2018-2019学年山东省泰安市高二下学期期末考试数学试题

2018-2019学年山东省泰安市高二下学期期末考试数学试题

书书书 试卷类型：Ａ 高 二 年 级 考 试 数 学 试 题 ２０１９ ７ 一、选择题：本题共 １２ 小题，每小题 ５ 分，共 ６０ 分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． １． 已知复数 ｚ ＝ （ｍ ＋ １）－ （ｍ － ２）ｉ 在复平面内对应的点在第一象限，则实数 ｍ 的取值范围是 Ａ． （－ １，２）　 　 　 　 Ｂ． （－ ∞ ，－ １）　 　 　 　 Ｃ． （－ ２，１）　 　 　 　 Ｄ． （２，＋ ∞ ） ２． 设函数 ｙ ＝ １ － ｘ槡 ２ 的定义域 Ａ，函数 ｙ ＝ ３ｘ 的值域为 Ｂ，则 Ａ∩Ｂ ＝ Ａ． （０，１） Ｂ． （０，１］ Ｃ． ［－ １，１］ Ｄ． （０，＋ ∞ ） ３． 如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，由图得到结论不正确的为 Ａ． 性别与是否喜欢理科有关 Ｂ． 女生中喜欢理科的比为 ２０％ Ｃ． 男生不喜欢理科的比为 ６０％ Ｄ． 男生比女生喜欢理科的可能性大些 ４． 下列等式不正确的是 Ａ． Ｃｍ ｎ ＝ ｍ ＋ １ ｎ ＋ １ Ｃｍ ｎ ＋ １ Ｂ． Ａｍ ＋ １ ｎ ＋ １ － Ａｍ ｎ ＝ ｎ２ Ａｍ － １ ｎ － １ Ｃ． Ａｍ ｎ ＝ ｎＡｍ － １ ｎ － １ Ｄ． ｎＣｋ ｎ ＝ （ｋ ＋ １）Ｃｋ ＋ １ ｎ ＋ ｋＣｋ ｎ ５． 在某个物理实验中，测得变量 ｘ 和变量 ｙ 的几组数据，如下表： ｘ ０ ５０ ０ ９９ ２ ０１ ３ ９８ ｙ － ０ ９９ ０ ０１ ０ ９８ ２ ００ 则下列选项中对 ｘ，ｙ 最适合的拟合函数是 Ａ． ｙ ＝ ２ｘ Ｂ． ｙ ＝ ｘ２ － １ Ｃ． ｙ ＝ ２ｘ － ２ Ｄ． ｙ ＝ ｌｏｇ２ ｘ ６． 已知函数 ｆ（ｘ）＝ １ ５ ｘ５ － １ ３ ｘ３ ＋ ４，当 ｆ（ｘ）取得极值时，ｘ 的值为 Ａ． － １，１，０ Ｂ． － １，１ Ｃ． － １，０ Ｄ． ０，１ ７． 同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数小于 ４”为事件 Ａ，“两颗骰子的点数之和等于 ７”为事件 Ｂ，则 Ｐ（Ｂ ｜ Ａ）＝ Ａ． １ ３ Ｂ． １ ６ Ｃ． １ ９ Ｄ． １ １２ 高二数学试题 第 １ 页（共 ４ 页） ８． 某家具厂的原材料费支出 ｘ（单位：万元）与销售量 ｙ（单位：万元）之间有如下数据，根 据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出 ｙ 与 ｘ 的线性回归方程为＾ｙ ＝ ６ｘ ＋ ＾ｂ，则＾ｂ为 ｘ ２ ４ ５ ６ ８ ｙ ２５ ３５ ６０ ５５ ７５ Ａ． １０ Ｂ． １２ Ｃ． ２０ Ｄ． ５ ９． 函数 ｆ（ｘ）＝ ２ １ ＋ ｅｘ( )－ １ ｃｏｓｘ 图象的大致形状是 １０． 若二项式（２ｘ － １ 槡ｘ ）ｎ （ｎ∈Ｎ ）的展开式中第 ２ 项与第 ３ 项的二项式系数之比为 ２ ∶ ５，则展开式中 ｘ３ 的系数为 Ａ． １４ Ｂ． － １４ Ｃ． ２４０ Ｄ． － ２４０ １１． 已知函数 ｆ （ｘ）＝ ｘ ＋ ４ ｘ ，ｇ （ｘ）＝ ２ｘ ＋ ａ，若 ｘ１ ∈ ［１ ２ ，１］， ｘ２ ∈ ［２，３］，使得 ｆ（ｘ１ ）≥ｇ（ｘ２ ），则实数 ａ 的取值范围是 Ａ． ａ≤１ Ｂ． ａ≥１ Ｃ． ａ ＜ １ Ｄ． ａ ＞ １ １２． 