2017-2018学年北京市北京师范大学附属中学高二上学期期中考试数学（理）试题 解析版

2017-2018学年北京市北京师范大学附属中学高二上学期期中考试数学（理）试题 解析版

北京师大附中2017-2018学年上学期高二年级期中考试数学试卷（理科）‎ 一、选择题（每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）‎ ‎1. 已知命题，，则是 A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】为：，.选C.‎ ‎2. 设直线的倾斜角为，且，则a,b满足 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题设有，因为，所以，所以，故，选D.‎ ‎3. 已知p,q是简单命题，那么“是真命题”是“是真命题”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：若是真命题，则为真命题，且为真，而为假命题，所以“是真命题”是为真命题的既不充分也不必要条件，所以答案为D．‎ 考点：1．充要条件；2．含有逻辑联结词的命题的真假性．‎ ‎4. 直线与圆交于E，F两点，则（O是原点）的面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】圆心到直线的距离为，所以，而到直线的距离为，所以.选D.‎ ‎5. 关于两条不同的直线m,n与两个不同的平面、，下列命题正确的是 A. ，且，则 B. ，且，则 C. ，且，则 D. ，且，则m//n ‎【答案】B ‎【解析】在如图所示的正方体中， 平面 ， 平面，平面平面，，异面，A错；在正方体中，平面平面，平面，平面，但是，C错；平面平面，平面， 平面 ，但是相交.排除A，C，D.选B.‎ ‎6. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该椭圆的离心率是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】抛物线的焦点为，所以，所以，椭圆的离心率为.选A.‎ ‎7. 已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的标准方程为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】不妨设双曲线的标准方程为，所以，且，所以 ‎，双曲线的标准方程为.选A.‎ ‎8. 已知点A（2，1），抛物线的焦点是F，若抛物上存在一点P，使得最小，则P点的坐标为 A. （2，1） B. （1，1） C. （，1） D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】抛物线的准线为，过作准线的垂线，垂足为，则，其中为到准线的距离，而，此时.选C.‎ 点睛：在抛物线中，与焦点有关的最值问题，通常转化为与准线有关的最值问题.‎ ‎9. 某校举行了以“重温时代经典，唱响回声嘹亮”为主题的“红歌”歌咏比赛，该校高一年级有1，2，3，4，四个班参加了比赛，其中有两个班获奖，比赛结果揭晓之前，甲同学说：“两个获奖班级在2班、3班、4班中”，乙同学说：“2班没有获奖，3班获奖了”，丙同学说：“1班、4班中有且只有一个班获奖”，丁同学说：“乙说得对”，已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则这两人是 A. 乙，丁 B. 甲，丙 C. 甲，丁 D. 乙，丙 ‎【答案】B ‎【解析】由题意可知乙与丁的说法同时正确或者同时错误，若乙丁同时正确，根据乙的说法“班没有获奖，班获奖了”中奖情况有两种：班和班获奖或者班和班获奖，两种情况都说明丙同学的说法正确，这样就有丙乙丁三位同学的说法正确，所以不合题意，故只能乙丁两位同学说法同时错误，从而知甲丙两位同学说法正确，故选B.‎ ‎10. 如图，正方体中，P为底面ABCD上的动点，于E，且PA=PE，则点P的轨迹是 A. 线段 B. 圆弧 C. 椭圆的一部分 D. 抛物线的一部分 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 如图，过做，垂足为，连接.因为 平面 ， 平面 ‎，故.又因 ，故平面，而平面， 所以. 因为 ，故 平面 ，则为直角三角形且，而，故，故，故为的角平分线，故为定点，又，故的轨迹为过且垂直于的线段.选A.