数学理卷·2018届河南省豫南豫北名校高三精英联赛（2017

数学理卷·2018届河南省豫南豫北名校高三精英联赛（2017

豫北豫南名校2017-2018学年度精英联赛 高三数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.若复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎ ‎3.已知平面向量，的夹角为，且，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.已知双曲线过点，渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，头部的1尺，重4斤；尾部的1尺，重2斤；且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列．”则下列说法错误的是（ ）‎ A．该金锤中间一尺重3斤 B．中间三尺的重量和是头尾两尺重量和的3倍 C．该金锤的重量为15斤 D．该金锤相邻两尺的重量之差的绝对值为0.5斤 ‎ ‎6.已知，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.已知函数若关于的方程有且只有3个不同的根，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9.已知实数，满足则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.如图，正方体绕其体对角线旋转之后与其自身重合，则的值可以是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，与抛物线准线交于点，若是的中点，则（ ）‎ A．8 B．9 C．10 D．12 ‎ ‎12.设，，且，‎ ‎1.5‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎14‎ ‎27‎ 若表中的对数值恰有两个是错误的，则的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.定积分 ．‎ ‎14.在数列中，，，且（），则的值是 ．‎ ‎15.若关于的不等式在上的解集为，则实数的取值范围为 ．‎ ‎16.在中，若，则的最大值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.的内角、、的对边分别为，，，且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，且、、成等差数列，求的面积．‎ ‎18.如图，三棱柱的所有棱长均为2，平面平面，，为的中点．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若是棱的中点，求二面角的余弦值．‎ ‎19.某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道理科题3道文科题）不放回地依次任取3道作答．‎ ‎（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；‎ ‎（2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为，答对文科题的概率均为，若每题答对得10分，否则得零分．现该生已抽到三道题（两理一文），求其所得总分的分布列与数学期望．‎ ‎20.如图，曲线由上半椭圆：（，）和部分抛物线：（）连接而成，与的公共点为，，其中的离心率为．‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）过点的直线与，分别交于点，（均异于点，），是否存在直线，使得以为直径的圆恰好过点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎21.已知函数（，）有两个不同的零点，．‎ ‎（1）求的最值；‎ ‎（2）证明：．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，已知曲线：（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为 ‎．‎ ‎（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）过点且与直线平行的直线交于，两点，求点到，两点的距离之积．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数（）．　‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）求函数的最小值．‎ 豫北豫南名校2017-2018学年度精英联赛高三数学（理）试题答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14.50 15.或 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由，可得，‎ ‎∴，即．‎ ‎（2）∵，，‎ 由余弦定理，得，‎ 又∵、、的值成等差数列，由正弦定理，得，‎ ‎∴，解得．‎ 由，得，‎ ‎∴的面积．‎ ‎18.（1）证明：取中点，设与交于点，连接，，依题意得，‎ 因为平面平面，平面平面，，‎ 所以平面，即平面，所以，‎ 又因为四边形为菱形，所以，又，‎ 所以平面，‎ 而平面，所以．‎ ‎（2）解：（1）结合已知得：，，，‎ 以为原点，如图所示建立空间直角坐标系，因为侧面是边长为2的菱形，且，所以，，，，，‎ 所以，，，‎ 设平面的法向量为，‎ 则由，得令，可取，‎ 而平面的一个法向量，由图可知二面角为锐角，‎ 因为，‎ 所以二面角的余弦值为．‎ ‎19.解：（1）记“该考生在第一次抽到理科题”为事件，“‎ 该考生第二次和第三次均抽到文科题”为事件，则，，‎ 所以该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率为 ‎．‎ ‎（2）的可能取值为0,10,20,30，‎ 则，，‎ ‎，．‎ 所以的分布列为：‎ 所以，的数学期望．‎ ‎20.解：（1）在，的方程中，令，可得，且，是上半椭圆的左、右顶点，‎ 设半焦距为，由及可得，‎ ‎∴，．‎ ‎（2）由（1）知，上半椭圆的方程为，‎ 易知，直线与轴不重合也不垂直，设其方程为（），‎ 代入的方程，整理得：（*）‎ 设点的坐标为，‎ ‎∵直线过点，∴点的坐标为，‎ 同理，由得点的坐标为．‎ 依题意可知，∴，．‎ ‎∵，∴，即，‎ ‎∵，∴，解得，‎ 经检验，符合题意，故直线的方程为．‎ ‎21.解：（1），有两个不同的零点，‎ ‎∴在内必不单调，故，‎ 此时，解得，‎ ‎∴在上单增，上单减，‎ ‎∴，无最小值．‎ ‎（2）由题知两式相减得，即，‎ 故要证，即证，即证，‎ 不妨设，令，则只需证，‎ 设，则，‎ 设，则，∴在上单减，‎ ‎∴，∴在上单增，‎ ‎∴，即在时恒成立，原不等式得证．‎ ‎22.解：（1）曲线化为普通方程为，‎ 由，得，‎ 所以直线的直角坐标方程为．‎ ‎（2）直线的参数方程为（为参数），‎ 代入化简得，‎ 设，两点所对应的参数分别为，，则，‎ ‎∴．‎ ‎23.解：（1）∵，∴原不等式为，‎ ‎∴或或 ‎∴或或，‎ ‎∴原不等式的解集为．‎ ‎（2）由题意得 ‎，‎ 当且仅当，即，且时，取最小值．‎