【数学】2020届一轮复习人教A版第54课平面向量的基本定理与坐标运算学案（江苏专用）

【数学】2020届一轮复习人教A版第54课平面向量的基本定理与坐标运算学案（江苏专用）

第54课　平面向量的基本定理与坐标运算 ‎1. 了解平面向量的基本定理及其意义.‎ ‎2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；理解用坐标表示的平面向量共线的条件.‎ ‎1. 阅读：必修4第74～81页.‎ ‎2. 解悟：①平面向量基本定理；②平面向量的坐标表示；③结合第78页例4能得到什么一般性的结论吗？‎ ‎3. 践习：在教材空白处，完成第82页习题第7～16题.‎ ‎　基础诊断　‎ ‎1. 设向量＝(2，3)，且点A的坐标为(2，3)，则点B的坐标为　(4，6)　.‎ 解析：设点B的坐标为(x，y)，＝－＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)，所以解得故点B的坐标为(4，6).‎ ‎2. 已知向量a＝(1，1)，b＝(－1，1)，c＝(4，2)，则用向量a，b表示向量c＝　3a－b.‎ 解析：设c＝xa＋yb，所以(4，2)＝x(1，1)＋y(－1，1)＝(x－y，x＋y)，所以解得故c＝3a－b.‎ ‎3. 如图所示，设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：①与；②与；③与；④与.其中，可作为该平面内其他向量的基底的是　①③　.(填序号)‎ 解析：因为与，与不共线，所以可以作为该平面内其他向量的基底；因为与，与共线，所以不可作为该平面内其他向量的基底，故选①③.‎ ‎4. 已知向量a＝(3，1)，b＝(1，3)，c＝(k，7)，若(a－c)∥b，则k＝　5　. ‎ 解析：由题意得a－c＝(3－k，1－7)＝(3－k，－6).因为(a－c)∥b，所以3(3－k)－(－6)×1＝0，解得k＝5.‎ ‎　范例导航　‎ 考向❶ 平面向量的基本定理 例1　如图所示，在△OCB中，C是以A为中点的点B的对称点，D是将分为2∶1两部分的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.‎ ‎(1) 用a和b表示向量，；‎ ‎(2) 若＝λ，求实数λ的值. ‎ 解析：(1) 由题意知，A是BC的中点，且＝.‎ 由平行四边形法则得＋＝2，‎ 所以＝2－＝2a－b.‎ ＝－＝(2a－b)－b＝2a－b.‎ ‎(2) 由图可知，与共线，‎ 所以存在实数t，使＝t.‎ 因为＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，＝2a－b，‎ 所以(2－λ)a－b＝2ta－tb，‎ 所以解得λ＝.‎ 故实数λ的值为.‎ 在△ABC中，P为边BC上一点，且＝.　‎ ‎(1) 用，为基底表示＝　＋　；‎ 解析：因为＝，所以－＝(－)，所以＝＋，即＝＋.‎ ‎(2) 用，为基底表示＝　＋　Ｗ.‎ 解析：＝＋＝＋.‎ 考向❷ 平面向量的坐标运算 例2　已知向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1).‎ ‎(1) 求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；‎ ‎(2) 若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值；‎ ‎(3) 若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d的坐标.‎ 解析：(1) 由题意得(3，2)＝m(－1，2)＋n(4，1)，‎ 所以解得 故m的值为，n的值为.‎ ‎(2) a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，‎ 由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，‎ 解得k＝－.‎ ‎(3) 设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1).‎ 又a＋b＝(2，4)，|d－c|＝，‎ 所以 解得或 所以d的坐标为(3，－1)或(5，3).‎ 已知点A(2，3)，B(5，4)，C(10，8)，若＝＋λ(λ∈R)，则当点P在第二象限时，λ的取值范围为　　.‎ 解析：设点P的坐标为(x，y).因为＝＋λ，所以(x－2，y－3)＝(3，1)＋λ(8，5)＝(3＋8λ，1＋5λ)，所以即因为点P在第二象限，所以解得－<λ<－.‎ 考向❸ 平面向量基本定理的综合应用 例3　如图，已知△ABC的面积为14，D，E分别为边AB，BC上的点，且AD∶DB＝‎ BE∶EC＝2∶1，AE与CD交于点P.设存在λ和μ，使得＝λ，＝μ，＝a，＝b.‎ ‎(1) 求λ及μ的值；‎ ‎(2) 用a，b表示；‎ ‎(3) 求△PAC的面积.‎ 解析：(1) 因为＝a，＝b，‎ 所以＝a＋b，＝a＋b.‎ 又因为＝λ＝λ(a＋b)，＝μ＝μ，‎ ＝＋＝＋＝a＋μ，‎ 所以a＋μ＝λ，‎ 所以解得 ‎(2) ＝＋＝－a＋＝－a＋b.‎ ‎(3) 设△ABC、△PAB、△PBC的高分别为h、h1、h2.‎ 因为h1∶h＝||∶||＝μ＝，‎ 所以S△PAB＝S△ABC＝8.‎ 又因为h2∶h＝||：||＝1－λ＝，‎ 所以S△PBC＝S△ABC＝2，‎ 所以S△PAC＝S△ABC－S△APB－S△PBC＝4.‎ 若a，b是一组基底，向量c＝xa＋yb(x，y∈R)，则称(x，y)为向量c在基底a，b下的坐标，现已知向量α在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则α在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为　(0，2)　.‎ 解析：因为α在基底p，q下的坐标为(－2，2)，‎ 即α＝－2p＋2q＝－2(1，－1)＋2(2，1)＝(2，4).‎ 令α＝xm＋yn，‎ 则(2，4)＝x(－1，1)＋y(1，2)‎ ‎＝(－x＋y，x＋2y)，‎ 所以解得 所以α在基底m，n下的坐标为(0，2).‎ ‎　自测反馈　‎ ‎1. 已知a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d同向，则实数λ的值为　1　.‎ 解析：因为c与d同向，所以设c＝kd(k>0)，所以λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]＝ka＋k(2λ－1)b，所以解得λ＝1或λ＝－.因为k>0，所以λ＝1.‎ ‎2. 已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与同方向的单位向量为　　.‎ 解析：由题意得，＝(3，－4)，所以||＝＝5，所以与同方向的单位向量e＝＝(3，－4)＝.‎ ‎3. 如图，已知||＝||＝1，与的夹角为120°，与的夹角为30°，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝　2　.‎ 解析：如图，根据平行四边形法则将向量沿与方向进行分解.由题意可知∠OCD＝90°，所以在Rt△OCD中，sin∠COD＝＝＝＝sin 30°＝，所以＝2.‎ ‎4. 已知平行四边形ABCD中A(－1，0)，B(3，0)，C(1，－5)，则点D的坐标为　(－3，－5)　.‎ 解析：由题意可知，＝.设点D的坐标为(x，y)，所以(x＋1，y)＝(－2，－5)，所以解得故点D的坐标为(－3，－5).‎ ‎1. 向量的线性运算(加法、减法、实数与向量的积)可转化为坐标运算，借助坐标运算讨论平行共线、向量表示等，可使问题简单，目标明确.‎ ‎2. 应用等价转化思想处理问题，如点共线转化为向量共线，基底的转化等.‎ ‎3. 你还有哪些体悟，写下来：‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