‎ 点睛：题设中给出了，我们需要把这种垂直关系转化为平面中的的某种几何性质，故在平面中作，通过空间中垂直关系的转化得到为定点，从而在一条定线段上.‎ 二、填空题（每小题5分，共30分）‎ ‎11. 已知直线与直线垂直，则实数a的值是________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为两条直线垂直，故，所以.‎ ‎12. 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围_______。‎ ‎【答案】(1，5)‎ ‎【解析】因为焦点在椭圆上，故，解得即.‎ ‎13. 已知双曲线的方程为，则此双曲线的离心率为___________，其焦点到渐近线的距离为_____________。‎ ‎【答案】 (1). (2). 1‎ ‎【解析】（1），所以，故离心率为，渐近线方程为，所以焦点到它们的距离为.‎ ‎ ‎ ‎14. 已知直线与抛物线相交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是____________。‎ ‎【答案】（4，2）‎ ‎【解析】设，由得到也就是，所以 ，故，因此中点坐标为.‎ 点睛：直线与圆锥曲线的位置关系，通常联立方程，通过韦达定理去处理与两根之和、两根之积相关的代数式或相关问题.‎ ‎15. 若直线与曲线有公共点，则k的取值范围是_____________。‎ ‎【答案】[0，1]‎ ‎【解析】如图，曲线表示如图所示的半圆，表示过定点的动直线，当动直线在之间时，它与半圆总有公共点，又，，故，也即是.‎ 点睛：注意表示半圆，又本题的实质是动直线与半圆的至少有一个公共点.利用几何意义可以直接求得两个临界值，所求范围在两个临界值之间.‎ ‎16. 在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义P的“伴随点”为；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C定义为曲线C的“伴随曲线”，现有下列命题：‎ ‎①若点A的“伴随点”是点A’，则点A’的“伴随点”是点A；‎ ‎②单位圆的“伴随曲线”是它自身；‎ ‎③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C’关于y轴对称；‎ ‎④一条直线的“伴随曲线”是一条直线 其中的真命题是____________（写出所有真命题的序列）‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】试题分析：对于①，若令，则其伴随点为，而的伴随点为，而不是，故①错误；对于②，令单位圆上点的坐标为，则其伴随点为，仍在单位圆上，故②正确；对于③，设曲线关于轴对称，则 与曲线表示同一曲线，其伴随曲线分别为与，它们也表示同一曲线，又因为伴随曲线与关于轴对称，所以③正确；对于④，取直线上一点P（x，y），则其伴随点为 ，消参后轨迹是圆，故④错误.所以真命题为②③.‎ ‎【考点】对新定义的理解、函数的对称性 ‎【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．本题新概念“伴随”实质是一个变换，一个坐标变换，只要根据这个变换得出新的点的坐标，然后判断，问题就得以解决．‎ ‎ ‎ 三、解答题（共80分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17. 已知点A(-2,m)(m>0)，圆 ‎（I）写出圆C的标准方程；‎ ‎（II）若过点A的圆的切线只有一条，求m的值及切线方程；‎ ‎（III）若过点A且在两坐标轴上截距（截距不为零）相等的直线被圆截得的弦长为，求m的值。‎ ‎【答案】(1) ;(2) ;(3)5.‎ ‎【解析】试题分析：（1）配方可以得到圆的标准方程.（2）因为过的圆的切线只有一条，故在圆上，从而求得的坐标并求得的斜率，最后求出切线方程.（3）因为截距相等且不为零，故其斜率必为，故可设直线方程为，再利用垂径定理求出圆心到该直线的距离，构建关于的方程即可得到的解.‎ ‎（1）圆的标准方程为：.‎ ‎（2）由于过点 的圆的切线只有一条，则点在圆上，故 ，所以又，所以切线的斜率为 ，切线方程为 ，整理得到.‎ ‎（3）因为过的直线在两坐标轴上截距相等且不为零，所以直线的斜率为，设直线方程为 ，也就是，又圆心到该直线的距离为，所以 ‎，解得（舎）或.‎ ‎18. 已知椭圆W：，直线l过点（0，-2）与椭圆W交于两点A，B，O为坐标原点。‎ ‎（I）求椭圆的离心率和短轴长；‎ ‎（II）若直线l的斜率是2，求线段AB的长。