吉林省辽源市田家炳高级中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学（理）试题

吉林省辽源市田家炳高级中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学（理）试题

www.ks5u.com 辽源田家炳高中2019-2020学年度上学期期中考试卷高一数学（理）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.函数的定义域为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由分式和二次根式的定义域可求解.‎ ‎【详解】由得且.故选．‎ ‎【点睛】本题考查具体函数的定义域，属于基础题.‎ ‎2.下列四个区间能表示数集或的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据区间的定义，将集合表示为区间的形式，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】根据区间的定义可知数集或可以用区间表示. ‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查用区间表示集合，要注意区间的端点是开区间还是闭区间，属于基础题.‎ ‎3.已知函数则f[f（1）]＝（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数解析式，直接把x＝1代入即可求解．‎ ‎【详解】∵f（x），‎ ‎∴f（1）＝﹣1，‎ 则f[f（1）]＝f（﹣1）＝2，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．‎ ‎4.下列四组函数中表示同一函数的是（ ）‎ A. ， B. ‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】由于函数 的定义域为 ，而函数的定义域为 这2个函数的定义域不同，故不是同一个函数，故排除A． 由于函数 的定义域均为 ，但这 2个函数的对应关系不同，故不是同一个函数，故排除B．‎ 由于函数 的定义域与函数 的定义域，对应关系，值域完全相同， 故这2个函数是同一个函数． 由于函数的定义域为，函数的定义域为定义域不同，故不是同一个函数．故排除D 故选C．‎ ‎5.是奇函数，则（　　）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇函数的特征，得到，从而可求出结果.‎ ‎【详解】解：∵是奇函数，‎ ‎∴，‎ 解得．‎ 经过验证满足条件．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，熟记奇函数的概念即可，属于常考题型.‎ ‎6.下列函数既是偶函数，又在（0，+∞）上为增函数的是（　　）‎ A. B. y＝ C. y＝|x| D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐一判断每个函数的奇偶性和单调性，可得正确答案.‎ ‎【详解】对于A， ，为奇函数，不符合题意；对于B，，为偶函数，在上单调递减，不符合题意；对于C， ，既是偶函数，又在上单调递增，符合题意；对于D，，为奇函数，不符合题意；故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查常见函数的单调性和奇偶性的判断，较基础.‎ ‎7.函数在区间[-2,-1]上的最大值是( )‎ A. 1 B. 2 C. 4 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的单调性，判断出当时函数取得最大值，并由此求得最大值.‎ ‎【详解】由于为定义域上的减函数，故当时函数取得最大值为.故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查指数函数的单调性，考查指数运算，考查函数最值的求法，属于基础题.‎ ‎8.函数的最大值与最小值之和 （ ）‎ A. 1.75 B. 3.75 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数的对称轴，判断其在上的单调性，根据单调性求出最值，即可得出结果。‎ ‎【详解】解：函数的对称轴为，其在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎，‎ 故选：B。‎ ‎【点睛】本题考查二次函数在给定区间上的单调性及最值，是基础题。‎ ‎9.已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的定义域为，得，求出的取值范围作为函数的定义域.‎ ‎【详解】的定义域为，即，，‎ 所以，函数的定义域为，故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查抽象函数的定义域的求解，解抽象函数的定义域要抓住以下两点：‎ ‎（1）函数的定义域指的是自变量的取值范围；‎ ‎（2）对于函数和的定义域的求解，和的值域相等，由此列不等式求出的取值范围作为函数的定义域.‎ ‎10.若函数在上为增函数，则的取值范围为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数对称轴和单调性、一次函数单调性列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】由于函数在上递增，所以，解得.故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查分段函数的单调性，考查二次函数、一次函数的单调性，属于基础题.‎ ‎11.已知是偶函数，且在区间上是增函数，则的大小关系是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用偶函数的性质化简要比较的三个数，再根据函数在上的单调性判断出三者的大小关系，从而确定正确选项.‎ ‎【详解】∵函数为偶函数，∴，又∵在区间上是增函数，∴，即.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题.‎ ‎12.定义在R上的奇函数f(x)，满足f＝0，且在(0，＋∞)上单调递减，则xf(x)＞0的解集为(　　)‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中f （）=0，且在（0，+∞）上单调递减，可得f （﹣）=0，且在区间（﹣∞，0）上单调递减，分类讨论后，可得xf（x）＞0的解集 ‎【详解】∵函数f（x）是奇函数，在（0，+∞）上单调递减，且f （）=0，‎ ‎∴f （﹣）=0，且在区间（﹣∞，0）上单调递减，‎ ‎∵当x＜0，当﹣＜x＜0时，f（x）＜0，此时xf（x）＞0‎ 当x＞0，当0＜x＜时，f（x）＞0，此时xf（x）＞0‎ 综上xf（x）＞0解集为 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，体现了转化的数学思想，判断出f ‎ （﹣）=0，且在区间（﹣∞，0）上单调递减是解题的关键．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分 ，共20分）‎ ‎13.比较大小：__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数的单调性即可比较出与的大小．