已知函数 ｆ ′（ｘ）是偶函数 ｆ（ｘ）（ｘ∈Ｒ 且 ｘ≠０）的导函数，ｆ（－ ２）＝ ０，当 ｘ ＞ ０ 时， ｘｆ ′（ｘ）－ ｆ（ｘ）＜ ０，则使不等式 ｆ（ｘ）＜ ０ 成立的 ｘ 的取值范围是 Ａ． （－ ∞ ，－ ２）∪（０，２） Ｂ． （－ ２，０）∪（０，２） Ｃ． （－ ２，０）∪（２，＋ ∞ ） Ｄ． （－ ∞ ，－ ２）∪（２，＋ ∞ ） 二、填空题：本题共 ４ 小题，每小题 ５ 分，共 ２０ 分． １３． ｌｇ ５ ２ ＋ ２ｌｇ２ － （１ ２ ）－ １ ＝ 　 　 ▲　 　 ． １４． 已知 Ｘ 的分布列如图所示，则 （１）Ｅ（Ｘ）＝ ０ ３，（２）Ｄ（Ｘ）＝ ０ ５８３，（３）Ｐ（Ｘ ＝ １）＝ ０ ４，其中正确的个数为　 　 ▲　 　 ． Ｘ － １ ０ １ Ｐ ０． ２ ０． ３ ａ １５． 从 １、３、５、７ 中任取 ２ 个数字，从 ０、２、４、６ 中任取 ２ 个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被 ５ 整除的四位数共有　 　 ▲　 　 个． （用数字作答） １６． 已知函数 ｆ（ｘ）＝ ａｘ３ － ６ｘ２ ＋ ２，若函数 ｆ（ｘ）存在唯一零点 ｘ０ ，且 ｘ０ ＜ ０，则实数 ａ 的取值范围是　 　 ▲　 　 ． 高二数学试题 第 ２ 页（共 ４ 页） 三、解答题：共 ７０ 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． １７． （１０ 分）已知复数 ｚ１ 与（ｚ１ ＋ ２）２ － ８ｉ 都是纯虚数，复数 ｚ２ ＝ １ － ｉ，其中 ｉ 是虚数单位． （１）求复数 ｚ１ ； （２）若复数 ｚ 满足 １ ｚ ＝ １ ｚ１ ＋ １ ｚ２ ，求 ｚ． １８． （１２ 分） 已知函数 ｆ（ｘ）＝ ｌｎ ｘ ＋ １ ｘ － １． （１）求函数 ｆ（ｘ）的定义域，并判断函数 ｆ（ｘ）的奇偶性； （２）若当 ｘ∈［２，６］时，ｆ（ｘ）＞ ｌｎ ｍ（ｘ － １）（７ － ｘ）恒成立，求实数 ｍ 的取值范围． １９． （１２ 分）已知 ｆ（ｘ）＝ ａ（ｘ － ３）２ ＋ ２ｌｎｘ，ａ∈Ｒ，曲线 ｙ ＝ ｆ（ｘ）在点（１，ｆ（１））处的切线平分圆 Ｃ：（ｘ － ３）２ ＋ （ｙ － ２）２ ＝ ２ 的周长． （１）求 ａ 的值；（２）讨论函数 ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图象与直线 ｙ ＝ ｍ（ｍ∈Ｒ）的交点个数． ２０． （１２ 分）甲、乙两企业生产同一种型号零件，按规定该型号零件的质量指标值落在［４５，７５）内为优质品． 从两个企业生产的零件中各随机抽出了 ５００ 件，测量这些零件的质量指标值，得结果如下表：甲企业： 分组 ［２５，３５）［３５，４５）［４５，５５）［５５，６５）［６５，７５）［７５，８５）［８５，９５］ 频数 １０ ４０ １１５ １６５ １２０ ４５ ５ 　 　 乙企业： 分组 ［２５，３５）［３５，４５）［４５，５５）［５５，６５）［６５，７５）［７５，８５）［８５，９５］ 频数 ５ ６０ １１０ １６０ ９０ ７０ ５ （１）已知甲企业的 ５００ 件零件质量指标值的样本方差 ｓ２ ＝ １４２，该企业生产的零件质量指标值 Ｘ 服从正态分布 Ｎ（μ，σ２ ），其中 μ 近似为质量指标值的样本平均数 珋ｘ（注：求 珋ｘ 时，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），σ２ 近似为样本方差 ｓ２ ，试根据企业的抽样数据，估计所生产的零件中，质量指标值不低于 ７１ ９２ 的产品的概率． （精确到 ０ ００１）（２）由以上统计数据完成下面 ２ × ２ 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 ０ ００５ 的前提下认为两个企业生产的零件的质量有差异． 