安徽省示范高中培优联盟2018-2019学年高一下学期春季联赛数学（理）试题

安徽省示范高中培优联盟2018-2019学年高一下学期春季联赛数学（理）试题

安徽省示范高中培优联盟2019年春季联赛（高一）‎ 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.设集合，集合，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别解出集合A，B的元素，再由集合的交集运算得到结果.‎ ‎【详解】，，.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】这个题目考查了集合的交集运算，属于基础题.‎ ‎2.实数，满足，则下列不等式成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于ACD选项，当x<0,y<0时，显然不成立；对于B可根据指数函数的单调性得到结果.‎ ‎【详解】由题意，当x<0,y<0可得到，而没有意义，此时 故A不正确CD也不对；指数函数是定义域上的单调递增函数，又由，则，所以 ‎.故B正确；‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了比较大小的应用；比较大小常见的方法有：作差和0比，作商和1比，或者构造函数，利用函数的单调性得到大小关系.‎ ‎3.已知关于的方程的两根之和等于两根之积的一半，则一定是（ ）‎ A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意利用韦达定理列出关系式，利用两角和与差的余弦函数公式化简得到A＝B，即可确定出三角形形状．‎ ‎【详解】设已知方程的两根分别为x1，x2，‎ 根据韦达定理得： ‎ ‎∵x1+x2x1x2，‎ ‎∴2cosAcosB＝1﹣cosC，‎ ‎∵A+B+C＝π，‎ ‎∴cosC＝﹣cos（A+B）＝﹣cosAcosB+sinAsinB，‎ ‎∴cosAcosB+sinAsinB＝1，即cos（A﹣B）＝1，‎ ‎∴A﹣B＝0，即A＝B，‎ ‎∴△ABC为等腰三角形．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】此题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有：韦达定理，两角和与差的余弦函数公式，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．‎ ‎4.已知，，且，则向量与向量的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过向量的垂直转化为向量的数量积的运算，利用向量夹角的余弦公式求出其余弦值，问题得解．‎ ‎【详解】‎ ‎，即：‎ 又，‎ 向量与向量的夹角的余弦为，‎ 向量与向量的夹角为：‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查向量夹角公式及向量运算，还考查了向量垂直的应用，考查计算能力．‎ ‎5.函数的零点个数是（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先得到函数的定义域为：或，解方程 ‎【详解】要使函数有意义，则，即或，由或函数的零点个数为2个.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】这个题目考查了函数的零点的求解，函数的零点即方程的根，两者可以直接转化.‎ ‎6.的部分图象大致为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断函数的奇偶性以及对称性，结合函数值的符号是否一致进行排除即可．‎ ‎【详解】f（﹣x）＝f（x），则函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，D，‎ f（π）＝lnπ﹣cosπ＝lnπ+1＞0，排除C，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及特殊值的符号进行排除是解决本题的关键．‎ ‎7.函数的零点是和，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由韦达定理得到，再由两角和的正切公式得到结果.‎ ‎【详解】因为的零点是和，所以，是方程的两个根，根据韦达定理得到,再由两角和的正切公式得到:.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了二次方程的根，以及韦达定理的应用，涉及正切函数的两角和的公式的应用，属于基础题.‎ ‎8.中，，，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题干条件和向量点积公式得到三角形的边长，再根据向量加法的平行四边形法则得到P所在的轨迹，进而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 依题意.由余弦定理得，故为直角三角形.设，过作，交于，过作 ‎，交于.由于，根据向量加法运算的平行四边形法则可知，点位于线段上，由图可知最短时为，所以.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题;(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法;(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.‎ ‎9.设变量，满足约束条件，若目标函数的最小值为1，则的最小值为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．‎ ‎【详解】变量x，y满足约束条件的可行域如图，‎ 当直线z＝ax+by（a＞0，b＞0）过直线y＝1和2x﹣y﹣3＝0的交点（2，1）时，有最小值为1；‎ ‎∴2a+b＝1，（2a+b）（）＝33+23+2．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．