ 故选B.‎ ‎2.某大学对1 000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计,得到样本频率分布直方图如图所示,则这1 000名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于70分的学生人数是(　　)‎ 9‎ A.300 B.400 C.500 D.600‎ 答案:D 解析:依题意,得题中的1000名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于70分的学生人数是1000×(0.035+0.015+0.010)×10=600,故选D.‎ ‎3.某校共有2 000名学生,各年级男、女生人数如表所示.已知在全校学生中随机抽取1名,抽到二年级女生的概率是0.18.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则应在三年级抽取的学生人数为(　　)‎ 一年级 二年级 三年级 女生 ‎363‎ x y 男生 ‎387‎ ‎390‎ z A.12 B.16 C.18 D.24‎ 答案:B 解析:由题意可得二年级的女生的人数为2000×0.18=360,则一、二年级学生总数363+387+360+390=1500,故三年级学生总数是2000-1500=500.因此,用分层抽样法在三年级抽取的学生数为64×‎500‎‎2000‎=16.故选B.‎ ‎4.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.根据某地某日早7点到晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据(单位:毫克/立方米)列出的茎叶图如图所示,则甲、乙两地PM2.5的方差较小的是(　　)‎ A.甲 B.乙 9‎ C.甲、乙相等 D.无法确定 答案:A 解析:从茎叶图上可以观察到:甲监测点的样本数据比乙监测点的样本数据更加集中,因此甲地PM2.5的方差较小.‎ ‎5.(2019云南玉溪高三五调)在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据,并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图.根据该图,下列结论中正确的是(　　)‎ A.人体脂肪含量与年龄正相关,且脂肪含量的中位数等于20%‎ B.人体脂肪含量与年龄正相关,且脂肪含量的中位数小于20%‎ C.人体脂肪含量与年龄负相关,且脂肪含量的中位数等于20%‎ D.人体脂肪含量与年龄负相关,且脂肪含量的中位数小于20%‎ 答案:B 解析:由题图可知,随着年龄的增加,脂肪含量的百分比也在不断增加,因此人体脂肪含量与年龄正相关,图中有10个数据点,中间的第5,6个均在20%以下,所以脂肪含量的中位数小于20%.‎ ‎6.在利用最小二乘法求回归方程y‎^‎=0.67x+54.9时,用到了下面表中的5组数据,则表格中a的值为(　　)‎ x ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ y ‎62‎ a ‎75‎ ‎81‎ ‎89‎ A.68 B.70 C.75 D.72‎ 答案:A 解析:由题意可得x‎=‎‎1‎‎5‎(10+20+30+40+50)=30,y‎=‎‎1‎‎5‎(62+a+75+81+89)=‎1‎‎5‎(a+307).‎ 9‎ 因为回归直线方程y‎^‎=0.67x+54.9过样本点的中心,所以‎1‎‎5‎(a+307)=0.67×30+54.9,解得a=68.‎ ‎7.某高校进行自主招生,先从报名者中筛选出400人参加笔试,再按笔试成绩择优选出100人参加面试.现随机调查了24名笔试者的成绩,如下表所示:‎ 分数段 ‎[60,65)‎ ‎[65,70)‎ ‎[70,75)‎ ‎[75,80)‎ ‎[80,85)‎ ‎[85,90]‎ 人数 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎9‎ ‎5‎ ‎1‎ 据此估计允许参加面试的分数线是(　　)‎ A.75 B.80 C.85 D.90‎ 答案:B 解析:因为参加笔试的400人中择优选出100人,所以每个人被择优选出的概率P=‎100‎‎400‎‎=‎‎1‎‎4‎.因为随机调查24名笔试者,所以估计能够参加面试的人数为24×‎1‎‎4‎=6.