高二数学试题 第 ３ 页（共 ４ 页） 甲厂 乙厂 总计 优质品 非优质品 总计 　 　 附： 参考数据：槡１４２≈１１ ９２，参考公式：若 Ｘ ～ Ｎ（μ，σ２ ），则 Ｐ（μ － σ ＜ Ｘ ＜ μ ＋ σ）＝ ０ ６８２６， Ｐ（μ － ２σ ＜ Ｘ ＜ μ ＋ ２σ）＝ ０ ９５４４，Ｐ（μ － ３σ ＜ Ｘ ＜ μ ＋ ３σ）＝ ０ ９９７４； Ｋ２ ＝ ｎ（ａｄ － ｂｃ）２ （ａ ＋ ｂ）（ｃ ＋ ｄ）（ａ ＋ ｃ）（ｂ ＋ ｄ） Ｐ（Ｋ２ ≥ｋ０ ） ０ ５０ ０ ４０ ０ ２５ ０ １５ ０ １０ ０ ０５ ０ ０２５ ０ ０１０ ０ ００５ ０ ００１ ｋ０ ０ ４５５ ０ ７０８ １ ３２３ ２ ０７２ ２ ７０６ ３ ８４１ ５ ０２４ ６ ６３５ ７ ８７９ １０ ８２８ ２１． （１２ 分）甲、乙两人进行象棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 ５ 局仍未出现连 胜，则判定获胜局数多者赢得比赛． 假设每局甲获胜的概率为 ３ ４ ，乙获胜的概率为 １ ４ ，各 局比赛结果相互独立． （１）求甲在 ４ 局以内（含 ４ 局）赢得比赛的概率；（２）用 Ｘ 表示比赛决出胜负时的总局数，求随机变量 Ｘ 的分布列和均值． ２２． （１２ 分）已知函数 ｆ（ｘ）＝ ｅｘ － １ ，ｇ（ｘ）＝ ｌｎ（ｘ ＋ ａ）． （１）若 ｈ（ｘ）＝ ｘ － ｇ（ｘ），ｘ ＞ ０ ｘｆ（ｘ ＋ １），ｘ{ ＜ ０，当 ａ ＝ ０ 时，求函数 ｈ（ｘ）的极值． （２）当 ａ≤１ 时，证明：ｆ（ｘ）＞ ｇ（ｘ）． 高二数学试题 第 ４ 页（共 ４ 页） 高二数学试题参考答案及评分标准 ２０１９ ７ 一、选择题 题　 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答　 案 Ａ Ｂ Ｃ Ａ Ｄ Ｂ Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ Ａ Ｄ 二、填空题 １３． － １　 １４． １　 １５． １９８　 １６． （４，＋ ∞ ）三、解答题： １７． （１０ 分）解：（１）设 ｚ１ ＝ ｂｉ（ｂ∈Ｒ），则（ｚ１ ＋ ２）２ － ８ｉ ＝ （ｂｉ ＋ ２）２ － ８ｉ ＝ （４ － ｂ２ ）＋ （４ｂ － ８）ｉ ３ 分!!!!!!!!!!!!!!! 由题意得 ４ － ｂ２ ＝ ０ ４ｂ － ８≠{ ０ ４ 分｀!