数学理卷·2018届山东省桓台第二中学高三4月月考(2018

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数学理卷·2018届山东省桓台第二中学高三4月月考(2018

‎2018届山东省桓台第二中学高三4月月考 数学(理)试题 本试卷,分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共4页,满分150分.考试用时120分钟. ‎ 第Ⅰ卷(共50分)‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若,则 A. B. C. D.‎ ‎2.已知集合,,若,则实数的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎3.已知等比数列满足,,则 A. B. C. D.‎ ‎4.直线与圆相交于两点,若,则的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎5.下列四个结论中错误的个数是 ‎①若,则 ‎②“命题和命题都是假命题”是“命题是假命题”的充分不必要条件 ‎③若平面内存在一条直线垂直于平面内无数条直线,则平面与平面垂直 ‎④已知数据的方差为,若数据的方差为则的值为 A. B.     C.   D.‎ ‎6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 A. B. ‎ C. D.‎ ‎7.已知向量与的夹角为,且, ,若,且,则实数的值为 A. B. ‎ C. D.‎ ‎8.某程序框图如右图所示,运行该程序输出的值是 A. B. C. D.‎ ‎9.若直线上存在点满足,则实数的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎10.已知函数的导函数为,且满足.当时,;若,则实数的取值范围是 A. B.   C. D.‎ ‎ 【来源:全,品…中&高*考+网】‎ 第Ⅱ卷(共100分)‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.‎ ‎11.在区间上随机选取两个数和,则满足的概率为 .‎ ‎12.观察下列各式:,,,,…,由此推得: .‎ ‎13.个人站成一排,若甲、乙两人之间恰有人,则不同的站法种数为 .‎ ‎14.已知,若,则的最小值是 .‎ ‎15.设双曲线的右焦点是,左、右顶点分别是,过做轴的垂线交双曲线于两点,若,则双曲线的离心率为 .‎ 三、解答题:本大题共6小题,共75分.‎ ‎16.(本小题满分12分)‎ 如图,在中,是边的中点, , .‎ ‎(Ⅰ)求角的大小;‎ ‎(Ⅱ)若角,边上的中线的长为,求的面积.‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 如图,已知三棱锥的三条侧棱,,两两垂直,为等边三角形, 为内部一点,点在的延长线上,且.‎ ‎(Ⅰ)证明:;‎ ‎(Ⅱ)证明:;‎ ‎(Ⅲ)若,求二面角的余弦值.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 在标有“甲”的袋中有个红球和个白球,这些球除颜色外完全相同.‎ ‎(Ⅰ)若从袋中依次取出个球,求在第一次取到红球的条件下,后两次均取到白球的概率;‎ ‎(Ⅱ)现从甲袋中取出个红球,个白球,装入标有“乙”的空袋.若从甲袋中任取球,乙袋中任取球,记取出的红球的个数为,求的分布列和数学期望.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 已知数列和满足.若是各项为正数的等比数列,且,.‎ ‎(Ⅰ)求与;‎ ‎(Ⅱ)设,记数列的前项和为.‎ ‎①求;②求正整数,使得对任意,均有.‎ ‎20.(本小题满分13分)‎ 已知抛物线,点与抛物线的焦点关于原点对称,过点且斜率为的直线与抛物线交于不同两点,线段的中点为,直线与抛物线交于两点.【来源:全,品…中&高*考+网】‎ ‎(Ⅰ)判断是否存在实数使得四边形为平行四边形.若存在,求出的值;若不存在,说明理由;‎ ‎(Ⅱ)求的取值范围.‎ ‎21.(本小题满分14分)‎ 已知,函数(是自然对数的底数).‎ ‎(Ⅰ)若,证明:曲线没有经过点的切线;‎ ‎(Ⅱ)若函数在其定义域上不单调,求的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)是否存在正整数,当时,函数的图象在轴的上方,若存在,求的值;若不存在,说明理由.‎ 高三理科数学试题参考答案及评分说明 ‎1-5 BCABB 6-10 BCBBC ‎11. ‎ ‎12. ‎ ‎13.‎ ‎14. ‎ ‎15. ‎ ‎16. 