2020高中数学 第三章 三角恒等变换 阶段复习课 第4课 三角恒等变换学案 新人教A版必修4

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

2020高中数学 第三章 三角恒等变换 阶段复习课 第4课 三角恒等变换学案 新人教A版必修4

第四课 三角恒等变换 ‎[核心速填]‎ ‎1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α±β)=sin_αcosβ±cos_αsin_β.‎ cos(α±β)=cos_αcos_β∓sin_αsin_β.‎ tan(α±β)=.‎ ‎2.倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α=2sin_αcos_α.‎ cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.‎ tan 2α=.‎ ‎3.半角公式 sin=±.‎ cos=±.‎ tan=±==.‎ ‎4.辅助角公式 ‎(1)asin α+bcos α=sin(α+φ).‎ ‎(2)与特殊角有关的几个结论:‎ sin α±cos α=sin,‎ sin α±cos α=2sin,‎ sin α±cos α=2sin.‎ ‎[体系构建]‎ 8‎ ‎[题型探究]‎ 三角函数式求值 ‎ (1)已知sin=-,则cos=(  )‎ A.-   B.- C. D. ‎(2)4cos 50°-tan 40°等于(  )‎ A. B. C. D.2-1‎ ‎(3)已知tan(α-β)=,tan β=-,且α,β∈(0,π),求2α-β的值.‎ ‎ (1)C (2)C  [(1)cos=cos ‎=1-2sin2 ‎=1-2×2‎ ‎=.‎ ‎(2)4cos 50°-tan 40°‎ ‎= ‎= ‎= ‎= 8‎ ‎==.‎ ‎(3)tan α=tan[(α-β)+β]‎ ‎==>0.‎ 而α∈(0,π),故α∈.‎ ‎∵tan β=-,0<β<π,∴<β<π,‎ ‎∴-π<α-β<0.而tan(α-β)=>0,‎ ‎∴-π<α-β<-,‎ ‎∴2α-β=α+(α-β)∈(-π,0).‎ ‎∵tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]‎ ‎==1,‎ ‎∴2α-β=-.]‎ ‎[规律方法] 三角函数求值主要有三种类型,即:‎ (1)“给角求值”,一般给出的角都是非特殊角,从表面看较难,但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系,如和或差为特殊角,当然还有可能需要运用诱导公式.‎ (2)“给值求值”,即给出某些角的三角函数式的值,求另外一些三角函数的值,这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角,合理拆、配角.当然在这个过程中要注意角的范围.‎ (3)“给值求角”,本质上还是“给值求值”,只不过往往求出的是特殊角的值,在求出角之前还需结合函数的单调性确定角,必要时还要讨论角的范围.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1.若α,β∈,sin(α+β)=-,sin=,则cos=‎ ‎(  ) 【导学号:84352353】‎ A. B.- C.- D.或- 8‎ C [∵α,β∈,∴α+β∈,β-∈,‎ ‎∴cos(α+β)===,‎ cos=-=-=-,‎ 则cos=cos ‎=cos(α+β)cos+sin(α+β)sin ‎=×+×=-.]‎ ‎2.在△ABC中,若3cos2+5sin2=4,则tan Atan B=________.‎  [因为3cos2+5sin2=4,‎ 所以cos(A-B)-cos(A+B)=0,‎ 所以cos Acos B+sin Asin B-cos Acos B+sin Asin B=0,‎ 即cos Acos B=4sin Asin B,‎ 所以tan Atan B=.]‎ 三角函数式化简 ‎ 化简(1);‎ ‎(2)·.‎ ‎ [解] (1)原式= ‎===cos 2x.‎ 8‎ ‎(2)原式=·=· ‎=·=.‎ ‎[规律方法] 三角函数式化简的基本技巧 ‎(1)sin α,cos α→凑倍角公式.‎ ‎(2)1±cos α→升幂公式.‎ ‎(3)asin α+bcos α→辅助角公式asin α+bcos α=·sin(α+φ),其中tan φ=或asin α+bcos α=·cos(α-φ),其中tan φ=.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎3.化简:(180°<α<360°).‎ ‎[解] 原式 ‎= ‎= ‎=.‎ ‎∵180°<α<360°,∴90°<<180°,∴cos <0,‎ ‎∴原式==cos α.‎ 8‎ 三角恒等式的证明 ‎ 求证:tan2x+=. ‎ ‎ [证明] 左边=+ ‎= ‎= ‎= ‎= ‎== ‎= ‎==右边.‎ 原式得证.‎ ‎[规律方法] 三角恒等式的证明问题的类型及策略 (1)不附加条件的恒等式证明.‎ 通过三角恒等变换,消除三角等式两端的差异.证明的一般思路是由繁到简,如果两边都较繁,则采用左右互推的思路,找一个桥梁过渡.‎ (2)条件恒等式的证明.‎ 这类问题的解题思路是使用条件,或仔细探求所给条件与要证明的等式之间的内在联系,常用方法是代入法和消元法.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎4.已知sin(2α+β)=5sin β,求证:2tan(α+β)=3tan α.‎ ‎[证明] 由条件得sin[(α+β)+α]=5sin[(α+β)-α],‎ 两边分别展开得 sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α ‎=5sin(α+β)cos α-5cos(α+β)sin α,‎ 8‎ 整理得:‎ ‎4sin(α+β)cos α=6cos(α+β)sin α,‎ 两边同除以2cos(α+β)cos α得:‎ ‎2tan(α+β)=3tan α.‎ 三角恒等变换的综合应用 ‎ 已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-),x∈[0,π].‎ ‎(1)若a∥b,求x的值;‎ ‎(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值. ‎ ‎ [解] (1)因为a∥b,‎ 所以3sin x=-cos x,又cos x≠0,‎ 所以tan x=-,因为x∈[0,π],‎ 所以x=.‎ ‎(2)f(x)=3cos x-sin x ‎=-2sin.‎ 因为x∈[0,π],所以x-∈,‎ 所以-≤sin≤1,‎ 所以-2≤f(x)≤3,‎ 当x-=-,即x=0时,f(x)取得最大值3;‎ 当x-=,即x=时,f(x)取得最小值-2.‎ ‎[规律方法] 三角函数的图象和性质是三角函数的重要内容.如果给出的三角函数的表达式较为复杂,我们必须先通过三角恒等变换,将三角函数的表达式变形化简,然后根据化简后的三角函数,讨论其图象和性质.‎ (1)求三角函数的值域、单调区间、图象变换、周期性、对称性等问题,一般先要通过三角恒等变换将函数表达式变形为y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k等形式,让角和三角函数名称尽量少,然后再根据正、余弦函数基本性质和相关原理进行求解.‎ (2)要注意三角恒等变换中由于消项、约分、合并等原因,函数定义域往往会发生一些变化,所以一定要在变换前确定好原三角函数的定义域,并在这个定义域内分析问题.‎ (3)有时会以向量为背景出题,综合考查向量、三角恒等变换、三角函数知识.‎ 8‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎5.已知函数f(x)=.‎ ‎(1)求f(x)的定义域及最小正周期;‎ ‎(2)求f(x)的单调递减区间.‎ ‎[解] (1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z),‎ 故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}.‎ 因为f(x)= ‎=2cos x(sin x-cos x)‎ ‎=sin 2x-cos 2x-1‎ ‎=sin-1,‎ 所以f(x)的最小正周期T==π.‎ ‎(2)函数y=sin x的单调递减区间为(k∈Z).‎ 由2kπ+≤2x-≤2kπ+,x≠kπ(k∈Z),‎ 得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),‎ 所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z).‎ 8‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档