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ ｂ ＝ － ２ ∴ ｚ１ ＝ － ２ｉ ５ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）∵ １ ｚ ＝ １ ｚ１ ＋ １ ｚ２ ∴ ｚ ＝ ｚ１ ｚ２ ｚ１ ＋ ｚ２ ＝ （－ ２ｉ）× （１ － ｉ）（－ ２ｉ）＋ （１ － ｉ） ６ 分!!!!!!!!!!!!!!!!! ＝ － ２ － ２ｉ １ － ３ｉ ８ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ＝ （－ ２ － ２ｉ）（１ ＋ ３ｉ）（１ － ３ｉ）（１ ＋ ３ｉ） ＝ ２ ５ － ４ ５ ｉ １０ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １８． （１２ 分） 解：（１）由ｘ ＋ １ ｘ － １ ＞ ０，解得 ｘ ＜ － １ 或 ｘ ＞ １， ∴ 函数 ｆ（ｘ）的定义域为（－ ∞ ，－ １）∪（１，＋ ∞ ）， １ 分!!!!!!!!!任取 ｘ∈（－ ∞ ，－ １）∪（１，＋ ∞ ）， ｆ（－ ｘ）＝ ｌｎ － ｘ ＋ １ － ｘ － １ ＝ ｌｎ ｘ － １ ｘ ＋ １ ＝ ｌｎ（ｘ ＋ １ ｘ － １）－ １ ＝ － ｌｎ ｘ ＋ １ ｘ － １ ＝ － ｆ（ｘ）， ４ 分!!!!!!!!!!!! ∴ ｆ（ｘ）＝ ｌｎ ｘ ＋ １ ｘ － １是奇函数． ５ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）当 ｘ∈［２，６］时，ｆ（ｘ）＝ ｌｎ ｘ ＋ １ ｘ － １ ＞ ｌｎ ｍ（ｘ － １）（７ － ｘ）恒成立， 高二数学试题参考答案 第 １ 页（共 ４ 页） 即当 ｘ∈［２，６］时，ｘ ＋ １ ｘ － １ ＞ ｍ（ｘ － １）（７ － ｘ）＞ ０ 恒成立． ７ 分!!!!!!!! ∴ ０ ＜ ｍ ＜ （ｘ ＋ １）（７ － ｘ）在 ｘ∈［２，６］上恒成立． ８ 分!!!!!!!!!!令 ｇ（ｘ）＝ （ｘ ＋ １）（７ － ｘ） ＝ － （ｘ － ３）２ ＋ １６，ｘ∈［２，６］，由二次函数的性质可知： ｘ∈［２，６］时，ｇ（ｘ）ｍｉｎ ＝ ｇ（６）＝ ７， １０ 分!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ ０ ＜ ｍ ＜ ７． １２ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １９． （１２ 分） 解：（１）ｆ（ｘ）＝ ａ（ｘ － ３）２ ＋ ２ｌｎｘ，ｆ ′（ｘ）＝ ２ａ（ｘ － ３）＋ ２ ｘ ２ 分!!!!!!!!!! ∴ ｆ（１）＝ ４ａ，ｆ ′（１）＝ ２ － ４ａ，所以曲线 ｙ ＝ ｆ（ｘ）在点（１，ｆ（１））处的切线方程为 ｙ － ４ａ ＝ （２ － ４ａ）（ｘ － １） ４ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!由切线平分圆 Ｃ：（ｘ － ３）２ ＋ （ｙ － ２）２ ＝ ２ 的周长可知圆心（３，２）在切线上， ∴ ２ － ４ａ ＝ （２ － ４ａ）（３ － １）， ∴ ａ ＝ １ ２ ６ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）由（１）知，ｆ（ｘ）＝ １ ２ （ｘ － ３）２ ＋ ２ｌｎｘ（ｘ ＞ ０） ｆ ′（ｘ）＝ ｘ － ３ ＋ ２ ｘ ＝ （ｘ － １）（ｘ － ２） ｘ ，令 ｆ ′（ｘ）＝ ０，解得 ｘ ＝ １ 或 ｘ ＝ ２ 当 ０ ＜ ｘ ＜ １ 或 ｘ ＞ ２ 时，ｆ ′（ｘ）＞ ０，故 ｆ（ｘ）在（０，１），（２，＋ ∞ ）上为增函数；当 １ ＜ ｘ ＜ ２ 时，ｆ ′（ｘ）＜ ０，故 ｆ（ｘ）在（１，２）上为减函数． ８ 分!!!!!!!!