解:(Ⅰ)由 ‎ 得 , ‎ 所以 ……………………………………2分 又 所以 ‎ ……………………………………4分 又 , 所以 …………………6分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,且 所以,,则…7分 设,则 在中由余弦定理得,………9分 即 ‎ 解得 …………………10分 故. ………………………………12分 x y z D ‎17. 证明:(Ⅰ)因为,,两两垂直,‎ 所以,……………1分 又△为等边三角形,‎ 所以 …………………2分 故 …………………………3分 ‎(Ⅱ)取的中点,连接、 ………4分 因为,,所以 ‎ ‎,所以平面 所以 …………………6分 ‎(Ⅲ)如图建立空间坐标系 因为,可设,则 ‎ 由(Ⅰ)同理可得 …………………7分 因为,‎ 所以 …………………8分 所以 设 ( )‎ 所以 ‎ 所以 …………………………10分 平面的法向量为 ‎ 设平面的法向量为 则 ‎ 取 则 所以 …………………………11分 ‎ …………………………12分 ‎18. 解:(Ⅰ)记“第一次取到红球”为事件,“后两次均取到白球”为事件,则,.‎ ‎ 所以,“第一次取到红球的条件下,后两次均取到白球的概率”‎ ‎………………………………4分 ‎(或) ……………………………………4分 ‎(Ⅱ)的所有可能取值为. …………………………………………5分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎. ………………………………………9分 的分布列为:‎ ‎……………………………10分 ‎ …………………………12分 ‎19. 解:(Ⅰ)解:由题意,‎ 知又由,得公比(,舍去)‎ 所以数列的通项为 ……………………………………3分 所以 ‎ 故数列的通项为 …………………………………5分 ‎(Ⅱ)①由(Ⅰ)知  …………7分 所以………………9分 ‎②因为;当时,‎ 而得 所以,当时,;‎ 综上,对任意恒有,故 ………………………12分 ‎20. 解:(Ⅰ)设直线的方程为,设.‎ 联立方程组,得.‎ 显然,且,即,得且.‎ 得, ………………………………………………4分 ‎,. ‎ 直线的方程为:,‎ 联立方程组,得,‎ 得, ……………………………………6分 若四边形为平行四边形,‎ 当且仅当,即,‎ 得,与且矛盾. …………………………8分 故不存在实数使得四边形为平行四边形 ………………………9分 ‎(Ⅱ)‎ ‎ …………………………11分 由且,得;‎ 当,取得最小值;‎ 当时,取;当时,取;‎ 所以 ………………………………………13分 ‎21. 解证:(Ⅰ)因为,所以,此时,‎ 证法一:设曲线在点处的切线经过点 则曲线在点处的切线 所以 化简得: ………………………………2分 令,则, ‎ 所以当时,,为减函数,‎ 当时,,为增函数,‎ 所以,‎ 所以无解 所以曲线的切线都不经过点………………………………4分 证法二:设曲线在点处的切线经过点 则曲线在点处的切线 所以 化简得: ………………………………2分 令,则,‎ 所以当时,,为减函数,‎ 当时,,为增函数,‎ 所以,‎ 要使存在零点,则须有,所以,即,‎ 所以曲线的切线都不经过点………………………………4分 ‎(Ⅱ)函数的定义域为,因为,‎ 所以在定义域上不单调,等价于有变号零点,‎ ‎ …………………………………………5分 令,得,令().‎ 因为,令,,‎ 所以是上的减函数,又,故是的唯一零点,‎ ‎…………………………………………6分 当,,,递增;‎ 当,,,递减;‎ 故当时,取得极大值且为最大值,‎ 所以,即的取值范围是………………………………………8分 ‎(Ⅲ)证法一:函数的图象在轴的上方,即对任意,恒成立.‎ ‎.令(),‎ 所以…………………………9分 ‎(1)当时,,即 ‎①当时,,是减函数,所以;‎ ‎②当时,,【来源:全,品…中&高*考+网】‎ 令,则,所以是增函数,‎ 所以当时, ,即 所以在上是增函数,所以,‎ 当时,取,且使,即,‎ 则,‎ 因为,故存在唯一零点,‎ 即有唯一的极值点且为最小值点……………………10分 所以,又,即,‎ 故,设,‎ 因为,所以是上的减函数,‎ 所以,即 所以当时,对任意,恒成立………………12分 ‎(2)当时,,因为,取,‎ 则,,‎ 所以不恒成立,‎ 综上所述,存在正整数满足要求,即当时,函数的图象在轴的上方 ……………………………14分 证法二:恒成立,等价于的最大值;‎ 当,,所以恒成立………………9分 当时,,‎ ‎,【来源:全,品…中&高*考+网】‎ 设,,‎ 所以在上是减函数,因为,,‎ 所以有唯一零点 ……………………………10分 当时,,即,是增函数,‎ 当时,,即,是减函数,‎ 所以,且,所以 所以 ……………………………12分 设,所以,‎ 所以在上是减函数,所以,‎ 即 ……………………………13分 因为使,所以,只有符合要求,【来源:全,品…中&高*考+网】‎ 综上所述,存在正整数满足要求,即当时,函数的图象在轴的上方 ……………………………14分
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