观察表格可知,分数在[80,85)的有5人,分数在[85,90)的有1人,故面试的分数线大约为80分,故选B.‎ 二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)‎ ‎8.若一组样本数据2,3,7,8,a的平均数为5,则该组数据的方差s2=　　　　　. ‎ 答案:‎‎26‎‎5‎ 解析:∵‎2+3+7+8+a‎5‎=5,∴a=5.∴s2=‎1‎‎5‎[(2-5)2+(3-5)2+(7-5)2+(8-5)2+(5-5)2]=‎26‎‎5‎.‎ ‎9.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为80,则判断框内应填入　　　　　. ‎ 答案:n>7?‎ 解析:模拟程序的运行,可得S=0,n=1,a=3,执行循环体,S=3,a=5,‎ 不满足条件,执行循环体,n=2;S=8,a=7,‎ 9‎ 不满足条件,执行循环体,n=3;S=15,a=9,‎ 不满足条件,执行循环体,n=4;S=24,a=11,‎ 不满足条件,执行循环体,n=5;S=35,a=13,‎ 不满足条件,执行循环体,n=6;S=48,a=15,‎ 不满足条件,执行循环体,n=7;S=63,a=17,‎ 不满足条件,执行循环体,n=8;S=80,a=19,‎ 由题意,此时满足条件,退出循环,输出的S结果为80,‎ 则判断框内应填入“n>7?”.‎ 三、解答题(本大题共3小题,共37分)‎ ‎10.(12分)从某校随机抽取200名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:h)的数据,整理得到数据的频数分布表和频率分布直方图(如图).‎ 编　号 分　组 频　数 ‎1‎ ‎[0,2)‎ ‎12‎ ‎2‎ ‎[2,4)‎ ‎16‎ ‎3‎ ‎[4,6)‎ ‎34‎ ‎4‎ ‎[6,8)‎ ‎44‎ ‎5‎ ‎[8,10)‎ ‎50‎ ‎6‎ ‎[10,12)‎ ‎24‎ ‎7‎ ‎[12,14)‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎[14,16)‎ ‎4‎ ‎9‎ ‎[16,18]‎ ‎4‎ 合　计 ‎200‎ ‎(1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12 h的概率;‎ ‎(2)求频率分布直方图中的a,b的值;‎ 9‎ ‎(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的200名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组.‎ 解:(1)由频率分布表可知该周课外阅读时间不少于12h的频数为12+4+4=20,故可估计该周课外阅读时间少于12h的概率为1-‎20‎‎200‎=0.9.‎ ‎(2)由频率分布表可知数据在[4,6)的频数为34,故这一组的频率为0.17,即a=0.085,数据在[8,10)的频数为50,故这一组的频率为0.25,即b=0.125.‎ ‎(3)数据的平均数为‎1‎‎200‎(1×12+3×16+5×34+7×44+9×50+11×24+13×12+15×4+17×4)=7.68(h),故样本中的200名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组.‎ ‎11.(12分)(2019广东深圳高三二调)某网店销售某种商品,为了解该商品的月销量y(单位:千件)与月售价x(单位:元/件)之间的关系,对近几年的月销售量yi和月销售价xi(i=1,2,3,…,10)数据进行了统计分析,得到了下面的散点图:‎ ‎(1)根据散点图判断,y=c+dln x与y=bx+a哪一个更适宜作为月销量y关于月销售价x的回归方程类型?(给出判断即可,不需说明理由)并根据判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;‎ ‎(2)利用(1)中的结果回答问题:已知该商品的月销售额为z(单位:千元),当月销售量为何值时,商品的月销售额预报值最大?(月销售额=月销售量×当月售价)‎ 参考公式、参考数据及说明:‎ ‎①对一组数据(v1,w1),(v2,w2),…,(vn,wn),其回归直线w‎^‎‎=α‎^‎+‎β‎^‎v的斜率和截距的最小二乘法估计分别为β‎^‎‎=‎∑‎i=1‎n‎(wi-w)(vi-v)‎‎∑‎i=1‎n‎(vi-‎v‎)‎‎2‎,α‎^‎=w-‎β‎^‎v.