由此可知，ｆ（ｘ）在 ｘ ＝ １ 处取得极大值 ｆ（１）＝ ２ 在 ｘ ＝ ２ 处取得极小值 ｆ（２）＝ １ ２ ＋ ２ｌｎ２ １０ 分!!!!!!! 当 ｍ ＞ ２ 或 ｍ ＜ １ ２ ＋ ２ｌｎ２ 时，ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图象与直线 ｙ ＝ ｍ 有一个交点 当 ｍ ＝ ２ 或 ｍ ＝ １ ２ ＋ ２ｌｎ２ 时，ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图象与直线 ｙ ＝ ｍ 有两个交点 当 １ ２ ＋ ２ｌｎ２ ＜ ｍ ＜ ２ 时，ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图象与直线 ｙ ＝ ｍ 有 ３ 个交点． １２ 分!! ２０． （１２ 分）解：（１）依据上述数据，甲厂产品质量指标值的平均值为： 珋ｘ ＝ １ ５００ × （３０ × １０ ＋ ４０ × ４０ ＋ ５０ × １１５ ＋ ６０ × １６５ ＋ ７０ × １２０ ＋ ８０ × ４５ ＋ ９０ × ５） ＝ ６０，所以 μ ＝ ６０，σ２ ＝ １４２，即甲企业生产的零件质量指标值 Ｘ 服从正态分布 Ｎ（６０，１４２）， ２ 分!!! 又 σ 槡＝ １４２≈１１． ９２，则， Ｐ（６０ － １１． ９２ ＜ Ｘ ＜ ６０ ＋ １１． ９２）＝ Ｐ（４８． ０８ ＜ Ｘ ＜ ７１． ９２）＝ ０． ６８２６，高二数学试题参考答案 第 ２ 页（共 ４ 页） Ｐ（Ｘ≥７１． ９２）＝ １ － Ｐ（４８． ０８ ＜ Ｘ ＜ ７１． ９２） ２ ＝ １ － ０． ６８２６ ２ ＝ ０． １５８７≈０． １５９， ５ 分 ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!所以，甲企业零件质量指标值不低于 ７１． ９２ 的产品的概率为 ０． １５９． ６ 分!（２）２ × ２ 列联表： 甲厂 乙厂 总计 优质品 ４００ ３６０ ７６０ 非优质品 １００ １４０ ２４０ 总计 ５００ ５００ １０００ ９ 分!!!!!!!!!!! 计算 Ｋ２ ＝ １０００ × （４００ × １４０ － ３６０ × １００）２ ７６０ × ２４０ × ５００ × ５００ ≈８． ７７２ ＞ ７． ８７９ ∴ 能在犯错误的概率不超过 ０． ００５ 的前提下认为两个企业生产的产品的质量有差异． １２ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２１． （１２ 分）解：用 Ａ 表示“甲在 ４ 局以内（含 ４ 局）赢得比赛”，Ａｋ 表示“第 ｋ 局甲获胜”，Ｂｋ 表示 “第 ｋ 局乙获胜”，则 Ｐ（Ａｋ ）＝ ３ ４ ，Ｐ（Ｂｋ ）＝ １ ４ ，ｋ ＝ １，２，３，４，５． ２ 分!!!!!! （１）Ｐ（Ａ）＝ Ｐ（Ａ１ Ａ２ ）＋ Ｐ（Ｂ１ Ａ２ Ａ３ ）＋ Ｐ（Ａ１ Ｂ２ Ａ３ Ａ４ ） ＝ Ｐ（Ａ１ ）Ｐ（Ａ２ ）＋ Ｐ（Ｂ１ ）Ｐ（Ａ２ ）Ｐ（Ａ３ ）＋ Ｐ（Ａ１ ）Ｐ（Ｂ２ ）Ｐ（Ａ３ ）Ｐ（Ａ４ ） ＝ （３ ４ ）２ ＋ １ ４ × （３ ４ ）２ ＋ ３ ４ × １ ４ × （３ ４ ）２ ＝ ２０７ ２５６． ５ 分!!!!!!!! （２）Ｘ 的所有可能取值为 ２，３，４，５． ６ 分!!!!!!!!!!!!!!!!! Ｐ（Ｘ ＝ ２）＝ Ｐ（Ａ１ Ａ２ ）＋ Ｐ（Ｂ１ Ｂ２ ）＝ Ｐ（Ａ１ ）Ｐ（Ａ２ ）＋ Ｐ（Ｂ１ ）Ｐ（Ｂ２ ）＝ ５ ８ ， ７ 分! Ｐ（Ｘ ＝ ３）＝ Ｐ（Ｂ１ Ａ２ Ａ３ ）＋ Ｐ（Ａ１ Ｂ２ Ｂ３ ） ＝ Ｐ（Ｂ１ ）Ｐ（Ａ２ ）Ｐ（Ａ３ ）＋ Ｐ（Ａ１ ）Ｐ（Ｂ２ ）Ｐ（Ｂ３ ）＝ ３ １６， ８ 分!!!! Ｐ（Ｘ ＝ ４）＝ Ｐ（Ａ１ Ｂ２ Ａ３ Ａ４ ）＋ Ｐ（Ｂ１ Ａ２ Ｂ３ Ｂ４ ） ＝ Ｐ（Ａ１ ）Ｐ（Ｂ２ ）Ｐ（Ａ３ ）Ｐ（Ａ４ ）＋ Ｐ（Ｂ１ ）Ｐ（Ａ２ ）Ｐ（Ｂ３ ）Ｐ（Ｂ４ ）＝ １５ １２８， ９ 分 ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Ｐ（Ｘ ＝ ５）＝ １ － Ｐ（Ｘ ＝ ２）－ Ｐ（Ｘ ＝ ３）－ Ｐ（Ｘ ＝ ４）＝ ９ １２８． １０ 分!!!!!! ∴ Ｘ 的分布列为 Ｘ ２ ３ ４ ５ Ｐ ５ ８ ３ １６ １５ １２８ ９ １２８ 高二数学试题参考答案 第 ３ 页（共 ４ 页） ∴ Ｅ（Ｘ）＝ ２ × ５ ８ ＋ ３ × ３ １６ ＋ ４ × １５ １２８ ＋ ５ × ９ １２８ ＝ ３３７ １２８ １２ 分!!!!!!!!! ２２． （１２ 分） 解：（１）当 ａ ＝ ０ 时，ｈ（ｘ）＝ ｘ － ｌｎｘ，ｘ ＞ ０ ｘｅｘ ， ｘ{ ＜ ０， ｈ′（ｘ）＝ １ － １ ｘ ，ｘ ＞ ０ （ｘ ＋ １）ｅｘ ，ｘ{ ＜ ０ ２ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 令 ｈ′（ｘ）＝ ０ 得 ｘ ＝ １ 或 ｘ ＝ － １ ｈ（ｘ），ｈ′（ｘ）随 ｘ 的变化情况： ｘ （－ ∞ ，－ １） － １ （－ １，０） （０，１） １ （１，＋ ∞ ） ｈ′（ｘ） － ０ ＋ － ０ ＋ ｈ（ｘ） － １ ｅ １ ４ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ 函数 ｈ（ｘ）的极小值为 ｈ（－ １）＝ － １ ｅ ，ｈ（１）＝ １，无极大值． ５ 分!!!! （２）证明：当 ａ ≤１ 时，ｌｎ （ｘ ＋ ａ）≤ ｌｎ （ｘ ＋ １ ），若 ｅｘ － １ ＞ ｌｎ （ｘ ＋ １ ）成立，则 ｅｘ － １ ＞ ｌｎ（ｘ ＋ ａ）必成立， ７ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!令 Ｆ（ｘ）＝ ｅｘ － １ － ｌｎ（ｘ ＋ １）（ｘ ＞ － １）， Ｆ′（ｘ）＝ ｅｘ － １ － １ ｘ ＋ １在（－ １，＋ ∞ ）上单调递增， ８ 分!!!!!!!!!! 又 Ｆ′（０）＜ ０，Ｆ′（１）＞ ０， ∴ Ｆ′（ｘ）＝ ０ 在（－ １，＋ ∞ ）上有唯一实根 ｘ０ ，且 ｘ０ ∈（０，１），当 ｘ∈（－ １，ｘ０ ）时，Ｆ′（ｘ）＜ ０；当 ｘ∈（ｘ０ ，＋ ∞ ）时，Ｆ′（ｘ）＞ ０， １０ 分!!! ∴ 当 ｘ ＝ ｘ０ 时，Ｆ（ｘ）取得最小值 Ｆ（ｘ０ ）， 由 Ｆ′（ｘ０ ）＝ ０ 得：ｅｘ０ － １ ＝ １ ｘ０ ＋ １， ∴ ｌｎ（ｘ０ ＋ １）＝ １ － ｘ０ ， ∴ Ｆ（ｘ）≥Ｆ（ｘ０ ）＝ ｅｘ０ － １ － ｌｎ（ｘ０ ＋ １）＝ １ ｘ０ ＋ １ ＋ ｘ０ － １ ＝ ｘ２ ０ ｘ０ ＋ １ ＞ ０ ∴ ｅｘ － １ ＞ ｌｎ（ｘ ＋ １） ∴ 当 ａ≤１ 时，ｆ（ｘ）＞ ｇ（ｘ）． １２ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!! 高二数学试题参考答案 第 ４ 页（共 ４ 页）