专题4-4 专题突破 高考中的圆锥曲线问题-2017年全国高考数学考前复习大串讲

专题4-4 专题突破 高考中的圆锥曲线问题-2017年全国高考数学考前复习大串讲

题型一　求圆锥曲线的标准方程 例1　(2015·天津变式)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为________.‎ ‎【答案】　x2－＝1‎ ‎【思维升华】　求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程.‎ ‎【跟踪训练1】　(2014·课标全国Ⅰ)已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为， F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.‎ ‎(1)求E的方程；‎ ‎(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝.‎ 又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.‎ 故E的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)当l⊥x轴时不合题意，‎ 故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，‎ 将y＝kx－2代入＋y2＝1得 ‎(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.‎ 当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，‎ x1,2＝.‎ 从而PQ＝|x1－x2|＝.‎ 题型二　圆锥曲线的几何性质 例2　(1)(2015·湖南变式)若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________.‎ A. B. C. D. ‎(2)已知双曲线C：－＝1 (a>0，b>0)，P为x轴上一动点，经过点P的直线y＝2x＋m (m≠‎ ‎0)与双曲线C有且只有一个交点，则双曲线C的离心率为________.‎ ‎【答案】　(1)　(2) ‎【解析】　‎ ‎(1)由条件知y＝－x过点(3，－4)，∴＝4，‎ 即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，‎ ‎∴25a2＝9c2，∴e＝.‎ ‎(2)由双曲线的方程可知：渐近线方程为y＝±x.‎ ‎∵经过P的直线y＝2x＋m (m≠0)与双曲线C有且只有一个交点，∴此直线与渐近线y＝x平行，∴＝2.‎ ‎∴e＝＝ ＝.‎ ‎【思维升华】　圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线，是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系.掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力.‎ ‎【跟踪训练2】　(2014·北京)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.‎ ‎(1)求椭圆C的离心率；‎ ‎(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论.‎ ‎【解析】　‎ 故d＝ ＝ ＝.‎ 此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切.‎ 综上，直线AB与圆x2＋y2＝2相切. ‎ 题型三　最值问题 例3　设椭圆M：＋＝1 (a>b>0)的离心率为，长轴长为6，设过右焦点F倾斜角为θ的直线交椭圆M于A，B两点.‎ ‎(1)求椭圆M的方程；‎ ‎(2)求证：AB＝；‎ ‎(3)设过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C，D，求AB＋CD的最小值.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(3)解　过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C，D，同理可得 CD＝＝，‎ 所以AB＋CD＝＋ ‎＝.‎ 因为sin 2θ∈0,1]，所以当且仅当sin 2θ＝1时，‎ AB＋CD有最小值是8.‎ ‎【思维升华】　圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值.‎ ‎【跟踪训练3】　(2015·课标全国Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0，6).当△APF周长最小时，该三角形的面积为________.‎ ‎【答案】　12 ‎【解析】　设左焦点为F1，PF－PF1＝2a＝2，‎ ‎∴PF＝2＋PF1，△APF的周长为AF＋AP＋PF＝AF＋AP＋2＋PF1，△APF周长最小即为AP＋PF1‎ 最小，当A、P、F1三点共线时最小，过AF1的直线方程为＋＝1.与x2－＝1联立，解得P点坐标为(－2,2)，此时S＝S△AF1F－S△F1PF＝12.‎ 题型四　定值、定点问题 例4　(2015·课标全国 Ⅱ)已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m＞0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.‎ ‎(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；‎ ‎(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由.‎ ‎【解析】‎ ‎【思维升华】　求定点及定值问题常见的方法有两种：‎ ‎(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.‎ ‎(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.‎ ‎【跟踪训练4】　椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝ ，a＋b＝3.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)如图所示，A、B、D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m.证明：2m－k为定值.‎ ‎【解析】‎ 题型五　探索性问题 例5　(2015·广东)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.‎ ‎(1)求圆C1的圆心坐标；‎ ‎(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；‎ ‎(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.‎ ‎【解析】　‎ ‎ ‎ ‎(3)由题意知直线L表示过定点(4,0)，斜率为k的直线，把直线L的方程代入轨迹C的方程x2‎ ‎－3x＋y2＝0，其中0时，‎ ‎【思维升华】　‎ ‎(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.‎ ‎(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.‎ ‎【跟踪训练5】　 (2014·湖南)如图，O为坐标原点，双曲线C1：－＝1(a1>0，b1>0)和椭圆C2：＋＝1(a2>b2>0)均过点P(，1)，且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.‎ ‎(1)求C1，C2的方程；‎ ‎(2)是否存在直线l，使得l与C1交于A，B两点，与C2只有一个公共点，且|＋|＝||？证明你的结论. ‎ ‎【解析】　‎ ‎(1)设C2的焦距为2c2，由题意知，2c2＝2,2a1＝2.‎ 从而a1＝1，c2＝1.‎ 因为点P(，1)在双曲线x2－＝1上，‎ 所以()2－＝1.故b＝3.‎ 由椭圆的定义知 ‎2a2＝ ＋ ‎＝2.‎ 于是a2＝，b＝a－c＝2.‎ 故C1，C2的方程分别为 x2－＝1，＋＝1.‎ 于是y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝.‎ 由得(2k2＋3)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.‎ 因为直线l与C2只有一个公共点，所以上述方程的判别式Δ＝16k2m2－8(2k2＋3)(m2－3)＝0.‎ 化简，得2k2＝m2－3，‎ 因此·＝x1x2＋y1y2‎ ‎＝＋＝≠0，‎ 于是2＋2＋2·≠2＋2－2·，‎ 即|＋|2≠|－|2，‎ 故|＋|≠||.‎ 综合①②可知，不存在符合题设条件的直线. ‎