‎ ‎10.若数列为等差数列，为等比数列，且满足：，，函数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差和等比数列的性质得到进而得到结果.‎ ‎【详解】根据等差数列性质得到，根据等比数列的性质有.‎ 故本题选C.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列和等差数列的性质的应用，是基础的计算题，对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.‎ ‎11.将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，‎ ‎，…，，若点坐标为，则（ ）‎ A. 0 B. 2 C. 6 D. 10‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数图像，根据对称性得到，进而得到结果.‎ ‎【详解】函数与的所有交点从左往右依次记为、、、和，且和，和，都关于点对称，如图所示：‎ 则，所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】这个题目考查了向量加法的平行四边形法则，涉及函数的图像的交点问题，属于综合题.向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.‎ ‎12.对于数列，若任意，都有（为常数）成立，则称数列满足级收敛，若数列的通项公式为，且满足级收敛，则的最大值为（ ）‎ A. 6 B. 3 C. 2 D. 0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题干中对收敛数列的定义得到是递增数列或常数列，相邻两项相减得到 ‎，进而得到结果.‎ ‎【详解】由题意：对任意的恒成立，，且级收敛，则恒成立，即恒成立，据此可知数列是递增数列或常数列，令，根据数列是单调递增的得到 ‎ 据此可得：恒成立，故，的最大值为0.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】这题目考查了数列单调性的应用，数列作为特殊的函数，可通过函数的单调性研究数列的单调性，必须注意的是数列对应的是孤立的点，这与连续函数的单调性有所不同；也可以通过差值的正负确定数列的单调性．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置）‎ ‎13.已知函数为幂函数，则__________．‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数定义求出m的值，写出的解析式，即可计算的值．‎ ‎【详解】由题意，函数为幂函数，，解得，‎ ‎，，‎ 故答案为：16．‎ ‎【点睛】本题考查了幂函数的定义，及幂函数的求值问题，其中解答中熟记幂函数的定义，用定义求得幂函数的解析式是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．‎ ‎14.已知函数，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数表达式得到函数的周期，得到，进而得到结果.‎ ‎【详解】依题意可得，其最小正周期，且，故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】这给题目考查了正弦函数的周期的求法和应用，属于基础题.‎ ‎15.设非零向量，的夹角为，记，若，均为单位向量，且，则向量与的夹角为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据题意得到，，再根据向量点积的公式得到向量夹角即可.‎ ‎【详解】由题设知，若向量，的夹角为，则，的夹角为.由题意可得，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎∵，，，，向量与夹角为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】这个题目考查了向量数量积的应用，以及向量夹角的求法，平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.‎ ‎16.已知函数，，若关于的不等式恰有两个非负整数解，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得f（x），g（x）的图象均过（﹣1，1），分别讨论a＞0，a＜0时，f（x）＞g（x）的整数解情况，解不等式即可得到所求范围．‎ ‎【详解】由函数，可得，的图象均过，且的对称轴为，当时，对称轴大于0.由题意可得恰有0，1两个整数解，可得；当时，对称轴小于0.因为,‎ 由题意不等式恰有-3，-2两个整数解，不合题意，综上可得的范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了二次函数的性质与图象，指数函数的图像的应用，属于中档题．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.记为等比数列的前项和，，.‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）已知，且，求的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）6.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）根据题干条件得到，进而求得公比，得到通项；（II）结合第一问得到，根据指数函数的单调性和二次函数的性质得到最大值为64，进而得到结果.‎ ‎【详解】（I）设的公比为，由题意得：，根据等比数列通项公式得到：，所以.‎ ‎（II），，当或4时，取得最大值64.所以，故的最小值为6.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.‎ ‎18.已知函数的图象的一条对称轴为.‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期及单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）通过两角和差的正弦公式得到化简之后的式子，进而求得周期和单调区间；（II）结合第一问得到函数的单调性，进而得到函数最值.‎ ‎【详解】（I），‎ 是对称轴，，，且，，，‎ ‎，其最小正周期为；单调递增区间为：，.‎ ‎（II）由（I）可知，在递减，在递增，‎ 可知当时得最大值为0；当时得最小值-2.‎ 故在区间上的最大值为0，最小值为-2.‎ ‎【点睛】已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y=Asin（ωx＋φ）（其中ω>0）的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错；③若ω<0，利用诱导公式二把y＝Asin(ωx＋φ)中x的系数化为大于0的数．‎ ‎19.如图，的三个内角，，对应的三条边长分别是，，，角为钝角，，，，.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的面积.‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据余弦的二倍角公式求出，利用余弦定理求出，再根据三角形的形状和二倍角公式，求得 ‎（2）由（1）可求出，中，求得，，再由，即可求出面积.‎ ‎【详解】解：(1)由得：，且角为钝角，‎ 解得： ‎ 由余弦定理得：‎ 解得 ‎ 可知为等腰三角形，即 所以，‎ 解得 ‎ ‎(2)由可知 在中，，得，‎ 三角形面积 ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理和三角形面积计算问题，考查余弦的二倍角和三角形的内角和定理，三角形中的求值问题，需要结合已知条件选取正、余弦定理，灵活转化边和角之间的关系，达到解决问题的目的．其基本步骤是：‎ 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，然后确定转化的方向；‎ 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；‎ 第三步：求结果，即根据已知条件计算并判定结果.‎ ‎20.2019年春节期间，由于人们燃放烟花爆竹，致使一城镇空气出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒1千克的去污剂，空气中释放的浓度（单位：毫克/立方米）随着时间（单位：天）变化的函数关系式近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和.经测试，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用.‎ ‎（Ⅰ）若一次喷洒4千克的去污剂，则去污时间可达几天？‎ ‎（Ⅱ）若第一次喷洒2千克的去污剂，6天后再喷洒千克的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求的最小值.‎ ‎【答案】（1）7天；(2) . ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 空气中释放的浓度为,时，,时，,分别解不等式即可；（2）设从第一次喷洒起，经天，浓度=，由不等式得到最值.‎ ‎【详解】（1）因为一次喷洒4个单位的去污剂，‎ 所以空气中释放的浓度为 ‎ 当时，，解得，，‎ 当时，，解得，，综上得， ‎ 即一次投放4个单位的去污剂，有效去污时间可达7天.‎ ‎(2)设从第一次喷洒起，经天，‎ 浓度= ‎ ‎==，即，, ‎ 当时，，满足题意，‎ 所以的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查了实际应用问题，涉及到不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎21.若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数.‎ ‎（Ⅰ）若，是“距”增函数，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若，，其中，且为“2距”增函数，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）根据题干条件得到恒成立，故只需要判别式小于0即可；（II）原题等价于恒成立，恒成立，分和两种情况得结果即可.‎ ‎【详解】（I）.‎ 因为是“距”增函数，所以恒成立，由，‎ 所以.‎ ‎（II）因为，，其中，且为“2距”增函数，即时，‎ 恒成立，所以，当时，即，‎ 当时，，所以.‎ 综上所述，得.‎ ‎【点睛】这个题目考查了恒成立求参的问题，恒成立有解求参常见的方法有：变量分离，转化为函数最值问题，或者直接将不等式化为一边为0的式子，使得函数最值大于或者小于0即可.‎ ‎22.已知数列满足，是数列的前项和.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，30，成等差数列，，18，成等比数列，求正整数，的值；‎ ‎（Ⅲ）是否存在，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）.（2），.（3）或14.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）当时，，，当时，由 列是首项为2，公差为1的等差数列.‎ ‎（2）建立方程组，或.当，当无正整数解，综上，.‎ ‎（3）假设存在正整数，使得，，或，，，（舍去）或14.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为，，‎ 所以当时，，，‎ 当时，‎ 由 和，‎ 两式相除可得，，即 所以，数列是首项为2，公差为1的等差数列.‎ 于是，.‎ ‎（2）因为，30，成等差数列，，18，成等比数列，‎ 所以，于是，或.‎ 当时，，解得，‎ 当时，，无正整数解，‎ 所以，.‎ ‎（3）假设存在满足条件的正整数，使得，‎ 则，‎ 平方并化简得，，‎ 则，‎ 所以，或，或，‎ 解得：，或，，或，（舍去），‎ 综上所述，或14.‎