‎ ‎【答案】（1）；；（II）‎ ‎【解析】试题分析：（1）把椭圆方程化成标准形可得到椭圆的基本量，离心率即为.（2）利用弦长公式求解，其中为直线的斜率，，.‎ 解析：（I）椭圆的标准方程为：，所以，，所以离心率为，短轴长为.‎ ‎（II）直线，联立有，整理得，所以. ‎ ‎19. 如图，已知直三棱柱中，AB=BC，E为AC中点。‎ ‎（I）求证：平面；‎ ‎（II）求证：平面平面。‎ ‎【答案】(1)见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（I）连接交与，则为的中位线，也就是，由这个结论可以证明平面.（II）要证平面平面，可证平面.它可以通过以及得到.‎ 解析：（I）证明：连结，与交于点，连结，因为三棱柱 是直三棱柱，所以四边形是矩形，点是中点，又为中点，所以因为平面，平面，所以平面.‎ ‎ ‎ ‎（II）证明：因为，为中点，所以.又因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，从而.所以平面。因为平面，所以平面平面 ‎20. 已知抛物线的焦点F在直线x-y-1=0上。‎ ‎（I）求抛物线C的方程；‎ ‎（II）设直线l经过点A（-2，-1），且与抛物线C有且只有一个公共点，求直线l的方程。‎ ‎【答案】（I）；（II）当直线l的方程为，或 ‎【解析】试题分析：（I）根据焦点坐标得到的值，从而得到抛物线的方程. （II）因为只有一个公共点，故联立后的方程只有一个实数根，可根据二次项的系数去讨论.‎ 解析：（I）直线与的交点为，它是抛物线的焦点，故，，所以.‎ ‎ ‎ 若，则直线，它与抛物线有一个公共点；‎ 若，则，整理得到，或，所以直线或 .‎ ‎21. 已知：椭圆C两焦点坐标分别为，，且经过点N。‎ ‎（I）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（II）若过M（0，-4）的直线l交椭圆C于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得 为等边三角形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎【答案】（I）（II）‎ ‎【解析】试题分析：（I）根据得到的大小，结合 可以得到椭圆的标准方程，注意焦点在轴上. （II）因为为等边三角形，所以可以看出的中垂线与轴的交点，设的中点为，那么，联立直线方程和椭圆方程后可以将该等式转化为关于斜率的方程，从而直线 及其中垂线的方程并求得的坐标.‎ 解析：（I）设椭圆的标准方程为，则，所以，所以椭圆的方程为.‎ ‎（II）直线的斜率必定存在，设直线，，.由可以得到，整理得到，，因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以，解得或 .又，的中点为 ， ，解得，又中垂线的方程为，，所以， .‎ 点睛：在圆锥曲线问题中，我们要注意寻找问题的几何特征，通过这些特征构建未知变量的方程或方程组去求解，在构建方程或方程组时需要利用韦达定理.‎ ‎22. 已知集合，其中，将（）中所有不同值的个数记为L（A）。‎ ‎（I）设集合，，求L（P），L（Q）；‎ ‎（II）设集合，求L（B）的值（用含n的式子表示）；‎ ‎（III）求L（A）的最小值（用含n的式子表示）‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）的最小值为.‎ ‎【解析】试题分析：（I）根据定义可求出，.（II）集合 中的构成等比数列，可以证明它们任意两者的和都是相异的，从而求得的值. （III）为了讨论问题方便，可以假设，从而诸中任意两个数的和中至少有个不相同的和，特别当为等差数列时，，也就是的最小值为.‎ 解析：(I)由，得 .‎ 由，得.‎ ‎（II）因为共有项，所以.‎ 又集合，任取，‎ ‎①当时，不妨设，则，即。‎ ‎②当，时，，‎ 因此，当且仅当，时，.‎ 即所有的值两两不同，所以.‎ ‎（III）不妨设，可得 ‎，‎ 故中至少有个不同的数，即.‎ 事实上，设成等差数列，考虑，根据等差数列的性质，当时，；‎ 当时，；‎ 因此每个或等于中的一个，或等于中的一个。故对这样的，，所以的最小值为.‎ 点睛：一般地，新定义问题可以根据题设给出的定义展开讨论.而对组合问题的最小值，我们可以先求出目标的一个范围，再通过特例验证等号成立，也就求出了目标的最小值.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