‎ ‎【详解】是上的减函数；‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查指数函数的单调性，根据函数单调性比较大小的方法，是基础题 ‎14.设函数满足，则的解析式为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 采用换元法，令，进行换元即可求解 ‎【详解】令，得，则 所以 ‎【点睛】本题考查函数解析式的求法，换元法是求解解析式基本方法，需注意的是换元之后新元的取值范围，此题还可采用拼凑法求解 ‎15.指数函数f（x）=（a﹣1）x在R上是增函数，则a的取值范围是_____．‎ ‎【答案】（2，+∞）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 指数函数递增，底数，故a﹣1＞1，得解。‎ ‎【详解】∵指数函数f（x）=（a﹣1）x在R上是增函数，‎ ‎∴a﹣1＞1，‎ 即a＞2，‎ 故a的取值范围是（2，+∞），‎ 故答案为：（2，+∞）．‎ ‎【点睛】指数函数的单调性只与底数的大小有关，时单减，时单增。‎ ‎16.已知函数，若，则______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由函数的解析式可得，据此分析可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，，‎ 则 则有，若，则，故答案为：3.‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，关键是分析的值，属于基础题．‎ 三、 解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知2，3，4，5，6，，4，，．‎ 求：，，，，．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的基本运算即可求．‎ ‎【详解】，‎ ‎4，5，，‎ ‎2，6，，‎ ‎2，3，5，，‎ ‎2，，‎ ‎，‎ ‎2，4，6，．‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．‎ ‎18.计算（1）；‎ ‎（2） .‎ ‎【答案】（1）；（2）1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用指数运算公式化简所求表达式；‎ ‎（2）利用指数运算公式化简所求表达式.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎；‎ ‎ （2）.‎ ‎【点睛】本小题主要考查指数运算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎19.已知二次函数. ‎ ‎（1）指出图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；‎ ‎（2）求函数的最大值；‎ ‎（3）写出函数的单调区间.‎ ‎【答案】（1）开口向下；对称轴为；顶点坐标为；（2）1；（3）函数在 上是增函数，在上是减函数.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）判断出函数图像的开口方向，利用配方法求得函数的对称轴和顶点坐标；‎ ‎（2）根据（1）中求得的函数表达式，求得函数的最大值；‎ ‎（3）根据（1）中求得的函数表达式，求得函数的单调区间.‎ ‎【详解】（1）依题意可知，二次函数开口向下，且，所以对称轴为，顶点坐标为.‎ ‎（2）由（1）知，所以当时，函数取得最大值为.‎ ‎（3）由（1）知，对称轴为，开口向下，故函数在上是增函数，在上是减函数.即函数的增区间为，减区间为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值和单调区间的求法，属于基础题.‎ ‎20.已知函数的定义域为集合，集合.‎ ‎（1）当时，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的定义域，即集合，将代入集合可得出集合，再利用集合的并集的定义得出集合；‎ ‎（2）由已知条件列不等式组可求出实数的取值范围；‎ ‎（3）分和两种情况，结合条件列不等式可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）对于函数，有，解得，.‎ 当时，，因此，；‎ ‎（2），则有，解得，因此，实数的取值范围是；‎ ‎（3）当时，即当时，，此时，，合乎题意；‎ 当时，即当时，‎ 由于，则或，解得或，此时.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查集合的计算，以及利用集合的包含关系与交集运算求参数的取值范围，解题时要充分利用数轴，结合已知条件列不等式（组）进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎21.已知函数，其中为常数，且函数的图象过点.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)判断函数的奇偶性；‎ ‎(3)证明:函数在上是单调递减函数.‎ ‎【答案】（1）（2）为奇函数（3）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据函数所过的点求解的值；（2）先分析定义域是否关于原点对称，再考虑与的关系，由此得到结论；（3）定义法证明，注意步骤即可.‎ ‎【详解】解:(1)函数的图象过点,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎(2)由(1)知.又 所以其定义域为 所以为奇函数 ‎(3)设,‎ 则 ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ 函数在上是单调递减函数.‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的简单应用，难度较易.判断一个函数的奇偶性时，一定要记住先判断定义域，若定义域不关于原点对称，则一定是非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，则需要确定与的关系.‎ ‎22.已知函数的定义域为，且对任意的有. 当时，，.‎ ‎（1）求并证明的奇偶性；‎ ‎（2）判断的单调性并证明；‎ ‎（3）求；若对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）0,证明见解析，奇函数；（2）单调递增，证明见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令x＝y＝0，求解f（0）＝0．根据判奇偶即可.‎ ‎（2）f（x）在R上是增函数，任取x1，x2∈R，且x1>x2，则x1﹣x2＞0，可证得，即有f（x1）>f（x2），得到结果；‎ ‎（3）通过f（3）＝f（2）+f（1）求解即可．由f（4x﹣a）+f（6+2x+1）＞6转化为f（4x﹣a+6+2x+1）＞f（3）恒成立．利用函数的单调性，构造函数，转化求解即可．‎ ‎【详解】（1），∴，‎ 又因为的定义域为R关于原点对称 ‎，∴，‎ 所以为奇函数.‎ ‎（2）则 ‎，‎ 因为，‎ 所以，单调递增.‎ ‎（3）∵，‎ 若，‎ ‎∴f（），由（2）知单调递增，‎ ‎∴，‎ 所以，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查函数的恒成立的应用，涉及抽象函数求值和奇偶性、单调性的证明及应用，利用赋值法是关键，属于中档题．‎ ‎ ‎