‎ ‎②参考数据:‎ 9‎ x y u ‎∑‎i=1‎‎10‎‎(xi-x)2‎ ‎∑‎i=1‎‎10‎‎(ui-u)2‎ ‎∑‎i=1‎‎10‎‎(xi-x)·‎ ‎(yi-y)‎ ‎∑‎i=1‎‎10‎‎(ui-u)·‎ ‎(yi-y)‎ ‎6.50‎ ‎6.60‎ ‎1.75‎ ‎82.50‎ ‎2.70‎ ‎-143.25‎ ‎-27.54‎ 表中ui=ln xi,u‎=‎‎1‎‎10‎‎∑‎i=1‎‎10‎ui.‎ ‎③计算时,所有的小数都精确到0.01,如ln 4.06≈1.40.‎ 解:(1)y=c+dlnx更适宜销量y关于月销售价x的回归方程类型.‎ 令u=lnx,先建立y关于u的线性回归方程,‎ 由于d‎^‎‎=‎∑‎i=1‎‎10‎‎(yi-y)(ui-u)‎‎∑‎i=1‎‎10‎‎(ui-‎u‎)‎‎2‎=‎‎-27.54‎‎2.70‎=-10.20,‎ c‎^‎‎=y-‎d‎^‎u‎=6.6+10.20×1.75=24.45,‎ 所以y关于u的线性回归方程为y‎^‎=24.45-10.20u,‎ 因此y关于x的线性回归方程为y‎^‎=24.45-10.20ln x,‎ ‎(2)依题意得:z=xy=x(24.45-10.20ln x),‎ z'=xy=[x(24.45-10.20ln x)]'=14.25-10.20ln x,‎ 令z'=0,即14.25-10.20ln x=0,解得ln x≈1.40,‎ 所以x≈4.06,‎ 当x∈(0,4.06)时,z递增,当x∈(4.06,+∞)时,z递减,‎ 故当x=4.06,即月销售量y=10.17(千件)时,月销售额预报值最大.‎ ‎12.(13分)某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系,对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间(单位:min)进行调查,将收集到的数据分成[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]六组,并作出频率分布直方图(如图).将日均课外体育锻炼时间不低于40 min的学生评价为“课外体育达标”.‎ 9‎ ‎(1)请根据频率分布直方图中的数据填写下面的2×2列联表,并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关?‎ 课外体育不达标 课外体育达标 总计 男 ‎60‎ ‎　　　 ‎ ‎　 ‎ 女 ‎　　　 ‎ ‎　　　 ‎ ‎110‎ 总计 ‎　　　 ‎ ‎　　　 ‎ ‎　 ‎ ‎(2)现从“课外体育达标”学生中按分层抽样抽取5人,再从这5名学生中随机抽取2人参加体育知识问卷调查,求抽取的这2人课外体育锻炼时间都在[40,50)内的概率.‎ 附参考公式与数据:K2=‎n(ad-bc‎)‎‎2‎‎(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 解:(1)根据频率分布直方图,得“课外体育达标”的学生数为200×(0.020+0.005)×10=50.‎ 由2×2列联表可知“课外体育达标”的男生人数为30,女生人数为20.‎ 补全2×2列联表如下:‎ 课外体育不达标 课外体育达标 总计 男 ‎60‎ ‎30‎ ‎90‎ 女 ‎90‎ ‎20‎ ‎110‎ 总计 ‎150‎ ‎50‎ ‎200‎ 计算K2的观测值 k=n(ad-bc‎)‎‎2‎‎(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)‎=‎200×(60×20-90×30‎‎)‎‎2‎‎90×110×150×50‎≈6.061<6.635,‎ 故在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能认为“课外体育达标”与性别有关.‎ 9‎ ‎(2)从“课外体育达标”学生中按分层抽样抽取5人,其中课外体育锻炼时间在[40,50)内有5×‎0.020‎‎0.020+0.005‎=4(人),分别记为a,b,c,d;‎ 在[50,60]上有1人,记为E.‎ 从这5人中抽取2人,总的基本事件有ab,ac,ad,aE,bc,bd,bE,cd,cE,dE共10种,其中2人都在[40,50)内的基本事件有ab,ac,ad,bc,bd,cd共6种,故所求的概率为‎6‎‎10‎=0.6.‎ 9‎